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如图，直线y??x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y?ax2?bx?c过A、C、O三点．
(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线； (3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果
存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
yx 26题图 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，满分24分） 题 号 答 案
1 Ａ 2 Ｄ 3 Ｂ 4 Ｄ 5 Ｃ 6 Ａ 7 Ｃ 8 Ｂ 二、填空题（每小题3分，满分24分）
9．2 ； 10．(x?1)； 11．100 ； 12．2.8?10； 13．圆锥； 14．4 ； 15．5 ； 16．三、解答题
243 417．（本题满分6分）
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解：原式=1?1?2?1o
(cos60占2分) ?????????4分 2 =1 ?????????6分 18．（本题满分6分）
解:2x?2?x?1 ?????????1分 2x?x?1?2 ?????????2分 x?3 ?????????4分 它的非负整数解为0，1，2. ?????????6分 19．（本题满分6分）
解:在Rt△ABC中，∠C=90 ，BC=1800，∠ABC=30，???????1分 tan300?O
O
ACAC ?????????3分 ?BC1800 从而AC?1800?3=6003 ?????????4分 3 ≈1039 ?????????5分
答：C处与灯塔A的距离为1039米． ?????????6分 20．（本题满分6分）
22xy原式= ?????????１分 ?xy?x?y?xy?x?y?x2?y2= ?????????2分 xy?x?y?=(x?y)(x?y) ?????????３分
xy?x?y? =x?y ?????????4分 xy 当 x?2?1,y?2?1时， x?y(2?1)?(2?1)2=??2 ?????????6分
1xy(2?1)(2?1)21．（本题满分6分）
解： 设平均年增长率为x ????????1分
依题意得： 100(1?x)2?121 ????????3分
解得：x1?0.1,x2??2.1(舍去） ????????5分
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答：平均每年增长的百分率为10﹪ ????????6分 22．（本题满分6分）
解：（1）200 ?????????2分 （2）5 ?????????3分 （3）设线段BC解析式为：y=kx+b, ?????????4分
依题意得：
?3000?20k?b4000?25k?b ?????????5分
解得：k=200,b=﹣1000
所以解析式为y=200x﹣1000 ?????????6分
23．（本题满分8分）
证：（1）??ABC??FCB ????????1分 ∴AB=CF，AC=BF ????????2分 ∴四边形ABCF为平行四边形 ????????3分 （用其它判定方法也可）
（2）OP=OQ ????????4分 理由如下：?OC?OB,?COQ??BOP,?OCQ??PBO
??COQ??BOP ????????6分
∴OP=OQ ????????7分
(用平行四边形对称性证明也可)
(3)90 ????????8分 24．（本题满分8分） (1) 400+100=500 ????????1分
400?0.8 ????????3分
500 (2) 10000?0.8?8000 ????????5分
还有2000人成绩不合格,中学生要加强安全知识学习
(意思差不多即可) ????????6分 (3) 成绩 频率 不合格 0.2 合格但不优秀 0.72 合格且优秀 0.08 o (每空一分) ????????8分 25．（本题满分10分）
解：（1）∵CD∥AB,∴∠ BAC=∠DCA ????????1分
又AC⊥BC, ∠ACB=90 ∴∠D=∠ACB= 90????????2分 ∴△ACD∽△BAC ????????3分
o
o
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（2）Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?8 ????????4分
∵△ACD∽△BAC ∴DC?AC ????????5分
ACAB即
DC8? 解得：DC?6.4 810????????6分
（3） 过点E作AB的垂线，垂足为G，
??ACB??EGB?90O,?B公共
∴△ACB∽△EGB ????????7分
4 ∴ EG?BE 即EG?t 故EG?t ???????8分
5810ACABy?S?ABC?S?BEF
1144?6?8??10?2t??t?t2?4t?24 ????????9分 2255５45=(t?)2?19 故当t=时，y的最小值为19 ??????10分
２52=
（其它方法仿此记分）
26．（本题满分10分）
解：（1）A（6，0），B（0，6） ????????1分
o连结OC,由于∠AOB=90，C为AB的中点，则OC?1AB，
2所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ????????2分 抛物线过点O，所以c=0, 又抛物线过点A、C，所以所以抛物线解析式为y???3?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2
312x?2x ???????3分 3o（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ????????4分 所以OD=OB=OA，∠DBA=90． ????????5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ????????6分 （通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90或 ∠COP=90, ????????7分 若∠CAP=90,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
o
o
o
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又AP过点A（6，0），则b=－6, ????????8分 方程y=x－6与
x1?6x2??312y??x?2x联立解得：y1?0，y2??9，
3?? 故点P1坐标为（－3，－9） ????????9分 若∠COP=90,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9） (用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．????10分
o
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