高三艺术生数学复习资料
函数的对称性和周期性
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题
二、建构知识网络
一、两个函数的图象对称性
1、 y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 2、 y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 3、 y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。
4、 y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。
5、 y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点
(a,b)对称。
6、 y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?二、单个函数的对称性
性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)时，函数y?f(x)的图象关于直线x?称。
证明：在函数y?f(x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(x1)，点(x1,y1)关于直线
a?b对称。 2a?b对2高三艺术生数学复习资料
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x?a?b的对称点(a?b?x1,y1)，当x?a?b?x1时 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1
故点(a?b?x1,y1)也在函数y?f(x)图象上。
由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x?（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）
性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)?c时，函数y?f(x)的图象关于点（
a?b对称。 2a?b，2c）对称。 2证明：在函数y?f(x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(x1)，点(x1,y1)关于点 （
a?bc，）的对称点（a?b?x1，c－y1），当x?a?b?x1时， 22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1
即点（a?b?x1，c－y1）在函数y?f(x)的图象上。 由于点(x1,y1)为函数y?f(x)图象上的任意一点可知 函数y?f(x)的图象关于点（
性质3：函数y?f(a?x)的图象与y?f(b?x)的图象关于直线x?a?bc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 22b?a对称。 2证明：在函数y?f(a?x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(a?x1)，点(x1,y1)关于直线
x?b?a对称点（b?a?x1，y1）。 2由于f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故点（b?a?x1，y1）在函数y?f(b?x)上。 由点(x1,y1)是函数y?f(a?x)图象上任一点 因此y?f(a?x)与y?f(b?x)关于直线x?三、周期性
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b?a对称。 2高三艺术生数学复习资料
1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。
推广：若f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，b?a是它的一个周期
2.若T是周期，则kT(k?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数f(x)?C；
3、对于非零常数A，若函数y?f(x)满足f(x?A)??f(x)，则函数y?f(x)必有一个周期为2A。
证明：f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)
∴函数y?f(x)的一个周期为2A。
4、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)?1，则函数y?f(x)的一个周期为f(x)2A。
证明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。
f(x?A)1，则函数y?f(x)的一个周期为f(x)5、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)??2A。
证明：f(x?2A)?f(x?A?A)??1?f(x)。
f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)或f(x?)?则函)?21?f(x)21?f(x)6、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?数y?f(x)的一个周期为2A。 证明：先看第一个关系式
3A)3AA2 ?fx(???) f(x?2A)221?f(x?3A)21?f(x?高三艺术生数学复习资料
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A1?1?1?f(x?A?)1?2??A1?1?f(x?A?)1?21?f(x?2A)??f(x?A) f(x?A)?f(x) ?f(x)?f(x?2A)
f(x?A)f(x?A)??f(x?A)
f(x?A)f(x?A)第二个式子与第一的证明方法相同
7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x
都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)?f(x?a)?f(x?a) （1）
f(x?a)?f(x)?f(x?2a) （2）
两式相加得：f(x?a)??f(x?2a)
f(x)??f(x?3a)?f(x a?6
四、对称性和周期性之间的联系
性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求证：函数
y?f(x)是周期函数。
证明：∵f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)
f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)
∴f(2a?x)?f(2b?x) ∴f(x)?f(2b?2a?x)
∴函数y?f(x)是周期函数，且2b?2a是一个周期。
性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)时，函数
ccy?f(x)是周期函数。（函数y?f(x)图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数y?f(x)22是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期） 证明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c
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f(b?x)?f(b?)x??cf(x)?f(2b?x)? c 得f(2a?x)?f(2b?x) 得f(x)?f(2b?2a?x)
∴函数y?f(x)是以2b?2a为周期的函数。
性质3：函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b?a)。
证明：f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c f(b?x)?f(b?x)? f(4(b?a)?x)?f(2b?f(x)?(4a?f(2?b x2b? x2a?x)?)2c?f(2b? 2a? f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?x ?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a? x ?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x?)f (x推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x?a和点(b,0)(a?b)对称，则f(x)是周期函数，4(b?a)是它的一个周期
证明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).
?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).举例:y?sinx等.
性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?a),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(x?a)?f(x?a)则f(x)的图象以x?a为图象的对称轴，应注意二者的区别)
证明：?f(x?a)?f(x?a) ?f(x)?f(x?2a)
性质5：已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x??f?x??b，则y?f?x?是以
2a为周期的函数
证明：f(a?x)?b?f(x)
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