磁学
?一、已知电流分布（或运动的电荷），求解磁感应强度B的分布
1、毕奥-萨伐尔定律——方法一
????0Idl?er???0Idlsin??0Idl?BdB??10?7N?A?2 dB?，大小，方向为的方向。224?r4?4?r???B??dB：将dB分解为分量后再积分，Bx??dBx，By??dBy，Bz??dBz
●电流在其延长线上各点产生的磁感应强度为零。
2、安培环路定理（求解高对称性的磁场分布）——方法二
??B??dl??0?I，注意安培环路L的选取。 ?LL内无限长载流圆柱体：选取过场点半径为r的圆环为L，B?2?r??0螺绕环：选取过场点半径为r的圆环为L，B2?r??0?NI?；
?I；
L内长直密绕螺线管：选取过场点的矩形回路为L，设在管内部分的长度为MN，
B?MN??0nMNI
3、【几种形状载流导线所产生的磁场】重要！
?0I(cos?2?cos?1) 4?r?I 无限长载流直导线：B?0
2?r?0I①有限长载流直导线： B?②载流圆线圈：圆心O处 B?轴线上P点 B??r2R3
?0I2Rsin???0IR22r3
一段圆弧（圆心角为θ，弧长为l）在圆心处：B??0I????0I?l? ?????2R?2??2R?2?R?③无限长载流直螺线管：B??0nI，n — 单位长度的匝数。 ④螺绕环：B??0NI；细螺绕环：B??0nI 2?r1?i，i表示单位宽度电流强度。 20?0 r?R?⑥无限长载流圆柱面：B???0I
r?R??2?r⑤无限大平面电流：B?
1
??0Ir r?R??2?R2 无限长载流圆柱体（或者称为“圆柱形”）：B??
?I?0 r?R??2?r????0qv?er4、单个运动电荷的磁感应强度：B?
4?r2 电量为q的点电荷或环形电荷作匀速圆周运动，可以等效为圆电流：I?5、磁场的高斯定理：
???S??B?dS?0
q??q T2??? 磁通量的计算：Φ???B?dS???BdScos?， 单位为Wb ??B6、安培环路定理：???dl??0?I，注意电流有正负。
LL内SS7、有磁介质时：将公式中的?0改成磁导率?；而?可写成???r?0，?r称为相对磁导率。
?????此时的安培环路定理：??H?dl??I，B??H??r?0H
LL内
?二、已知B，求作用力 ???1、洛仑兹力：F?qv?B
???； v?B，F=0，粒子做“匀速直线运动”
v2mv2?m??v?B，F?qvB?m，粒子作“匀速率圆周运动”，半径R?，周期T?.
RqBqB??v、B之间夹角为θ时，将速度分解为平行磁场的分量v??vcos?和垂直磁场的分量
粒子作“等螺距的螺旋线运动”，半径R?v??vsin?，
mv?2?m，螺距h?v?T?v?
qBqB????????2、安培力：dF?Idl?B，F??dF??Idl?B（将dF分解为分量后，对分量积分）
ll???●特例：在均匀磁场中的直导线受力：F?IL?B
在均匀磁场中的弯曲导线的受力=从起点到终点通以同样电流的直导线的受力。 3、在均匀磁场中载流线圈受到的磁力矩：
?????（注意两个矢量的夹角）。 M?pm?B?NIS?B，大小M?pmBsin?，
4、磁力或磁力矩作功：A?I?m2??m1，注意?m2和?m1的正负。
三、电磁感应
1、法拉第定律：感应电动势???N??d? dt注意：①先计算穿过整个回路的磁通量?，然后再对t求导；
d?，再用愣次定律判断?的指向。 dtt2?NdΦ1??感应电流：I?；感应电量：q??Idt??(Φ2?Φ1)
t1RRdtR②先计算大小???N2、动生电动势：除了可以用法拉第定律计算外（若不是回路，可以添加辅助线构成回路）；
2
???还可以：???(v?B)?dl，L——运动的导线。
L?????建议：先计算大小???(v?B)?dl，再用(v?B)判断?的指向。
L3、感生电动势：用法拉第定律计算，若导线不是回路，可以添加辅助线构成回路。 4、自感和互感
?N??，无铁磁质时, L仅与线圈形状、匝数N及磁介质有关，而II与电流I无关。 无限长螺线管的自感系数：L??n2V
dI自感电动势：?L??L
dt??②互感系数：M?21?12，无铁磁质时，M仅与两个线圈形状、大小、匝数、相
I1I2①自感系数：L?对位置以及周围的磁介质有关，而与电流无关。
dI2dI，?21??M1 dtdt③两个线圈顺接：L?L1?L2?2M，两个线圈反接：L?L1?L2?2M
互感电动势：?12??MM?kL1L2，无漏磁时，k?1
12LI 21B21磁场能量密度：wm?BH???H2，
22?2④自感线圈磁能：Wm?B2某区域（体积为V）内的磁场能量：Wm??wmdV??dV
2?VV
四、位移电流
??????dD?dE??1、位移电流密度：jd?，当E随着时间t增加时，jd与E同方向；当E随着dtdt??时间t减小时，jd与E反方向； 2、位移电流强度（简称“位移电流”）：Id?jdS，S——垂直于电流方向的面积。
Id?3、全电流：I?I0?Id，全电流是连续的。
dqd(CU)dU??C dtdtdt??dD???4、全电流在空间产生的磁场：?I???I0?Id???(j0?)?ds ?LH?dl??sdtL内L内?
