Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用
姓名：XX远 学号：20092426 班级：2009121
摘要：该应用在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。
关键字：Jordan标准型，线性微分方程组，特征值
矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！
矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan
标准型的形式，因为矩阵的Jordan标准型是最间的！
Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，
比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。 一．Jordan（约当）标准型 ?J1(?1)???定义：形如右图的由主对角线为特征值，次 J1(?2)??对角线为1的约旦块按对角排列组成的矩阵称为 ??O??Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵Ji称为 Jm(?m)??Jordan块.
1???求法：（1）由特征值?i 的代数重数确定主对角 ???1?线元素是的 ?i 的 Jordan 矩阵J(?i ) 的阶数。 J(?)????1?（2）?由特征值?i 对应的线性无关的特征向量的个 ?????数确定
（3）J(?i) 中Jordan 块的个数由特征向量 （4）求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA
二．线性微分方程组：
线性微分方程组, 即两个或多个微分方程的集合, 其理论是微分方程理论中非常值得重视的一部 分, 在物理、化学等领域( 例如二个或二个以上回路电流变化规律, 几个互相作用的质点的运动等等) 的。
但有的一些线性微分方程组，不需要考虑到复数领域，但同时又需要简化一些步骤！而这里所讨论的主要是一阶线性微分方程组:
??a11(t)x1?a12(t)x2???a1n(t)xn?f1(t)?x1???a21(t)x1?a22(t)x2???a2n(t)xn?f2(t)?x2 ??????????????????????x??a(t)x?a(t)x???a(t)x?f(t)n11n22nnnn?n 1）一阶微分方程组的标准型
含有n个未知函数x1,x2,?,xn及其一阶导数的微分方程组
??f1(t,x1,x2,L,xn)?x1???f2(t,x1,x2,L,xn)?x2 ??LLLLLLLLLL?x??f(t,x,x,L,x)n12n?n称为一阶微分方程组的标准型，其中fi(t,x1,x2,?,xn)(i?1,2,?,n)是定义在n?1维空间
(t,x1,x2,?,xn)的某区域D内已知的连续函数，t是自变量。
2）初值问题
求满足方程组（5.1）及初值条件x1(t0)??1,x2(t0)??2,?,xn(t0)??n的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如下
??f1(t,x1,x2,?,xn)?x1???f2(t,x1,x2,?,xn)?x2 ?????????????x??f(t,x,x,?,x)n12n?n及x1(t0)??1,x2(t0)??2,?,xn(t0)??n。
3）通解
方程组（5.1）含有n个独立的任意常数C1,C2,?,Cn的解
?x1??1(t,C1,C2,?,Cn)??x2??2(t,C1,C2,?,Cn) ?????????????x??(t,C,C,?,C)n12n?n称为它的通解。
三：用Jordan标准型求解线性微分方程组
现实的很多问题，都可以用现行微分方程组近似的去模拟，但很多的死后，不需要用到复数去求解，这个时候，如果使用Jordan标准型就可以迅速的解决问题！
1），方程组x??Ax的基本解矩阵为
?etJ1??exp(At)?T????????T???etJ2?1
?etJm
?λi??其中，Ji?????1λi?????是ni阶的若当块，i?1,2,?,m，n1?n2???nm?n，?1?λi??而m为矩阵A?λE的初等因子的个数，?i，i?1,2,?,m为矩阵A的特征根，T为n阶
?J1???1非奇异矩阵，使得TAT?J，J????????。 ????J2?Jm注：矩阵中空白的地方为零，T称为过渡矩阵。
? d?1dt?-?1??2?2），以? d?2dt?-4?1?3?2为例, 对于这类问题，一般有两种思路：一种思路是利
? d?dt???2?313?用高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分方程的求解方法如常数变易法齐次化原
理算子解法等可以得到方程(1)的特解和通解另一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性微分方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵 首先把微分方程组该写成矩阵形式：dxdt??? ??1???其中：???2，?????3???d?1dt???1d??????d?2dt，A??4???dt???1?d?3dt??1300??0 ?2??在给微分方程组施行一个非奇异线性变换，即：???? ?0?其中??0???112?2-10???1?????3，???2 ????2????3??于是，就有d?dt=?d?dt=?-1??=?-1???=J? ??1?2?对A求约当标准型，先求其的特征值，得到特征值??2?1 ???1?3?2?然后，Jordan标准型得到得到：J?0???0d?1dtd?2dt0100??1 ?1??所以：?2?1，??1??2，d?3dt??3
其一般解分别为：?1?c1e2t，?2?c2e?c3te，?1?c3e
ttt
再由????，求的原微分方程的一般解：
??1?c2et?c3te?tt ??2?2c2e?c3(2t?1)e?2tee??c1e?c2e?c3(t?1)e3?由此，可以得到用Jordan标准型求解线性微分方程组出的答案，即是Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用！用Jordan标准型，对于一些方程，可以大大的简化步骤！
在许多的实际问题中，使用复数往往没有多大的意义，因此，需要在实数域R上来求标准型！化矩阵为Jordan标准型，实际上就是适当选择线性空间的基或者坐标系，使得在新坐标系之下，问题的数学形式最为简单，从而研究！
正因为线性微分方程组的此类解法的加入，无疑大大的扩展了，线性微分方程组的应用领域！与此同时线性微分方程组的适用领域的扩大，也让人们对于矩阵Jordan标准型的研究发展，从而数学就不断进步，人们也从中获益！
参考文献：
《Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用》 徐千里，徐水清 《线性微分方程组》 《Jordan标准型》