7) 斯托克斯(G. G. Stokes)公式
??A?ds?????A?ndS
lS附2 正交曲线坐标系
正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为
qi?qi(x1,x2,x3),i?1,2,3
或者
xi?xi(q1,q2,q3),i?1,2,3
沿曲线坐标线qi的微元长度(平分)为
?dsi?2??xj????dqi??j?1??qi?32??xj????q?dqi j?1?i?32如果记
Hi???xj????q? (附2.1) j?1?i?32那么
dsi?Hidqi
我们把Hi称为Lame系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为
qdq,j dSij?dsidsj?HiHdjii,?j1, 2 (附2.2)
ds2ds? dV?ds13H1H2H3dqdq2d q (附2.3) 1在直角坐标系统中一般弧线的长度为
3
ds?dx1?dx2?xd3?2222?i?1xdxid i在曲线坐标系中的长度表示为
22222?H2dq2? ds?H1dq1H3d q 3 (附2.4)
2空间中任意一点在直角坐标系中的表示为
r?x1i1?x2i2?x3i (附2.5)
其中ij为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。在曲线坐标系中
?r?qi3??j?1?xj?qiij (附2.6)
其长度为
?r?qi???xj????q??Hi j?1?i?32所以有
?r?qi?Hiei (附2.7)
其中ei为沿曲线坐标系的单位矢量。
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