第3章 能量定理和守恒定律
3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。已知摆球质量为m，圆半径为R，摆球速率为?，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为多少？
解：如3-5题图所示，一周内作用在摆球上重力冲量的大小为 IP???mgdt?mg?t?mg2?R?
3-6用棒打击质量为0.3Kg、速率为20m/s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力。
解：设球的初速度为?1，球与棒碰撞后球获得竖直向上的速度为?2，球与棒碰撞后球上升的最大高度为h，如3-6题图所示，因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 mgh?m?22 ?2?2gh 由冲量的定义可得棒给予球的冲量为
?? I?m?2j?m?1i
12其冲量大小为
I??m?1???m?2??7.32?N?S? 球受到的平均冲力为
I?F?t F?__22__I?366?N? t3-5 题图 3-6 题图 3-7 题图 3-7质量为M的人，手里拿着一个质量为m的球，此人用与水平线成
?角的速度?0向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对人的速度?水平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少?（假设人可视为质点） 解：如3-7题图所示，把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向后抛物的过程中，满足动量守恒，故有 ?M?m??0cos??M??m?????
式中?为人抛物后相对地面的水平速率，???为抛出物对地面的水平速率，得
???0cos??m? M?mm? M?m人的水平速率的增量为
??????0cos??而人从最高点到地面的运动时间为 t??0sin?g
所以，人由于向后抛出物体，在水平方向上增加的跳跃后距离为
?x????t?m?0sin??
?M?m?g123-8 一质量为m＝2kg的物体按x?t3?2?m?的规律作直线运动，求当物体由x1?2m运动到x2?6m时，外力做的功。 解：由x?t3?2，可得 ??12dx32?t dt2当物体在x1?2m处时，可得其时间、速度分别为
2?13t1?2 t1?0?s? 232?1??02?0?m?s?1? （1）
当物体在x2?6m处时，可得其时间、速度分别为
6?13t2?2 t2?2?s? 232?2??22?6?m?s?1? （2）
则由（1）、（2）式得外力做的功 W?m?22?m?12?36?J?
3-9求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。
解：设h0、h1分别表示水面至街道的距离、水深，如3-9题图所示，将地下室中的水抽到街道上来所需作的功为 W?h0?h1121223-9题图
?h0?sghdh
??gs?h12?2h1h0?
??1.0?103?9.8?50??1.52?2?5?1.5? ?4.23?106?J?
3-10如图所示，一个质量M＝2kg的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从A滑到B，在B处时速度的大小是6m/s。已知圆的半径R＝4m，求物体从A到B的过程中，摩擦力所作的功。
解：如3-10题图所示，以物体和地球为一系统，物体滑动过程中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为 Wf?(0?m?2)?mgR Wf??mgR?m?2??42.4?J?
3-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为4.00N?s，在同一时间间隔内，该力所作的功为2.00J，问该质点质量是多少？ 解：设质点末动量为p，末动能为Ek，由于质点最初处于静止状态，因此，初动量p0?0，初动能Ek0?0，，根据动量定理和动能定理分别有
12123-10题图
1212 I??p?p?p0?p W??Ek?Ek?Ek0?Ek
12p2I2?而 Ek?m??
22m2mI2I2所以 m???4.00kg
2Ek2W3-12 如3-12题图所示，A球的质量为m，以速度u飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为?1其方向与u方向成900，B球的质量为5m，它被撞后以速度?2飞行，?2的方向与u成? (??arcsin)角。求： (1)求两小球相撞后速度?1、?2的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。
解：（1）取A球和B球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得
水平方向： mu?5m?2cos? （1） 竖直方向： 0?5m?2sin??m?1 （2）
联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 ?1?3u 4143-12题图
35 ?2?u
（2）碰撞前后两小球动能的变化为
?EKA?EKB1?3u?17?m???mu2??mu2 2?4?2322215?u???5m????0?mu2 232?4?3-13 一质量为10g、速度为200m?s?1的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。 解：以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有
?0f?dr?m?2?m?02 fx?0?m?02
2m?0??5?103?N? f??2xx1212123-14一质量为m的质点在x-y平面内运动，其位置矢量为
r?acos?ti?bsin?tj，其中a，b和?均是正常数 试证明该质点对于坐标原
点角动量守恒。
解：由r?acos?ti?bsin?tj可得 ??dr??a?sin?ti?b?cos?tj dtd??m??a?2cos?ti?b?2sin?tj? dtF?ma?mF?m??2?acos?ti?sin?tj???m?2r
??即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。
3-15在光滑的水平面上有—木杆，其质量m1?1.0kg，长l?40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量为m2?10g的子弹，以??2?102m/s的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。
解：设J1、J2、?、?/分别表示杆相对于轴O的转动惯量、子弹相对于O轴的转动惯量、子弹射向杆前子弹相对于O轴的角速度、子弹陷入杆后时杆的角速度，如3-15题图所示，以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律
J2???J1?J2??/
222?l?2??m1l?l??/?m2???? m2??????2l12???2???? ?/?6m2??29.1?rad?s?1?
?m1?3m2?l3-15题图
3-16 一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动惯量为450kg?m2的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以1.00m?s?1的速率沿转台边缘行