又由题意知 a?1?x ⑵ 由式⑴和式⑵得 vdv?1?x dx分离变量，积分并注意初始条件，则有
即 v2?v1vdv???1?x?dx
0x1211v??x?x2 222?x2?2x?1
得 v?x?1（舍去负值）
而由速度定义有 v?dx?x?1 dt则分离变量，积分并注意初始条件，则
?x0tdx?dt x?1?0 得 ln(x?1)?t 则任一时刻的位置为 x?e?1
8．如图1-7(a)所示，一辆货车的驾驶室后壁高度为h，车厢长为l，竖直下落的雨点速度为u，要使车厢中的货物不致淋雨，则车的速度v的大小必须满足的条件是 v?
tul 。 hhl?uvvuv'?
图1-7(a)
图1-7(b)
[知识点] 运动相对性，速度叠加。
[分析与解答] 如图1-7(a)所示，取地面为静止参考系，货车为运动参考系，雨点为运动物体，则绝对速度为u，方向竖直向下，牵连速度为v，方向水平向右，则雨点对货车的相对速度为
v??u?v 在图1-7(b)的速度三角形中，有 tan??u v当? 角小于车厢上的相应角度??（如图所示）时，即 tan??tan???h l亦即
uh? vl 即当v?
ul车厢上的货物不致淋雨。 h9．一小孩在车站站台上以初速度v0竖直向上抛出一小球，站台上的观测者S测得小球的运动方程为x?0，y1。此时，一列车以u?5m/s的速度沿x轴正方向驶过站台，?v0t?gt2（SI）
2则列车上的观测者S?（旅客）测得小球的运动方程为
x?? ?5t （SI），y?? v0t?12gt （SI） 2v0gx?2轨迹方程为 y??? （SI） 。 x??550[知识点] 运动描述的相对性，伽利略变换式。
[分析与解答] 取站台上的观测者S为静止参考系，列车上的观测者S?为运动参考系，小球为运动物体，S?系对S系的速度为u，则由伽利略时空变换关系为
?x'?x?ut? ?y'?y ⑴
?t'?t?且考虑x = 0，u?5m/s，y?v0t?12gt，则S?系测得小球运动方程为 2t??x'??512 ⑵ ?y'?v?gt0?2?由式⑵消去时间t ，得轨迹方程为
v0gx?2 y'??x'?
550
10．一质点从静止出发，作半径为R = 3.0m的圆周运动，其切向加速度的大小始终为
aτ?3m/s2。当质点的总加速度a与半径成450角时，质点所经过的时间为t? 1 s；在上述时间
内，质点所经过的路程为s? 1.5 m，角位移为??? 0.5 rad。 [知识点] 角量的第Ⅱ类问题，圆周运动中的aτ和an角量与线量的关系 [分析与解答] 已知aτ?3.0m/s，当??45?有
v2an?aτ??3
R则得此时 v?3m/s ⑴
而 aτ?dv?3 dt由题意知 t?0，v0?0，则 v?3t ⑵ 由式(1)和式(2)得 t?1s 又由 v?则 s?在一秒内的路程为 s?角位移为 ?θ?
