第一节 函数及其表示
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是( )
x2
解析 y＝x＝x(x≠0)；
答案 C
x??2，x＞0，
2．已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值
?x＋1，x≤0.?
等于( )
A．－3 C．1
B．－1 D．3
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，
∵2x＞0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，所以选A. 答案 A
1－x2?1?
3．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝x2(x≠0)，则f?2?等于( )
??
A．1 C．15
11
解析 令1－2x＝2，∴x＝4，
B．3 D．30
1－??1?2f??1??4??
?2??
＝??1?＝15.
2?4??
答案 C
4．(2014·安徽名校联考)若函数f(x)＝
???log4x ?x＞0?，??1????3x ?x≤0?，
则f??f??16????＝( )
A．9 B.19 C．－9
D．－19
解析 ∵f??1?1
?16??
＝log416＝－2，
∴f???1?f???－?16????
＝f(－2)＝32
＝19，选B. 答案 B
?15．(2014·太原市测评)已知
f(x)＝?x＋2
，－1≤x≤0，
?x2－2x，0 1)<1 2，则m的取值范围是( ) A．m>12 B．m<12 C．0≤m<1 2 D.1 2 ?－1≤2m－1≤0，解析 由题得?11 ?2m＋1<2， 或 若f(2m － ?0<2m－1≤1，?12?2m－1?－2?2m－1? 答案 D 1 解得2 6．(2013·陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( ) A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 解析 令x＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A项错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B项错．令x＝1.8，y＝1.9，则[x＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x＋y]>[x]＋[y]，故C项错，从而选D. 答案 D 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f(2x＋1)＝3x－2，且f(a)＝4，则a的值是________． t－13t－33解析 令2x＋1＝t，则x＝2，∴f(t)＝2－2，即f(x)＝2x737 －2，又2a－2＝4，∴a＝5. 答案 5 ?1? 8．设函数f(x)＝f?x?lgx＋1，则f(10)的值为__________． ?? 1 解析 分别令x＝10，10， ?1? ???＋1，f?10?＝f??10?得??1? ?＝－f?10?＋1，??f??10? 两式相加，得f(10)＝1. 答案 1 9．(2014·天津一中模拟)已知?x∈R，f(1＋x)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝ln(x＋1)，则当x<1时，f(x)＝________. 解析 由f(1＋x)＝f(1－x)，可知函数关于x＝1对称当x<1时，2－x>1，∴f(x)＝f(2－x)＝ln[(2－x)＋1]＝ln(3－x)． 答案 ln(3－x) 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图： (1)试确定y与x的函数关系式； (2)求f(－3)，f(1)的值； (3)若f(x)＝16，求x的值． 2 ???x＋2?，x≥1， 解 (1)y＝?2 ??x＋2，x<1. (2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x≥1，则(x＋2)2＝16. 解得x＝2或x＝－6(舍去)； 若x<1，则x2＋2＝16. 解得x＝14(舍去)或x＝－14. 综上，可得x＝2或x＝－14. 11．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式． 解 (1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x. 令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2. (2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x. ∴f(x)＝x2＋x－2. ??x－1，x＞0， 12．已知f(x)＝x－1，g(x)＝? ?2－x，x＜0.? 2 (1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值； (2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式． 解 (1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2. (2)当x＞0时，g(x)＝x－1， 故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x＜0时，g(x)＝2－x， 故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3； 2 ??x－2x， x＞0， ∴f[g(x)]＝?2 ?x－4x＋3， x＜0.? 当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0， 故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2； 当－1＜x＜1时，f(x)＜0， 故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2. 2??x－2，x＞1或x＜－1， ∴g[f(x)]＝? 2 ??3－x，－1＜x＜1.