考查函数零点区间的判断及方程根的问题
数形结合法数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略．
图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．
【例17】? (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3
解析 法一 因为f(0)＝1＋0－2＝－1， f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0，
且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B正确． 答案 B
【例18】? (2012·天津)已知函数y＝|x2－1|
的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，x－1
则实数k的取值范围是________．
解析 去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形结合的方法求解．因为函数y＝|x2－1|??x＋1，x≤－1或x＞1，
＝?根据图象易知，函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，所x－1?－x－1，－1＜x＜1，?以两个函数图象有两个交点时，0＜k＜1或1＜k＜4. 答案 (0,1)∪(1,4)
??a2－ab，a≤b，
【例19】? (2012·福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝?设f(x)＝(2x
?b2－ab，a＞b.?
－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________． 解析 f(x)＝(2x－1)*(x－1)
??2x－12－2x－1x－1，x≤0，
＝? ?x－12－2x－1x－1，x＞0，???2x2－x，x≤0，即f(x)＝?
?－x2＋x，x＞0.?
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象1
与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，
4x2，x3.
当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1， x2＋x3?1
∴0＜x2x3＜?2，即0＜x2x3＜；
4?2?1??2x2－x＝4，1－3当x＜0时，由?得x＝，
4
??x＜0，1－33－1
∴＜x1＜0，∴0＜－x1＜.
44∴0＜－x1x2x3＜
3－11－3，∴＜x1x2x3＜0. 1616
?1－3?
答案 ??
?16，0?
命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间. 2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
1
【押题13】 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，
2x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )． A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
1
答案： D [由f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点x1＜0；由g(x)＝x－logx＝0，得x＝
21
logx，则其零点0＜x2＜1；由h(x)＝log2x－x＝0，得x＝log2x，则其零点x3＞1.因此x12＜x2＜x3.]
??log2x＋1，x＞0，
[押题14] 已知函数f(x)＝?若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m
?－x2－2x，x≤0，?
的取值范围是________．
答案： 解析 函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0
＜m＜1即可使方程f(x)＝m有三个相异的实数根，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点． 答案 (0,1)