动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设则
关于的函数图象大致形状是（ ）
，，，△AMN的面积为，
例4（2011湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】本题通过“点动”带来“形动”，把观察、操作、
探究、计算融为定值； 梯形？若存
合在一起，巧妙将等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定等初中数学的主干知识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数学思想。
【解题思路】（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
1）∴BC=3，OC=AC=1。即B（3 ，。
（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方， 此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， 当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=3，
∴此时P的坐标为（?3， 0）。
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方， 此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， 当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=23，
∴此时P的坐标为（23， 0）。
综上所述，P的坐标为（?3， 0）或（23， 0）。
变式题4（2011江苏泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a
为大于0的
常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。 （1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
近几年的中考数学综合题都重视知识间的联系与整合，在知识交汇处，设置多层次的开放性、观察操作、阅读理解、合理猜想、推理探究，考查数学思考和解决问题的能力。这启示我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理得严谨，创新品质得提高。 附变式题答案： 1. 【答案】B
2. 【答案】解：（1）如图，连接PE、PB，设PC＝n，? ∵正方形CDEF面积为1，∴CD＝CF＝1。? 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n， ∴BC＝2PC＝2n。 而PB＝PE，
PB2=BC2+PC2?4n2?n2?5n2，
PE2=PF2+EF2??n?1??1，
∴(n?1)?1?5n。 解得n?1 (n??2221舍去) 。 2∴BC＝OC＝2。 ∴B点坐标为(2,2)。 （2）如图，由（1）知A(0,2)，C(2,0)，?
∵A，C在抛物线上，∴y?∴抛物线的解析式为y?123x?bx?2，∴b??。 4212311x?x?2，即y?(x?3)2?。 424411FG＝。 22∴抛物线的对称轴为x?3即EF所在直线。? ∵C与G关于直线x?3对称，∴CF＝FG＝1、∴FM＝在Rt△PEF与Rt△EMF中，
EF1PFEFPF，∴△PEF∽△EMF 。 ?2，?1:?2， ∴?FM2EFFMEF∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°。 ∴ME与⊙P相切。
（3）①如图，延长AB交抛物线于A′，连接CA′交对称轴x?3于Q，连接AQ， 则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为（AC+ A′C）的长。 ∵A与A′关于直线x?3对称，∴A(0,2)，A′(6,2)。
22∴A′C＝(6?2)?2?25。
而AC=22?22?22 ，
∴△ACQ周长的最小值为22?25。 ②当Q点在F点上方时，s?t?1； 当Q点在线段FN上时，s?1?t； 当Q点在N点下方时，s?t?1。 （当Q点在F点上方时，如上图， s=SAOFQ－S△AOC－S△QCF =111（t+2）×3－×2×2－×1×t=t＋1； 222当Q点在线段FN上时，如右图， s=S△AHQ－S△AOC－SOCQH =111（t+2）×3－×2×2－×（2＋3）×t=1－t； 222当Q点在N点下方时，如右图， s=S△AQI－SAIFC－S△CFQ =111（t+2）×3－×（1＋3）×2－×1×t=t－1。） 2223. 【答案】C。
4. 【答案】解：（1）当∠BAO＝45°时，四边形OAPB为正方形。 ∴OA＝OB＝a·cos45°=222。 a。∴P点坐标为（a，a）
222（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,
设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n）， ∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°， ∴∠DAE＝∠ABO。 在△AOB和△DEA中，
?9?0??AOB??DEA? ??ABO??DAE ， ?AB?A D? ∴△AOB≌和△DEA（AAS）。 ∴AE＝0B＝n，DE＝OA＝m。 ∴D点坐标为（m＋n，m）。
∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n） ∴P点坐标为（
m?nm?nm?n,）。∴PF=OF= 。 ∴∠POF=45°。 222 ∴OP平分∠AOB。
即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。 （3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 α。
2a·cos α。 2221∵0°≤α＜45° ∴＜cos α≤1 ∴a＜h≤a
222
则0°≤α＜45° ， h＝PF＝PA·cos α＝