选修4-5 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为
( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0)
D．(－4，－2)∪(0,2)
解法一：原不等式等价于??
?x＋1≥0??1 或???x＋1<0??x≥－1 ?? －3 或???x<－1 ? ?0 －4 解法二：原不等式等价于－3 2．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确．．． 的是 ( A．|a＋b|≥a－b B．2ab≤|a＋b| C．|a＋b|<|a|＋|b| D．|baa＋b |≥2 解析：当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|. 答案：C 3．如果存在实数x，使cosα＝x2＋1 2x 成立，那么实数x的集合是 ( A．{－1,1} B．{x|x<0或x＝1} C．{x|x>0或x＝－1} D．{x|x≤－1或x≥1} 解析：由|cosα|≤1，所以|x1 2＋2x |≤1， ) ) x1|x|1 又|＋|＝＋≥1， 22x22|x||x|1 所以＋＝1， 22|x|又当且仅当|x|＝1时成立， 即x＝±1. 答案：A 11 4．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－，)，则t＝ 22 ( ) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t， 11 即2t－1<2x<1，t－ 22答案：A 二、填空题 5．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则ab2c＋abc2的最大值为________． 1 解析：ab2c＋abc2＝abc(b＋c)＝(3a)(2b)(2c) 1213?a＋b＋c?427 (b＋c)≤[]＝. 124102413 当且仅当a＝，b＝c＝时取等号． 48答案： 27 1024 6．如果关于x的不等式|x－2|＋|x－3|≥a的解集为R，则a的取值范围是________． 解析：|x－2|＋|x－3|≥|(x－2)－(x－3)|＝1，由题意易得a≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题 7．若logxy＝－2，求x＋y的最小值． 1 解：由logxy＝－2得y＝2， x 3xx131331xx1x13而x＋y＝x＋2＝＋＋2≥3··2＝3＝2，当且仅当＝2即x＝2时取等 x22x22x422x33号．所以x＋y的最小值为2. 2 8．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|x－8|－|x－4|>2. 4， x≤4?? 解：(1)f(x)＝?－2x＋12， 4 ??－4， x>8图象如下图所示： (2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2， 由－2x＋12＝2得x＝5. 由函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)． [高考·模拟·预测] 1．已知|x－a| ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由|x－a| 由已知得?，解得a＝3，b＝1. ?a＋b＝4? 答案：C 2．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k>0的解集为R，则实数k的范围是________． 解析：∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3， ∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3， ∴|x－2|－|x－5|>k的解集是R时，k<－3. 答案：k<－3 |x＋1| 3．不等式≥1的实数解为________． |x＋2| ??|x＋1|≥|x＋2|，|x＋1| 解析：≥1?? |x＋2|?x＋2≠0? 22 ???x＋1?≥?x＋2??? ?x＋2≠0，? ??x＋1＋x＋2??x＋1－x－2?≥0，?即? ?x≠－2，? 3 解得x≤－且x≠－2. 2 3 答案：(－∞，－2)∪(－2，－] 2 4．如下图，O为数轴的原点，A、B、M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和． (1)将y表示为x的函数； (2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？ 解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30. (2)依题意，x满足 ??4|x－10|＋6|x－20|≤70，? ?0≤x≤30.? 解不等式组，其解集为[9,23]． 所以x∈[9,23]． 5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|， 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3. ①x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3， 即－2x≥3. ??x≤－1，3不等式组?的解集为(－∞，－]． 2?f?x?≥3? ②当－1 ??－1 不等式组?的解集为?. ?f?x?≥3? ③当x>1时，不等式化为 x－1＋x＋1≥3，即2x≥3. ?x>1，?3 不等式组?的解集为[，＋∞)． 2??f?x?≥3 33 综上得，f(x)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞)． 22(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件． 若a<1， －2x＋a＋1， x≤a，?? f(x)＝?1－a， a ??2x－?a＋1?， x≥1.f(x)的最小值为1－a. 若a>1， －2x＋a＋1， x≤1，?? f(x)＝?a－1， 1 所以?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．