练习与巩固
1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2
2
解析：选C.∵y＝(x＋1)(x－a)＝x＋(1－a)x－a是偶函数 ∴1－a＝0，∴a＝1，故选C.
2
2．若f(x)＝x－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是( ) A．a>2或a<－2 B．－2
解析：选A.f(x)有负值，则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，其充要条
22
件是：Δ＝(－a)－4>0，a>4即a>2或a<－2.
2
3．若f(x)＝x－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．与m有关
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解析：选B.法一：∵f(x)＝x－x＋a的对称轴为x＝，
2
1
而－m，m＋1关于对称，
2
∴f(m＋1)＝f(－m)＜0，故选B.
2
法二：∵f(－m)＜0，∴m＋m＋a＜0，
22
∴f(m＋1)＝(m＋1)－(m＋1)＋a＝m＋m＋a＜0.故选B.
2
4．已知函数y＝ax＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
解析：选D.∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0(用反证法可得)，∴f(0)＝c＜0，∴只能是D.
572
5．已知函数f(x)＝x＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系
22
是( )
5775A．f()＜f(1)＜f() B．f(1)＜f()＜f() 22227575
C．f()＜f(1)＜f() D．f()＜f()＜f(1)
2222
2
解析：选A.由f(x＋2)是偶函数可知函数f(x)＝x＋ax＋b关于直线x＝2对称，所以
f(1)＝f(3)，又该函数图象开口向上，当x＞2时单调递增，故f()＜f(3)＝f(1)＜f()，
故答案为A.
6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a＜12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一
2
个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m，S的最大值为f(a)，若将这颗树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是 ( )
[来源:学科网ZXXK]5
272
??x≥a解析：选C.据题意设BC＝x，则DC＝16－x，要使树围在花圃内，需??
??16－x≥4
2
a≤x≤12，此时花圃的面积f(x)＝x(16－x)＝－(x－8)＋64(a≤x≤12)，当8＜a<12时，
2
有f(a)＝－a＋16a，当0＜a≤8时有f(a)＝f(8)＝64，综上所述可得：f(a)＝
2
??－a＋16a，8＜a<12?，作出图形易知C选项正确． ?64，0＜a≤8?
7．已知函数f(x)＝x－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.
2
解析：∵f(x)＝(x－1)＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数， f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b， 2
∴b－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)． 答案：2
2
8．方程x－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．
??α＋β＝m，11
解析：∵?∴m＝β＋，∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增
ββ?α·β＝1，?
[来源:学.科.网Z.X.X.K]2
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函数，∴1＋1＜m＜2＋，即m∈(2，)．
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答案：(2，) 2
2
9．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________．
2
解析：∵f(x)＝k(x－1)－k， (1)当k>0时，二次函数图象开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3?k＝1；
(2)当k<0时，二次函数图象开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3?k＝－3.
(3)当k＝0时，显然不成立． 故k的取值集合为{1，－3}． 答案：{1，－3}
10．求下列二次函数的解析式：
(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.
2
解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．
??由题意，得?4ac－b＝－1，4a??11＝c，
2
2
－b＝2，2a
a＝3，??
解得?b＝－12，
??c＝11，
所以y＝3x－12x＋11.
2
法二：(顶点式)设y＝a(x－2)－1.
将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，
22
所以y＝3(x－2)－1＝3x－12x＋11.
2
(2)设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1，可知c＝1.
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而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)＋b(x＋1)＋c]－(ax＋bx＋c)＝2ax＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1，
2
所以f(x)＝x－x＋1.
2
11．已知函数f(x)＝x－4ax＋2a＋6(a∈R)． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
2
∴Δ＝16a－4(2a＋6)＝0
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?2a－a－3＝0?a＝－1或a＝.
2
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负数，
32
∴Δ＝8(2a－a－3)≤0?－1≤a≤，
2
∴a＋3>0，
2
∵f(a)＝2－a|a＋3|＝－a－3a＋2
3???3?217??＝－?a＋?＋?a∈?－1，??， 2???2?4??
3??∴二次函数f(a)在?－1，?上单调递减． 2??
19?3?∴f??≤f(a)≤f(－1)，即－≤f(a)≤4， 4?2?
?19?∴f(a)的值域为?－，4?. ?4?
2*
12．已知函数f(x)＝ax＋2x＋c(a、c∈N)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11. (1)求a、c的值；
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(2)若对任意的实数x∈[，]，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
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解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5， ∴c＝3－a.①
又∵6＜f(2)＜11，即6＜4a＋c＋4＜11，②
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将①式代入②式，得－＜a＜，
33
*
又∵a、c∈N，∴a＝1，c＝2.
2
(2)由(1)知f(x)＝x＋2x＋2.
2
法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x＋2(1－m)x＋2.
[来源:Z§xx§k.Com][来源:Z&xx&k.Com]
2(1－m)①当－≤1，即m≤2时，
2
329
g(x)max＝g()＝－3m，
2429
故只需－3m≤1，
425
解得m≥，又∵m≤2，故无解．
122(1－m)②当－＞1，即m＞2时，
2
113
g(x)max＝g()＝－m，
2413
故只需－m≤1，
49
解得m≥.
4
9
又∵m＞2，∴m≥.
4
9
综上可知，m的取值范围是m≥.
4
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法二：∵x∈[，]，
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[来源:学,科,网]113
∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立?2(1－m)≤－(x＋)在[，]上恒成立．
x22
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易知[－(x＋)]min＝－，
x2
5
故只需2(1－m)≤－即可．
2
9
解得m≥.
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