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练习十二
1．一简谐横波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在x＝0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为y= 0.05sin (1.0-4.0 t )。试写出波函数。
解：由x?0.1m处质点的振动函数 y?0.05sin(1.0?4.0t)
?1可得 ??4.0s，??2?u/??2??0.8/4.0?0.4πm
任意x处的质元振动的相和x?0.1m的相之差为???2π(x?0.1)/??5x?0.5 这样，波函数可以是
y?0.05sin(1.0?4.0t???)?0.05sin(5x?4.0t?0.5)?0.05sin(4.0t?5x?2.64)
这表示的是沿x轴正向传播的波。 波函数也可以是
y?0.05sin(1.0?4.0t???)?0.05sin(1.5?5x?4.0t)?0.05sin(4.0t?5x?1.64)
2．一横波沿绳传播，其波函数为 y＝2?10－2sin2π（200t－2.0x） （1） 求此横波的波长、频率、波速和传播方向； （2） 求绳上质元振动的最大速度并与波速比较。 解：（1）将所给波函数和标准式
xy?Asin2π(?t?)
?比较，即可得
??1/2.0?0.50m，??200Hz，u????100m/s，
由于t和x的系数反号，知波沿x轴正向传播。
dyx?2π?Acos2π(?t?)，所以 （2）由于振动速度为 v?dt?vmax?2π?A?2π?200?2?10?2?25m/s
3．一平面简谐波在t＝0时的波形曲线如图所示。 （1） 已知u＝0.08m/s，写出波函数； （2） 画出t＝T/8时的波形曲线。 解：（1）由图可知，??0.4m
0.04ymu??u/??0.08/0.4?0.2Hz
由图知，t?0，x?0时，y?0
因而有：??π/2 代入y?Acos[2π(?t?可得波函数为
?0.04O0.20.40.6xmx?)??]
ym0.04y?0.04Acos(0.4πt?5πx?π/2)m t?T/8的波形曲线可以将原曲线向x（2）
正向平移
u?8?0.05m而得，如图所示
O?0.040.050.250.450.65xm 34
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4．已知波的波函数为y=Acosπ(4t+2x)。
(1) 写出t＝4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点？
(2) 画出t＝4.2s时的波形曲线。
解：（1）t?4.2s时波峰的位置由波函数中y?A决定，即要求
π(4t?2x)?2π?n，
将t?4.2s代入可得波峰的位置为
x?n?8.4n?0,?,?2,??
离原点最近要求x为最小。据此，n应取8，而x??0.4m。此波峰通过原点的时刻应
''是对应于n?8而x?0的时刻t，即 π（4t'?2?0)?2π?8
由此得 t?4s
（2）此波长为??2π/(2π)?1m。按此?值和波峰在?0.4m即可画出波形曲线如图所示。
y/m A 'O -0.4 -A 0.6 1.6 x/m 5．频率为500Hz的简谐波，波速为350m/s。 （1）沿波的传播方向，相差为60o的两点间相距多远？
（2）在某点，时间间隔为103s的两个振动状态，其相差为多大？
－
解：（1）由??u/??350/500?0.7m 和 ???2π?x/?可得
?x?????/(2π)?0.7?π/(2π)?0.12m 3?3（2）???2π?t/T＝2π??t?2π?500?10?π
练习十三
1．根据原书（2.17）式，气体的体积模量为K??V应为u?dp。在由原书（2.23）式，空气中声波波速dVRTγRTVdp。试证明：对于等温变化，u?；对于绝热变化，u?。用此二式
MMρdV分别计算标准状况下空气中声速的数值并与实测值332m/s比较。你如何解释从比较中得出的结论？（空气的γ＝1.4，M＝29g/mol。）
解：对于等温变化，pV?C，dp/dV?p/V，代入波速公式中，可得
uT?Vp??Vp??RT M 35
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对于绝热变化，pV??C，dp/dV??p/V，代入波速公式中，可得
uS?V?p?p???V??RT
M
将给定数据代入，可得在标准情况下，
uT?uS?8.31?273?280m/s，
29?10?31.4?8.31?273?331m/s ?329?10很明显，us和实际空气中声速相近。因而，设想空气中声波传播时，空气质元的压缩和膨胀的过程为绝热过程更符合实际。所以绝热，是因为声音频率相当高，在压缩和膨胀的短时间内每一空气质元还来不及和周围空气发生热交换所致。
2．一弹性波在介质中传播的速度u＝103m/s，振幅A＝1.0 ? 104m，频率υ＝103Hz。若该介质的密
－
度为ρ＝800kg/m3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S＝4 ?10-4m2的总能量。 解：I?11?(2π?)2A2u??800?(2π?103)2?(1.0?10?4)2?103?1.6?105W/m2 22W?IS?t?1.6?105?4?10?4?60?3.8?103J
