1. 设?fn(x)?，f(x)是在集合E上定义的实函数，且?fn?单调增加，对任意的x?E，有fn(x)?f(x),(n??). 证明
?x?E:f(x)?0???n?1?x?E:fn(x)?0?.
2. 证明：R中以互不相交的开区间为元素的集合是至多可数集.
证明：设该集合为K. 因为对任意的开区间(a,b)?K，存在有理数rab?(a,b). 这样，可作一映射f:K?Q，使得f?(a,b)??rab. 由于K中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此K~f(K)?Q，也就说明了K是一至多可数集.
13. 设f(x)是可测集E?R上几乎处处有限的函数，对任意的??0，存在闭集F?E，
1?使m?E\\F???且f(x)在F上连续. 证明f(x)是E上的可测函数.
证明：设E??E[f??],En?E[f?n]，则?En??E是单减的可测集列，且
limn??En?E?. 因为mE??，所以limn??mEn?mE?. 又因为f是E上几乎处处有限
的可测函数，故limn??mEn?mE??0. 因此对???0，存在N，使得当n?N时
mEn??2，特别的，mEN??2. 在E\\EN上，恒有f(x)?N. 根据可测集的构造，存在
闭集F?E\\EN，使得m?(E\\EN)\\F???2. 这样，
E\\F??EN??E\\EN??\\F?EN???E\\EN?\\F?，
因而m?E\\F??mEN?m1????，且在闭集F上，有??E\\E?\\F???22Nf(x)?N
4. 设E?R是可测集且m(E)??，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，证明对
???0，存在闭集F?E使得m(E\\F)??且f在F上连续有界.
5. 设f(x)是有界可测集E上处处有限的非负可测函数，En?E[n?1?f?n]. 证明f(x)在E上可积的充要条件是
?n?mEn?1?n??,.
证明：类似于第2题. 不妨设f(x)在E上处处有限. 这时E??En，且{En}??n???是互
n?????不交的可测集列，故而
mE??n???mEn??. （1）
因f(x)在E上可测，所以f(x)在E上可积的充要条件是f(x)在E上可积. 因而问题转为证明：f(x)在E上可积的充要条件是 由积分域的性质得
???0??n???nmEn???.
???Ef(x)dx??n????f(x)dx??n????f(x)dx??n?1?f(x)dx （2）
EnEnEn??由于在En(n?1)上有n?1?f(x)?n，在En(n?1)上有n?f(x)?n?1，根据积分的单调性得
nmEn?mEn??nmEn??代入(2)式就得到
EnEnf(x)dx?nmEn,??n?1?,
f(x)dx?nmEn?mEn,??n?1?,
?0n???nmEn??n?1?n?1?mEn??f(x)dx??n????n?1?mEn??n?1nmEn.
??0??E结合(1)式得到
?
??n???nmEn?mE??f(x)dx??n???nmEn?mE.
E??也就得到：f(x)在E上可积的充要条件是
???n???nmEn???.
4. 设在可测集E上，有fn?f,gn?g. 证明: 在E上，fn?gn?f?g. 1. 证明：
??A???????cc??A. ????2. 证明：[0,1]中无理数的全体成一不可数集.
3. 设E是有界的可测集，E?F,mF?mE，证明F是可测集. 注意到若a?b??，则或a?*?2或b??2. 从而
E[?f?g???fn?gn???]?E[f?fn?]?E[g?gn?].
22故由次可加性和依测度收敛性即得到结论.
5. 设mE??，?fn(x)?为E上的可积函数列，且在E上?fn(x)?一致收敛到f(x).
?? 证明：f(x)在E上可积，且
?Ef(x)dx?limn???fn(x)dx.
E1（3）(8分) 设A?R，证明：若A既是开集又是闭集，则A?R或A??. 证明：设A是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设(a,b)是A的一个构成区间.若a有限, 则a?A; 另一方面，由A是闭集得a?[a,b]?(a,b)'?A'?A, 得到矛盾. 所以a???，同理得b???. 因此A?R，所以R中既开又闭的集或是空集或是R. （4）(8分) 设f,g均是E上的可测函数. 证明：集合E[f?g]是可测集.
证明：令Q??r?. 由于f,g均是E上的可测函数，所以对任意的n?N，集1,r2,?,rn,?合E[f?rn]和E[g?rn]均是可测集，E[f?rn]?E[g?rn]也都是可测集，这样集合
1111?n?1?E[f??rn]?E[g?rn]?是可测集. 实际上?n?1?E[f?rn]?E[g?rn]??E[f?g]，
?所以E[f?g]是可测集.
（5）(8分) 可测集E?R上的连续函数f(x)是E上的可测函数.
(6) (8分) 设f(x)是可测集E上的勒贝格可积函数，令en?Ef?n. 证明：
n??limn??n?men??0.
证明：令E??Ef??. 由题设f(x)在E上可积，知f(x)在E上几乎处处有限，故
??mE??0. (*)
又f(x)在E上可积，所以f(x)在E上可积，再由(*)式得
?E?f(x)dx?0,且?f(x)dx??? .
E集列?en?关于n单调减少，且limn??en?E?. 而利用非负函数关于积分域的连续性质得到，
?enf(x)dx??f(x)dx???,??n?，
Elimn???又
enf(x)dx??limn??enf(x)dx??E?f(x)dx?0，
?enf(x)dx??ndx?n?men??0，
en结合起来即有limn??n?men???0.