地区煤炭产量的博弈分析
摘要：
本文从某一地区煤炭企业的产量出发，运用无限策略博弈分析中古诺的寡头模型对多个煤炭企业产量决策进行博弈分析，表明多个煤炭企业从自身利益出发决定煤炭产量以使利益最大化的作法既不能使个体利益最大也不能使整体利益最大。从而指出各企业相互联合起来从整体利益最大化作产量决策效率将会更高。
关键词： 博弈；纳什均衡；古诺模型；囚徒困境；市场出请价格
Abstract：In terms of the output of one area，this article made analysis to the quantity strategy for several coal enterprises by gu nuo oligarch model among unlimited strategy theory game analysis, The result indicate that the practice will not maximize the individual benefit as well as the whole benefit, which decide the output in terms of individual benefit, finally pointed that many enterprises decide their output commonly will increase the efficiency.
Key words: Theory game; Nash equilibrium; Gu nuo model; Prisoner’s bewilderment; Market sell out price
0 引言：
利润最大化是每一个企业不断追求的目标，在激烈竞争的煤炭市场上，众多较小规模的煤炭企业从自身利益出发，采取种种措施来争取更大的利润，提高企业在煤炭市场中的地位， 从而使企业不断壮大，立于不败之地。
一般的作法就是不惜加大投入，增加成本不断扩大产煤量以使企业利润增加，然而盲目的增产，不仅不能增加企业利润，反而会使企业成本增加，利益受损，严重影响企业的进一步发展，更有甚者，企业之间为了争夺市场份额而加大产量的竞争，长期以往将会造成社会公共资源过度利用，低效率使用和浪费。本文将以某一地区三个煤矿企业的产量决策为例，从三个煤矿企业独立决策和联合起来共同决策两个方面来分析个体利润和共同利润最大化的状况，从而指出如果三个企业更多考虑合作，即联合起来决定产量，其效率将会得到大大提高。
1 N场上连续产量的古诺寡头模型
考虑n个厂商销售相同产品的寡头市场产量博弈问题，市场容量有限，市场出请价格（产品全都能卖出去的最低价格）是投放到该市场上产品总量的减函数，产品总量为n厂商各自产量的总和，假设n个厂商可各自自由选择自己有能力生产的任何产量，厂商之间既不存在相互的协商，也不受相互的限制，并且它们是在同一时间决定各自的生产产量，即是严格意义上的完全信息静态博弈。至此，n个厂商间按照以下方式作出产量决策。
将上述问题看作一个博弈，那么n个厂商就是其中的n个博弈方。他们可以选择的策略就是自己要生产和投放市场的产量，再假设产量是连续可分的，由上假设知，这是一个各博弈方同时决策的博弈，我们需知道各博弈方的得益情况。设厂商i的产量为qi,，则n家厂商的总产量就是Q??q，根据前面的讨论，我们已知市场出请价格是总产量的减函数，即
in?1ip?p(Q)因此p?p(Q)?p(?qi)。这样，厂商i的收益就为qi?p?qi?p(?qi)。再假
i?1i?1设厂商i生产单位产量的成本为固定的c（即没有不变成本，边际成本等于平均成本等于常数c），则他生产qi单位产量的总成本为c?qi。因此，厂商i生产qi产量的得益为
nnqi?p(?qi)?cqi?qi[p(?qi)?c]
i?1i?1为使得厂商得益最大，我们应根据纳什均衡定义求纳什均衡点。根据完全信息静态博弈纳什均衡点的定义，虽然本博弈中n个博弈方有无限多种可选策略，但是只要n个博弈方的
nn***一个策略组合(q1,q2,???,qn)满足其中的产量为其他所有博弈方的最佳决策，就构成一个纳
什均衡，即各厂商得益均最大时的产量组合。这样问题就归结为求
q)?c]) ，因此只要能使各式各自对q的倒数为0，就一定能实现上式的max(q[p(??iiniqii1最大值。求导数所得方程组的解就是本博弈唯一的纳什均衡。
2 地区煤炭产量的博弈分析
现以某一地区为例，运用无限策略博弈分析中的古诺寡头模型来对该地区煤矿企业的决策产量进行博弈分析。假设该地区共有三家煤矿企业，共同生产煤炭以供本地区煤炭的需求。煤炭总产出量为Q（万吨），煤炭的市场出请价格为总产量的减函数，即
p?p(Q)?800?Q，再假设各煤矿企业生产单位产量的成本为固定的c,且
C1?C2?C3?500，则生产qi单位产量的总成本为500qi。因此，三厂商得益为：
u1?q1p(Q)?c1q1?q1[800?(q1?q2?q3)]?500q1 u2?q2p(Q)?c2q2?q2[800?(q1?q2?q3)]?500q2
u3?q3p(Q)?c3q3?q3[800?(q1?q2?q3)?500q3
再求各煤矿企业得益的最大值：
?max(u?300q?q2?qq*?qq)111213?q11?2*q?qq*)?q1?max(u2?300q2?q2223 ?q2?2*q?q*q)u3?300q3?q3?q1323?max(q3??
