一定的例题或习题．
三、加强数学思想方法的教学
新大纲把数学思想方法纳入数学基础知识的范畴，因此要加强数学思想方法的教学．函数这一章主要体现了以下思想或方法：
配方法．这一方法要求所有的学生都要掌握．
待定系数法．这一方法是求函数解析式的重要方法，要切实掌握．教学中，还可以根据学生的实际，介绍待定系数在其他方面的应用．
数形结合法．数形结合是数学的重要思想方法．在几类具体函数的研究过程中，要始终抓住数与形的结合，即根据解析式画出图形，又依靠图形揭示函数的性质．数形结合也是一种重要的解题方法，要引导学生利用数形结合法解题，以开发智力、培养能力。
感受数学教学中的美
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，具有高度抽象性、应用的普遍性和逻辑上的严密性。这三个特性使学生对数学的印象是单调、枯燥、冷漠的，难以唤起学生学习数学的兴趣。如能适时地引导学生进行美育，使学生在学习教学过程中不断获得美好享受，就会大大激发他们学习数学的兴趣。
“到处都是美，对于我们的眼睛，不是缺乏美，而是缺少发现。”面对0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个阿拉伯数字时，也许不会产生任何美感，但若联想到，正是这几个简单数字不同的排列组合，可以展示小到微生物、大到天体宇宙的时候，你有胸坎顿时也会充满一种与天地并立的浩然之气，这不正是数学中的简单与伟大之美吗？爱好音乐的人，经常会发现数学中的数字与符号正是流动的音乐，跳动的音符，它时而舒缓清澈、时而奔腾澎湃地谱写着不朽的乐章。无论是无限小数，还是直线和平面的无限伸展性，都可以使人产生无边无际的遐想。数学这门学科的正确性、简洁性、和谐性不正是它的美学特征吗？ （一）正确性。数学概念（包括定义、公理、定理、法则、公式）的产生与发展，都具有高度的严密性与准确性。“真即美，美即真”。在学习与追求真理的过程中，会使人深刻领悟到理性的美感。居里夫人说过：“科学的探讨与研究，其本身就含有至美，其本身给人的愉快就是报酬，所以我在我的工作里面，寻得了欢乐”。其实，一个科学理论成就的大小，事实上就是它的美学价值的大校。
（二）简洁性。数学中的简洁美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有数学的地方，你总会采撷到数学的简洁美。数学和符号的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了语言
文字的全部含义。这给研究问题带来了方便，提高了工作、学习效率。?陈景润关于“哥德巴赫猜想”中的“1+2”的证明，起初因用了二百多页稿纸而未能发表，后来的证明只用了一千字左右。总之，数学的抽象符号中有美的形象，数学的逻辑推理中更有简洁美的神韵。 （三）和谐性。数学的和谐美不仅体现在公式、图形的对称性之中，在其他问题中有其独特魅力。如一切空间图形都可以简化抽象为点、线、面、体，这充分显示出数学统一与和谐的美的规范。这种美感既是精细的，又是深邃的。
培根谈的好：“美中之最上者是图画所不能表现，初睹者所不能见及者。”数学不能立刻唤起人们的美感，不能一眼就看出它的审美价值。特别是对中学生而言，他们受阅历、知识水平、审美能力的限制，很难把审美客体的真正意蕴充分体味出来，这就需要教师不断地深入采撷审美内容，不失时机地加以引导，使他们领略到数学中的内蕴的一种独特美的品质。这对于开发中学生的非智力因素的领域，培养创造美感，发展智力品质，造就一代合格人才，会起到不可估量的作用。
谈数学应用意识的强化与应用能力的培养
当代对数学本质的描述是:数学是研究现实世界空间形式 、数量关系、模式和秩序的科学 。只有在数学教学中加强数学应用意识的培养,提高学生应用数学知识的能力,进而培养学生 学习数学的兴趣,才能消除学生对数学产生的深奥、枯燥、难学的印象。 一、 强化数学应用意识和培养数学应用能力的原因 1.强化数学应用意识和培养应用能力是数 学的本质决定的