3．行波中能量的传播是后面介质对前面介质做功的结果。参照原书图2.13，先求出棒的一段长度Δx的左端面ΔS受后方介质的推力表示式，再写出此端面的振动速度表示式，然后求出此推力的功率。此结果应与原书（2.30）式相同。
解：在棒中有纵波 y?Acos(?t?kx)
向右传播时，棒的一段长度?x的左端面?S受后方介质的推力为
F??Y该端面的振动速度为
dy?S??YkA?Ssin(?t?kx) dxv?dy???Asin(?t?kx) dx后方介质推动该端面的功率为
P?Fv?Yk?A2?Ssin2(?t?kx)
由于Y?u
4．一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性均匀介质，试求波的强度以及振幅和离开波源的距离有何关系？
解：由能量守恒可知，通过以线波源为轴的同一长度l而半径分别为r1和r2的两个圆柱面的能流相等，即 2πr1lI1?2πr2lI2，
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2?，k?2?/??2??/u??/u，所以又有
P???2A2u?Ssin2(?t?kx)
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由此得 I1r1?I2r2，
即波的强度与r成正比，又因I和A成正比，所以振幅A应与r成反比。
5．据报道，1976年唐山大地震时，当地某居民曾被猛地向上抛起2m高。设地震横波为简谐波，且频率为1Hz，波速为3km/s，它的波长为多大？振幅多大？ 解：人离地的速度即地壳上下振动的最大速度，为
vm?22gh
2?9.8?2?1.0m
2π?12gh地震波的振幅为 A?vm/2π???2π?地震波的波长 ??u/??3/1?3km
练习十四
1. 北京春节播放钟声的是一种气流扬声器，它发声的总功率为2 ?104W。这声音传到12km远的地方还可以听到。设空气不吸收声波能量并按球形波计算，这声音传到12km处的声强级是多大？约相当于原书表2.3中的哪种声音？ 解：在12km处的声强级为
IP2?104L?10lg?10lg?10lg?12＝70dB
I0I04πr210?4π?(12?103)2约相当于闹市车声。
2. 一日本妇女的喊声创吉尼斯世界记录，达到115dB。这喊声的声强多大？ 解：
I?I010L/10?10?12?10115/10?0.32(W/m2)
3. 在海岸抛锚的船因海浪传来而上下振荡，振荡周期为4.0s，振幅为60cm，传来的波浪每隔25m有一波峰。
（1） 求海波的速度。
（2） 求海面上水的质点作圆周运动的线速度，并和波速比较。由此可知波传播能量的速度可以比
介质质元本身运动的速度大得多。 解： （1）u??/T?25/4.0?6.25m/s
（2）v?2πr/T?2πA/T?2?π?0.6/4.0?0.94(m/s)?u
4. P，Q为两个振动方向和频率都相同的同相波源，它们相距3?/2，R为PQ连线上Q外侧的任意一点，求自P，Q发出的两列波在R点处引起的振动的相差。 解： ???2π?PR?2π?QR??P??Q?2π?PQ??P??Q
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由于两波源同相，即?P??Q，而PQ?3?，因此 2???
2π3???3π或π ?25. 位于A，B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100Hz，相差为π，若A，B相距30m，波速为400m/s，求AB连线上二者之间叠加而静止的各点的位置。 解：考虑AB间距离A为x的一点，两波由A和B传到此点的相差为
????A??π?2π?x?[?B?2π?(l?x)]??A??B?2π?(l?2x)u2π?100(l?2x)?π?π(l?2x)/2400两波叠加而质点静止的条件是 ???(2n?1)π，因而有
π?π(l?2x)/2?(2n?1)π
x?l/2?2n?15?2n
n为整数，0?x?30，所以有x?1,3,5,?,29(m)
（20x）?cos（750t）6. 一驻波波函数为 y?0.02cos
求：（1）形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少？ （2）相邻两波节间的距离多大？ （3）t ＝2.0 ?103s时，x ＝5.0 ?10
－
－2
m处质点振动的速度多大？
解：(1) 与 y?2Acoskxcos?t比较，可得A?0.01m
u??/k?750/20?37.5m/s
（2）由于??2?/k，相邻两波节之间的距离为
?x??/2?π/k?π/20?0.157m
（3）v?dy??0.02?750cos20xsin750t dt?3 ＝－0.02?750cos(20?0.05)sin(750?2.0?10) ??8.08m/s
7. 一平面简谐波沿x正向传播，如图所示，振幅为A，频率为υ，传播速度为u。
（1）t＝0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动，试写出此波的波函数；
（2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数，并求出在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。
解： （1） 原点O处质元的振动表达式为
分界面 波疏 波密 u O P x 3λ/4 反射面 38