上式求最大值的两个式子都是各自变量的二次式，且二次项的系数均小于0，因此
*,q*,q*只要能使三式各自对q,q,q的导数为0，就一定能实现三式的最大值。令： q123123?300?2q*?q*?q*?0123?*** ?300?2q2?q1?q3?0
?*?q*?q*?0??300?2q312?
***解之得该方程组的唯一一组解q1?q2?q3?75（万吨）。因此，策略组合(75,75,75)是
本博弈唯一的纳什均衡，也是本博弈的结果。即根据上述分析，模型中独立同时作产量决策，
以自身最大利益为目标的三家煤炭企业都会选择生产75万吨煤炭产量，最终市场总产量为225万吨，市场价格为800?225?575（元/吨），三方各自得益（利润）为75?575?500?75?5525（万元）2075
3 反应函数方法求解煤炭产量博弈的纳什均衡点
在无限策略的古诺模型中可以采用这样的思路，即先找出每个博弈方针对其他博弈方的所有策略（或策略组合）的最佳对策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策略组成的组合，也就是博弈的纳什均衡。只是其他博弈方的策略现在有无限多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，他们之间往往构成一种连续函数关系。
在上面的讨论中，对煤炭企业2和煤炭企业3的产量q2，q3，煤炭企业1的最佳对策产量就是q1，就是使自己在煤炭企业2和3在生产q2和q3的情况下利润最大化的产量，即q1是最大化问题
maxu1?max(300?q12?q1q2?q1q3)
q1q1的解。令u1对q1的导数等于0，不难求出
1(300?q2?q3)(75,75,75) 2这样就得到了对于煤炭企业2和3的一个可能的产量，煤炭企业1的最佳对策产量的计算公式是煤炭企业2和3产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为煤炭企业1对煤炭企业2和3产量的一个“反应函数”（Reaction function）。同样的方法，我们可再求出煤炭企业2 q1?R1(q2,q3)?对煤炭企业1和3产量q1和q3的反应函数以及煤炭企业3对煤炭企业1和2产量q1和q2的反应函数
1(300?q2?q1q2?q2q3) 21 q3?R3(q1,q2)?(300?q3?q1q3?q2q3
2 q2?R2(q1,q3)?由于这三个反应函数都是连续的线性函数，因此可以用三维坐标上的三条直线来表示它们，如图3.1。
在三个反映函数对应的三条直线上，只有他们的交点(75,75,75)代表的产量组合，才是又相互对方的最佳产量构成的，R1(q2,q3)上的其他所有点(q1,q2,q3)只有q1是对q2和q3的最佳反应，q2和q3不是对q1的最佳反应，而R2(q1,q3)和R3(q1,q2)上的点则刚好相反。根据纳什均衡的定义,(75,75,75)是该古诺模型的纳什均衡，并且因为它是唯一的一个，因此是该博弈的结果。这个结论与上面根据纳什均衡定义得到的结论是一样的。
q3
（0,0,150） q2 (75,75,75)
R1(q2,q3) (150,0,0) q1
图 3.1 古诺模型的反应函数
下面再从三个煤矿总体利益最大化的角度作一次产量选择。首先根据市场条件求实现总得益（总利润）最大的总产量。设总产量为Q，则总得益为
V?p(Q)?cQ?Q(800?Q)?500Q?300Q?Q2。容易求得使总得益最大的总产量为
150（万吨），最大总得益为u*?22500（万元）。
将其结果与三煤矿独立决策，追求自身而不是共同利益最大化的博弈结果相比，不难发现此时总产量较小，而总利润却较高。因此从三企业的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高。换言之，如果三企业更多考虑相互合作，联合起来决定产量先定出使总利益最大的产量后，各自平均生产，则各自可分享到的利益为7500万元，比只考虑自身利益的独立决策行为得到的利益要高2075万元。
3 结论：
地区煤炭产量博弈的古诺模型是一种囚徒困境，从而得出无法实现各煤炭企业总体和各自最大利益的结论。在市场经济体系中，煤炭企业生产的组织，管理，对于产业组织和社会经济制度的效率判断，都有非常重要的意义。各煤炭企业独立进行产量决策，过度开采，非但不能使个体和整体利益最大化，反而会造成社会自然资源的浪费，这些结论表明对市场的管理，政府对市场的条龙和监管都是必须的。