ds?aτt dt1axt2 21?3?1?1.5m 2s1.5??0.5rad R3三、计算与证明题
1．一雨滴从高空云层由静止竖直下落，其加速度随速度的变化关系为a?m?nv（SI），式中m、n为常数。试求雨滴的下落速度v与时间t的函数关系，并讨论雨滴的运动情况。（假设雨滴在下落过程中质量不变。）
[分析与解答] 选雨滴的下落方向为y轴正方向，雨滴起点为坐标原点。 按题意t= 0时，y0?0,v0?0。 由 a?分离变量并积分得
dv?m?nv dt?v0vtdv1d(m?nv)?????dt 00m?nvnm?nvv?m(1?e?nt) n结果表明，雨滴速度随时间按指数规律增长，雨滴作加速运动。 当t
2．一质点以半径R?6m作圆周运动，其在自然坐标系中运动方程为：
??时，v?m= 常量，表明雨滴将以该极限速度作匀速运动。 n1s?bt?ct2（SI）
2式中，b?2.0m经历的时间。
[分析与解答] 由题设方程可知，质点圆周运动的速率为
s，c?1.0ms2。试求质点切向加速度与法向加速度大小相等之前，其所
v?ds?b?ct dtdv?c dt则其切向加速度的大小为 aτ?v2b2?c2t2?则其法向加速度的大小为 an? RR按题意有aτ?an，即
b2?c2t2?c R 代入b?2.0ms，c?1.0ms2，R?6m，得
t?2s
3．一小球沿x轴作直线运动，其x～t，v～t，a～t曲线分别如图1-8（a）（b）（c）所示。试求： （1）小球的运动方程；
（2）分析小球在0～3s内的运动情况； （3）3s内的位移和路程。
[分析与解答]（1）由a～t曲线可知，a = -8m/s2，表明小球做匀变速直线运动，其标准方程为：
x?x0?v0t? 又由v～t和x～t曲线可知，当t12at（SI） 2?0时，x0?10m，v0?8ms。
x?10?8t?4t2（SI）
所以，小球的运动方程为： （2）在t减速运动；
?0时，x0?10m，v0?8ms，a??8ms2。此时，质点开始沿x轴正方向匀
s2，
在t?1s时，质点到达x轴正方向最远处，即x?14m，但此时v1?0，a??8m表明此时刻质点瞬间静止，处于换向点； 在1~3s内，速度v?0，a??8ms2，表明质点沿x轴反方向作匀加速直线运动。
在t?3s时，质点到达x??2m处。
（3）由x～t曲线上可以看出，在0~3s 内的位移为：
?x?x3?x0??2?10??12m
路程为：s?(x1?x0)?x3?x1?(14?10)??2?12?20m
v(m/s)x(m)141210864AB128C
a(m/s2)40-4-831v123t(s)v20123t(s)20-21-12Dt(s)-4-16v3-8(a)
(b) 图1-8
(c)
4．已知某行星的运动方程为r，式中A、B、?均为正的常数，?Acos?ti?Bsin?tj（SI）
且A?B，i、j分别为x、y轴的单位矢量。
（1）试证：该行星的运动轨迹为椭圆； （2）试求行星的加速度a；
（3）试说明：行星途径第二象限任一点M时（如图1-9所示），是加速还是减速运动？ [分析与解答] （1）由题设可知，该行星运动方程的分量式为：
x?Acos?t， y?Bsin?t
消去t得
yMOxx2y2?2?1 2AB 表明行星是以2A为长轴，2B为短轴作椭圆轨道运动。
（2）因为
d2xax?2??A?2cos?t
dtd2yay?2??B?2sin?t
dt 则
图1-9
a?axi?ayj
??A?2cos?ti?B?2sin?tj ???2r
即a与r反向，表明a恒指向椭圆中心。
（3）因为 v?dr???Asinωti??Bcosωt j dta???2Acosωti??2Bsinωt j???2r
而 a?v?(??2Acosωti??2Bsinωt j)?(??Asinωti??Bcosωt j) ??3sinωtcosωt(A2?B2)
由题意知，此时行星在通过图中在第二象限的M点，有
sinωt?0，cosωt?0，且A?B，??0
则 a?v?0
a与v夹角为钝角，表明在M点切向加速度aτ的方向与速度v的方向相反。所以，质点在通过M点时速率会减小。
四、简答题
1．质点在xOy平面内运动，r为位置矢量。试说明
?r??r，并画出简图。
[答]：?r是位量矢量的模，它反映了r的大小、方向两个因素的变化。而?r=?r称为径向增量，它只反映r的大小变化，如图1-10所示。
2．一个作平面运动的质点，其切向加速度aτ和法向加速度an均不为零，试讨论在下列条件下质点的运动情况：
（1）加速度a?恒矢量； （2）加速度a随时间变化。
O图1-10
yA?rB?rr1r2x
[答]：（1）aτ、an不为零，表明质点速度的大小、方向均变化，但加速度a是恒矢量，表明质点作抛体运动。
（2）若a随时间变化，则质点作一般曲线运动。若其曲率半径?等于常量，则质点作变速圆周运动。