H的方向与全电流的方向满足右手螺旋定则。
3
机械振动
一、振动表达式及其相关的知识点
1、动力学特征
合力：F??kx?ma（此处的x——相对于平衡位置的位移，平衡位置——合力或合力矩为零的位置）
d2x2典型的动力学方程：2??x?0
dt2、振动表达式（也称为振动方程）：x?Acos(?t??0)
由此可得振动速度和振动加速度：
dxd2xv???A?sin(?t??0)，a?2??A?2cos(?t??0)
dtdt3、三个特征量的确定
①角频率（或称为圆频率）：由系统决定。 弹簧振子??2?1k111?，?——频率（串联：???...；并联：，T???mkek1k2） ke?k1?k2?...；同种材料的弹簧，长度越短，劲度系数就越大。
?T1?l?T1?gl?，→相对变化，（注意，仅适用于相对变??T2lT2gg单摆：T?2?化很小的情况）。
②振幅A和初相位?0：由初始条件决定。
2?x0?Acos?0?v0v02→A?x0?2，tan?0? ?v???Asin??x?0?00112122注意：①根据机械能守恒，也可以确定A，mv0?kx0?kA；
222 ②?0是第几象限的角度，需要根据x0，v0的正负，利用旋转矢量图进行判断。
（第一象限：x0?0，v0?0；第二象限：x0?0，v0?0；第三象限：x0?0，v0?0；第四象限：x0?0，v0?0；）
二、振动的合成
1、两个同方向同频率简谐运动的合成：
x1?A1cos(?t??10)，x2?A2cos(?t??20)， 合振动x?x1?x2?Acos??t??0?，
A和?0可以根据旋转矢量合成图来确定（如图）。
2A?A12?A2?2A1A2cos(?20??10) A1sin?10?A2sin?20
A1cos?10?A2cos?20两个分振动同相，?20??10?2k?,k?0,?1,?2,?，Amax?A1?A2； tan?0?反相，当A?20??10??2k?1??,k?0,?1,?2,?，Amin?A1?A2，1?A2时，Amin?0 2、两个同方向不同频率简谐运动的合成：
4
频率较大而频率之差很小时，出现拍的现象，拍频???2??1 3、两个相互垂直的简谐运动的合成：合成轨迹称为李萨如图形。
?x?xy方向的交点数目 ???y?yx方向的交点数目
机械波
一、平面简谐波的波函数及其相关知识点
2?
??k??2、波函数y(x,t)的确定：已知u??ui，y(x0,t)?Acos(?t??0)，（*坐标x0已知），
1、??uT，T?2??1，??则可写出波函数y?x,t??Acos???t??????x?x0? ??0??u??波函数的其它形式：
y(x,t)?Acos[2?(tx?)??]；y(x,t)?Acos(?t?kx??)， Tλ注意?与?0不一定相等。
3、当t=t0时，y-x曲线代表此时的波形图；当x=x0时，y-t曲线代表该质元的振动曲线。注意，振动速度v?方向来判断。
二、波的干涉
1、相干条件：频率相等、振动方向相同、相位差恒定（=多少，应具体问题具体分析。） 2、干涉增强和干涉相消满足的条件：两列波在P点相遇， P点合振动的振幅为A?2A12?A2?2A1A2cos??
dy的正负可以从y-t曲线的斜率上判断；也可以从波形图上波的传播dt?????20??10??2???r2?r1?，?10和?20分别为两
个波源的初相位，r2和r1为传播的距离。
当???2k?,k?0,?1,?2,?时，Amax?A1?A2，干涉增强；
当????2k?1??,k?0,?1,?2,?，Amin?A1?A2，则Amin?0.此时干1?A2，若A涉相消。
三、多普勒效应
1、波源不动，观察者相对介质以速度vR运动：?R?u?vR?S u2、观察者不动，波源相对介质以速度vs运动：?R?u? u?vSS 5