第三部分代数结构练习题

《离散数学》第三部分----代数结构

一、选择或填空

1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。

2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )； 3、设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )； (2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。

4、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。 5、代数系统是一个群，则G的等幂元是( )。

6、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。 7、群的等幂元是( )，有( )个。

8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

(1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。 10、是的子群的充分必要条件是( )。

11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。 12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） (1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 (1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群

1

15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 (1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶 16、下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,?） (2) （Z,?）

(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),?) 18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂 五、证明或解答：

1、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。

解：

2、求下列置换的运算：

?123456??1234??1234?（1）??452631?? ?2431?????4321??;（2）???????3

3、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试问是循环群吗？

解：

2

4、设是群，a?G。令H={x?G|a〃x=x〃a}。试证：H 是G 的子群。

证明：

5、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。

证明：

6、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。

证明：

7、设是群，a,b?G，a?e，且a4〃b=b〃a5。试证a〃b?b〃a。

证明：

3

8、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试证：为群。

证明：

9、单位元有惟一逆元。

证明：

10、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则证明：

11、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。

证明：

4

e?0。

12、证明在一个群中单位元是惟一的。

证明：

13、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。

证明：

14、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。

证明：

15、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当?a,b?S，（a〃b）2=a2〃b2。

证明：

5

16、设G＝(a)，{e}?H?G，am是H中a 的最小正幂，则 （1） H＝(am)；

（2） 若G为无限群，则H也是无限群；

证明：

17、在一个群中，若是k。

证明：

G中的元素a的阶是k，即6

|a|=k，则a-1的阶也