数学的研究空间形式和数量关系的科学,源于生活,学习数学就是要把数学返璞归真,恢 复数学本来的面目,回到真实的然 、社会和生活中去 ,服务于生活,解决实际问题 。因而教师在教学中要 注意强化学生应用数学的意识和解决实际问题的能力,要求学生学会从生产、生活中提出、分析和解决数学问题。
2.重视数学应用意识的提高与应用能力培养是数学教学改革的方向
数学是 自然的 、数学概念 、数学方法 、数学思想 的起源和发展都是自然的。加强数学应用意识 和应用能力 的培养是新课程一个显着特点 。数学知识的应用是近几年数学教改的热点,新 编高 中数学教材把强化学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始终。如由‘细胞分裂 、人 口增长引入指数 函数 ;由地 震震 级的变化规律引入对数函数;并且在每章后面都开设有研究性课题 和阅读材料 ,如数列中的阅读材料“有关储 蓄的计算 ”和研究性课题“分期付款中的有关计算”等 ,这些都是为了加强数学应用意识和培养应用能力。
3.强化数学应用意识和应用能力培养是时代进步的要求
当今世界是一个信息化的时代,现代科学技术迅猛发展。数学作为各学科的基础学科,在时代发展中所起的作用越来越突出,它正日益转化为人们在生产和日常生活中所必须具备的技术手段和工具,社会对数学应用的需求和数学的社会化功能,是当今时代的一个突出的特点。站在新世纪的数学教育的角度讨论高中的数学应用意识与能力的培养,可 以更加深化人们的认识,更有效地指导人们的行动。
二、中学生数学应用意识和应用能力较差的原因 1.对数学的价值认识浅
“科学技术是第一生产力”,这一论述揭示了数学在生产力中的巨大作用 。数学作为从量 的方面处理现实世界 中各种关 系的科学,当然也要处理有关生产关系的问题,这就是数学的价值。如果在教学 中过分强调数学的逻辑性、严谨性、系统性和理论性,重复严谨的数学概念、讲授 主要为解题服务 的技巧 ,而不去传授数学的精神、数学的价值、数学结论 的形成与发现过程 、数学对科学进步所起的作用等内容。 2.应用数学的意识差
应用数学的意识,简而言之就是用数学的眼光,从数学的角度观察事物、阐释现象 、分析问题。我国旧的数学教育内容的选择“理论”占多数。对实施数学应用教育是不利的,这是造成学生 缺乏数学应用意识的主要原因。显而易见,学生在学 习与社会实践中缺乏用数学的意识,当然无从谈起用数学解决问题。 3.应用数学的能力弱
数学模 型是数学知识与数学应用的桥梁,研究和学习数学模型,能帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力。加强数学建模的教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。但学生在建模过程中因阅历有限、缺乏耐心、对应用问题的背景不熟等原因,难以构建出合适的数学模型,阻碍了对实际问题的解决 。如这个古老的问题:36口缸,共做 9船装,只准成单不准成双,问该怎么装?很多 的人拿到题目时信心百倍,可最后却感无能为力 。如果用奇偶性分析,7个奇数的和能等于 36吗?才明白原来此问题无解。又如立体几何中的这个问题:证明有四个角是直角的四边形是矩形。答案提供的方法是反证法,很繁琐。如果我们联系学生熟悉 的球来解,情形就不一样了。显然 B、D在 AC为直径的球,A、C在 BD为直径的球,所以 AC、BD相交,即 ABCD是平面四边形,所以是矩形。 三、强化学生的数学应用意识和培养数学能力的对策
数学是否就是玩数字游戏 ?数学 的价值 到底在哪里?这是每一位数学教育工作者必须
