值.
(ii) 当A半负定时:
1 若r?n, 则(2.1.2)存在最大值;
2 若r?n, 一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(2.1.2)有最大值;
3 若r?n, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现, 则(2.1.2)不存在最值.
(iii)A不定, 则(2.1.2)不存在最值.
证明 (i) 令X?(x1,x2,?xn)?,A?(aij)n?n , B?(b1,b2,?,bn)则(2.1.2)改写为:
X?AX?2BX
(2.1.3)
?E因A半正定, 故存在可逆矩阵P, 使P?AP??r?0变为
0?, 对(3)作非退化线性替换X?PY, ?0? Y?P?APY?2BPY
(2.1.4)
其中Y?(y1,y2,?,yn), 而2BPY?2c1y1?2c2y2???2cnyn, 其中ci??bjpji.
j?1n(1) 若r?n, P?AP?En, 这时(2.1.4)变成,
22y12?y2???yn?2c1y1?2c2y2???2cnyn
nn?(y1?c1)?(y2?c2)???(yn?cn)??ci???ci2.
2222i?1i?1等号成立当且仅当yi??ci(i?1,2,3,?,n)时取得, 此时将yi??ci代入X?PY得唯一一组X的解, 此即取最值的点.
(2) 若r?n, 因A正定, 故A的秩等于它的正惯性指数, 即存在可逆矩阵P, 使
?Er?PAP???00?, 在非退化线性替换X?PY下, (2.1.4)式变为, ?0?0?22Y?2BY?y12?y2???yn?2c1y1?2c2y2???2cnyn. ?0?(2.1.5)
?E Y??r?0若一次项所含新字母均在平方项中出现, 即至少有cr?1?cr?2???cn?0,(2.1.5)可变为r个数的完全平方加一个常数, 故存在最小值.
(3)一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现, 即cr?1,cr?2,?,cn中至少一个不为零, 不妨设cr?1?0, 此时(2.1.5)变为,
(y1?c1)2?(y2?c2)2???(yn?cn)2?2c1y1?2c2y2???2cnyn.
令y1???yr?yr?2???yn?0, yr?1取绝对值很大的负值, 则上式的值会很小, 故不存在最小值; 又若yr?1取绝对值很大的正值, 则上式的值将会很大, 故不存在最大值. 因此不存在最值.
(ii)A半负定, 则?A?(?aij)n半正定, 利用(i)可得(ii)的结论成立.
?Er(iii)A不定, 则存在可逆矩阵P, 使P?AP???0??00?Es00?0??, 其中r,s均不为零. 0??否则s?0, 则A半正定; r?0则A半负定, 则都与A不定矛盾. 这时(2.1.5)式变为
y???y?y212r2r?1???y2r?s?2?ciyi,
i?1n令y2???yn?0, 而y1取任意的数, 可以知道上式的值大于任何给的正数, 故不存在最大值. 令y1???yr?yr?2???yn?0, 而yr?1取任意大的数, 则上式的值小于任何预先给定的负数, 故不存在最小值.
例 1 讨论
222x12?3x2?2x3?3x4?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x4?2x3x4?2x1?2x2?x3?2x4?3
是否有最值.
解 将上式的矩阵A写出, 对A作合同变换得到
3?1?1??2?1?01?P??2?001??0?00?2??1??2?????1?, 它使P?AP??? 1????2?2???0????1??主对角线上有一零, 故知r?3?n, 而对角线上其余的非零数全是正的, 故知A半正定
矩阵, 是否存在极值还应看替换后的情形才能定. 作线性替换X?PY, 原多项式的二
2y3次齐次项部分变为, y?2y?, 一次项部分为
221222(y1?y2?y3y3?2y4)?4(y2?3?y4)?(y3?2y4)?2y4?2y1?2y2?2y3. 22所含字母y1,y2,y3均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换
后的多项式配方, 得
2y312(y3?2)212y?2y??2y1?2y2?2y3?3?(y1?1)?2(y2?)??
