实验一：有限差分法研究静电场边值问题
实验报告人： 年级和班级： 学号：
1. 实验用软件工具： Matlab 2. 实验原理：电磁场课本P36-38
1) 差分方程
2) 差分方程组的解
简单迭代法
高斯-赛德尔迭代法 逐次超松弛法
3. 实验步骤： 1）简单迭代法 程序：
hx=41;hy=21; v1=zeros(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v1
v2=v1;maxt=1;t=0; k=0;
while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf
subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on
1
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off
当W=1e-5, 迭代次数：1401次 2）高斯-赛德尔迭代法 程序：
hx=41;hy=21; v1=ones(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v2=v1;maxt=1;t=0; k=0;
while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf
subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off
2
当W=1e-5, 迭代次数：740次 3）逐次超松弛法 程序：
hx=41;hy=21; v1=zeros(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
alpha=input('please input the value of alpha(alpha>=1 && alpha<2):'); k=0;
while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf
subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off
当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数
3
alpha 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 迭代次数 742 616 509 417 336 263 197 133 80 161
4）画三维曲面图和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时） 程序：
hx=41;hy=21; v1=zeros(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v1
v2=v1;maxt=1;t=0; alpha=1.8; k=0;
while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf
subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
4
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off
贴图：
4．实验结论
（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
（2）从各个方法的迭代次数可以看出：在给定相同的最大允许误差W的条件下，简单迭代法使用的次数最多，为1401次；高斯赛德尔迭代法可以明显减少迭代次数，其迭代次数为740次；如果应用逐次超松弛法，则迭代次数与加速收敛因子有关，且在加速收敛因子选取合适值时，可以使迭代次数相对于其它迭代方法更加显著减少。如在加速收敛因子为1.8时，其迭代次数尽为80次。
（3）在以后应用迭代法解决边值问题时，应最好选用逐次超松弛法，且在使用时，应注意选取合适的加速收敛因子的值。
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