2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几
何第10讲立体几何中的向量方法教学案理
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．两条异面直线的夹角
?π?(1)两异面直线的夹角θ∈?0，?.
2??
(2)设直线l1，l2的方向向量为s1，s2，则cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝2．直线与平面的夹角
|s1·s2|.
|s1|·|s2|?π?(1)直线与平面的夹角θ∈?0，?.
2??
(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a|·|n|. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2016·全国Ⅲ卷)如图10-1，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
图10-1
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【导学号：07804072】
2
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.如图，
3
1
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝2
BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是
MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
2
且AE＝AB－BE＝
2
2
?BC?AB2－??＝5. 2
??
→
以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N?
?5?
，1，2?， ?2?
PM＝(0,2，－4)，PN＝?
→
→?5?→?5?
，1，－2?，AN＝?，1，2?. ?2??2?
→??n·PM＝0，
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则?
→??n·PN＝0，2y－4z＝0，??
即?5
x＋y－2z＝0，??2
可取n＝(0,2,1)．
→
→|n·AN|85
于是|cos〈n，AN〉|＝＝.
→25|n||AN|85
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
25[类题通法] 向量法求线面角的一般步骤 1.建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标. 2.写出相关向量的坐标. 3.求平面的法向量. 4.求线面角的正弦值. 5.转化为几何结论.
提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
如图10-2，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，
AB＝AE＝2.
图10-2
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥AE.
∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.
→→
(2)以O为原点，OA，OB的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，3，0)，D(0，－3，0)，E(1,0,2)，
F(－1,0，a)(a＞0)，OF＝(－1,0，a)．
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·OB＝0
则有?
→??n·OE＝02,0,1)，
→
|OF·n|
由题意得sin 45°＝|cos〈OF，n〉|＝＝
→|OF||n|
→
21＝，解得a＝3或－. 2
23a＋1·5由a＞0，得a＝3， |2＋a|
→
，即?
?3y＝0
?x＋2z＝0
，令z＝1，则n＝(－
OF＝(－1,0,3)，BE＝(1，－3，2)，
→→－1＋65
cos〈OF，BE〉＝＝，
10×84故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为
5.] 4
→→
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1)
题型2 向量法求二面角(答题模板)
(对应学生用书第34页)
利用向量法求二面角的大小是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替抽象的思维，给立体几何带来了鲜活的方法，此类问题建系是突破口，求解的关键是平面的法向量．(2017·全国Ⅰ卷T18,2017·全国Ⅱ卷T19,2017·全国Ⅲ卷T19,2016·全国Ⅰ卷T18,2016·全国Ⅱ卷T19,2014·全国Ⅰ卷T19,2013·全国Ⅱ卷T18) ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (本小题满分12分)(2017·全国Ⅱ卷)如图10-3，四棱锥P-ABCD中，1①②
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC2＝90°，E是PD的中点．
图10-3
(1)证明：直线CE∥平面PAB； (2)点M在棱PC上，
且直线BM与底面ABCD所成角为45°， 求二面角M-AB-D的余弦值.
【导学号：07804073】
[审题指导] 题眼 ① 挖掘关键信息 看到PAD为等边三角形， 想到等边三角形的有关性质. 看到PAD垂直于底面ABCD， 想到面面垂直的性质. 看到证明直线CE∥平面PAB， 想到线面平行的判定或面面平行的性质. 看到M在棱PC上， ⑥
⑤
④
③
② ③ ④ 想到P，M，C三点共线，想到点M的设法. ⑤ 看到直线BM与底面ABCD所成角为45°， 想到线面角的求法，想到平面法向量的计算方法. 看到求二面角M-AB-D的余弦值， 想到求平面MAB与平面ABD的法向量. ⑦
⑥ [规范解答] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF. 1
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
2由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD， 1
又BC＝AD，所以EF綊BC，
2
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF. 4分 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB. (2)
→→由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， →→则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，3)，PC＝(1,0，－3)，AB＝(1,0,0).
7分
⑧2分
设M(x，y，z)(0 BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3)． 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量， → 所以|cos〈BM，n〉|＝sin 45°，即(x－1)＋y－z＝0.① →→⑨ 又M在棱PC上，设PM＝λPC，则 2 2 2 →→ |z| x－ 2 ＋y＋z2 ＝2 2 ， 2 8分 x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.②