2222212211故当y1?1,y2??,y3?2时, 上式有最小值?.
2271将y1,y2,y3代入X?PY中, 当x1???2y4,x2??y4,x3?2?y4,x4?y4(y4为任意
221常数)时, 原式有最小值?.
2例2 已知实数x，y满足x2?y2?1, 求f(x,y)?x2?2y2?2xy的最大值和最小值. 解 f(x,y)的矩阵为
?E?A???1111由定理可知, f(x,y)在x2?y2?1下的最大值为(3?5), 最小值为(3?5).
22 定义2.1
1) 矩阵A的k阶子式: 在一个s?n矩阵A中任意选定k行k列, 位于这些选定的
行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k阶行列式, 称为A的一个k阶子式;
2) 矩阵的k阶主子式: 就是指行指标和列指标相同的k阶子式. 定理2.2 设n元二次型为
22 F(x1,x2,?,xn)?a11x12?a22x2???annxn?2a12x1x2?2a1nx1xn???2an?1,nxn?1xn
?1?1?A???.
??12?111??2?3??1,因此,特征值?1?(3?5)，?2?(3?5). 于是,
22??2（2.2.1)
则n元二次型的特征方程是
??a11?a21??an1?a12??an2???a13?a23???n?I1?n?1?I2?n?2???(?1)n?1In?1??(?1)nIn?0,
??a11????ann其中Ii(i?1,2,?,n)是n元二次型的矩阵A的一切i阶主子式之和. 证明 根据行列式的性质, 将行列式
??a11?a21??an1?a12???a11???an2?a1n?a2n?????ann
拆成2n?1个行列式之和, 将其中的一个行列式
?0?00??0?0???0??
设为B, 其余2n?1个行列式可依次有行列式A的第i列(1?i?n)乘以-1代换B的第i列,行列式A的第i列和第j列(1?i?j?n)分别乘以(?1)代换B的第i列和第j列, 行列式
A的第i、j、k列(1?i?k?j?n)分别乘以(?1)代换B的i、j、k列, 依次类推. 即
??a11?a21??an1?a12??an2???a13?a23????a22??0?00??0?0???0???+
1?i?n?0??a1i?00???a2i?0?0?????0??ani???a12???a13???a22??a23?an2??ann
???ann0??a1i????+
1?i?j?n?0???a2i?00??ani??a1j?0??a2j?0??????anj???a11+?+
?a21??an1
=?n?I1?n?1?I2?n?2???(?1)n?1In?1??(?1)nIn?0,
其中Ii(i?1,2,?,n)是n元二次型(2.2.1)的矩阵A的一切i阶主子式之和. 定理证毕.
例3 求三元二次型F(x,y,z)?3x2?y2?3z2?2xy?2xz?2yz的特征方程. 解 三元二次型的矩阵为
?3?1?1??, A???11?1?????1?13??根据上述定理可知,
??311111??3?7?2?12??0.
??11??3例4 求四元二次型
22F(x1,x2,x3,x4)?x12?2x2?x4?4x1x2?4x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4
的特征方程.
解 四元二次型的矩阵为
?1?2A???2??1根据上述定理可知 I1?1?2?0?1?4,
221121011?1??, 1??1?121211212101I2????????7,
222011101111122210121111121111211111I3?221?221?201?101??4,
12212211I4??0.
21011111所以, 四元二次型的特征方程为
??1?2?2?1?2?1?1?2?1??2?1?1??4?4?3?7?2?4??0.
0?1?1??1
定理2.3 二次型半正定的充分必要条件是它的标准型的所有系数都是非负的.
22证明 充分性 设f(x1,x2,?,xn)?a1x12?a2x2. 若a1,a2,?,an?0, ???anxn则f(x1,x2,?,xn)?0, 即二次型是半正定的.
必要性 若二次型是半正定的, 而对于某个i有ai?0, 则令?1?0,?2?0,?,?i?1
?,?n?0这时可以找到变量x1,x2,?,xn的一组适当值x1?,x2?,?,xn?,使得