与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知动圆圆心在抛物线y＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点
( )．
A．(2,0) C．(0,1)
B．(1,0) D．(0，－1)
2
x2y2
2．设AB是过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则△F1AB的面
ab积最大为
( )．
A．bc B．ab C．ac D．b
2
x2y2
3．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲
ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
( )．
A．(1,2) C．(2，＋∞)
B．(－1,2) D．[2，＋∞)
x2y2
4．若AB是过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐
ab标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM2kBM＝
( )．
c2b2c2a2
A．－2 B．－2 C．－2 D．－2 aabb5．已知过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限|AF|分别交于A、B两点，则的值为
|BF|
( )．
A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题(每小题5分，共15分)
6．点P在抛物线x＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应
22
P的坐标为________．
x2y2b2＋1
7．若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为________．
ab3ax2y2→→2
8．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆2＋2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF12PF2＝c，
ab则此椭圆离心率的取值范围是________．
- 1 -
三、解答题(本题共3小题，共35分)
x2y23
9．(11分)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴
ab3
长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k12k2为定值．
x2y22
10．(12分)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x＝4 2y的焦点重合，F1、
abF2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝
两点．
(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)是否存在直线l，使得OM2ON＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
3
，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N3
x2y2222
11．(12分)如图，椭圆C0：2＋2＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x＋y＝t1， b＜t1
ab＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x＋y＝t2与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t1＋t2为定值．
2
2
2
2
2
- 2 -
参考答案
1．B [因为动圆的圆心在抛物线y＝4x上，且x＝－1是抛物线y＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.]
2．A [如图，由椭圆对称性知O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半．又OF1
1
＝c，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值为b.所以△F1OB的面积最大值为cb.所以
2△F1AB的面积最大值为cb.]
2
2
bbb2c2
3．D [由题意知，双曲线的渐近线y＝x的斜率需大于或等于3，即≥3.∴2≥3，2≥4，
aaaa∴≥2，即e≥2.]
4．B [(特殊值法)因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM2kBM＝
cab2
－2.] a5．C [由题意设直线l的方程为y＝ 3?x－?，即x＝＋，代入抛物线方程y＝2px中，
?2?32整理得3y－2py－ 3p＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝3p，yB＝－＝??＝3.]
y6．解析 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准1??线的垂线，与抛物线的交点?－1，?即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小． 4??1??答案 ?－1，?
4
2
2
?
p?yp2
3|AF|p，所以3|BF|
?yA??B?
??
cb2＋13a2＋11
7．解析 由离心率e＝2得，＝2，从而b＝3a＞0，所以＝＝a＋≥2 a3a3a3a＝2 答案
12 313
＝，当且仅当a＝，即a＝时，“＝”成立． 333a32 3
3
a213a8．解析 设P(x，y)，则
- 3 -
PF12PF2＝(－c－x，－y)2(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
222
b223c－aa222222
将y＝b－2x代入①式解得x＝，又x∈[0，a]，所以2c≤a≤3c，所以22
2
→→
ac离心率e＝c∈??3a?3，2?
2??
.
答案 ?
?3
?3
，2?2?? 9．(1)解 由题意可得圆的方程为x2
＋y2
＝b2
，
∵直线x－y＋2＝0与圆相切， ∴d＝22
＝b，即b＝2，
又e＝c3a＝3
，即a＝3c，a2＝b2＋c2
，解得a＝3，c＝1， 所以椭圆方程为x2y2
3＋2
＝1.
(2)证明 设P(x0，y0)(y0≠0)，A(－3，0)，B(3，0)， 则x2y200
23＋2＝1，即y2
20＝2－3x0， 则ky0
1＝x， k2＝
y0
0＋3
x0－3
，
2
2－2x223－x2
00即k2ky0
33＝－212＝x2＝x2＝0－30－3x20－3
3
，
∴k为定值－2
12k23
.
10．解 (1)椭圆的顶点为(0，2)，即b＝2.
e＝c1－b23
a＝ a2＝3
，解得a＝3， x2y2
∴椭圆的标准方程为3＋2＝1.
(2)由题可知，直线l与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线l为y＝k(x－1)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，
?22
由?x?3＋y2＝1，??y＝kx－1
得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2
－6＝0.
- 4 -
6k3k－6
x1＋x2＝，x2x＝1222，
2＋3k2＋3k22
OM2ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]
22
6k3k－62?3k－6－k－6?＝＝－1. 2－2＋1?＝2＋k?2＋3k?2＋3k2＋3k?2＋3k2
2
2
→→
所以k＝±2，故直线l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)．
11．(1)解 设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝
2
2
y1
x1＋a－y1
(x－a)．② x1－a－y122
由①②得y＝22(x－a)．③
x1－ax2x2y21?x2y21122?由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故2＋2＝1.从而y1＝b?1－2?，代入③得2－2＝1(x＜－a，
abab?a?y＜0)．
(2)证明 设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|， 故x1y1＝x2y2.
22
22
?x1?22?x2?因为点A，A′均在椭圆上，所以bx?1－2?＝bx2?1－2?.
?a??a?
221
22
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x1＋x2＝a.从而y1＋y2＝b， 因此t1＋t2＝a＋b为定值．
2
2
2
2
222222
- 5 -