回答的问题 。处于中学生年龄阶段 的特点 ,理论上讲数学不是玩数字游戏,数学在我们生活中很有用对他们并没有多大实质性影响 ,教师从实际例子中来说明可能更好些 。如一天法国里昂大学利德里克 ·博凯博士和八岁的儿子出去散步。在一条河边 两个人玩起 了打水漂 ,看着 石块在水面上 留下 的朵朵涟漪,物理学家的脑袋冒出了一个离奇的想法:为什么不用物理学的知识把打水漂的过程搞清楚呢?于是德里克·博凯 博士开始 了艰苦的研究。终于用一组方程式 描述 了打水漂的原理,发表在2002年的《美国物理学 季刊》上。根据他的方程式 ,要想达到打水漂世界吉尼斯纪录的顶峰——38下,要求一块石头 以 25英里/小时(每小时 4O公里 ),每秒l4转的方式抛出,而真正的秘诀在于你扔的石头应当在 20度的 “黄金角度”撞击水面 。
打水漂原理也可用来描述航天器重返地球,进入大气的过程:当航天器从空气稀薄 的太空重返地球,进入“浓密的”大气层,他的运动方式就与打水漂有几分类似 ,也有一个在大气中 “弹跳”的过程。因此打水漂实验能帮助物理学家更精确地模拟航天器回收过程,根据模拟的结果更精确地设定航 天器进入 大气层的角度和速度,提高回收成功率。对司空见惯的古老打水漂游戏的研究结果,解决了航天实际中的重要问题。这就是数学模型的神奇作用。 通过这些实例的讲解,学生对数学的实用性将有更深刻的理解。当学生应用数学知识解决了一个实际问题时,他们的学习兴趣必将被更进一步地激发起来,成为进一步学习数学的内驱力。培养学生“应用数学” 的能力是数学教育的根本任务,当然应当成为数学应用教学目的中的“重中之重”。在教学中可通过大量的“数学建模”的活动和教学,引导学生走向数学的殿堂。
增强学生数学应用意识,学会用数学知识解决实际问题,不仅能克服对数学的厌学、怕学现象,而且能激发学生学好数学的内在动机,这对提高中学生的素质及以后的进一步学习有着深远的意义。
这必然会使学生对数学的认识片面化、狭隘化 。比如许多学生就认为 “数学不过是在玩数字游戏或进行晦涩深奥的证明”,甚至认为“数学只是一个考试科目”。
数学教学用语的使用
随着教学改革的深入发展和教学的高标准要求,课堂教学用语愈来愈被广大教师所重视。下边,就浅谈一下数学教学用语的优化。 一、教学用语要准确规范,严谨简约
数学用语的准确、规范使用是教师的重要基本功,对教学质量有直接作用。数学教师对
定义、定理的叙述要准确,不应使学生发生疑问和误解。教师要做到如下两条。
一是对概念的实质和术语的含义必须自己有个透彻的了解,比如“整除”与“除尽”、“数位”与“位数”、“切线”与“切线长”等如果混为一谈,就违背了同一律;又如有的教师讲“圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一”,就忽略了“同底等高”的条件;有的教师指导学生画图时说“这两条平行线画得不够平行”、“这个直角没画成90°”等,就违背了矛盾律;而“所有的偶数都是合数”、最小的整数就是“0”之类的用语错误就在于以偏概全,缺少准确性。 二是必须用科学的术语来授课,不能用生造的土话和方言来表达概念、法则、性质等,比如,不能把“垂线”讲成“垂直向下的线”,不能把“最简分数”说成“最简单的分数”等。严谨,除了具有准确性之外,还应有规范化的要求,如吐词清晰,读句分明,坚持用普通话教学等。简约,就是教学用语要干净利索,重要语句不冗长、要抓住重点,简捷概括,有的放矢;要根据不同学生的年龄特点,使用他们容易接受和理解的话语;要准确无误,不绕圈子,用最短的时间传递最大量的信息。有的教师“口头禅”太多,分散了学生的注意力,破坏了教学用语的连贯和流畅,甚至发生有学生上课专门统计教师说“口头禅”的次数,用语重复,拖泥带水,浪费了课堂有限的时间,影响了学生表现自己的积极性。 二、教学用语要形象有趣,通俗易懂
教学用语既非书面用语,又非口头用语,要通俗明白,使学生听得有滋有味,教师应该使抽象的概念具体化,使深奥的知识明朗化,用自己深厚的文化底蕴教给学生丰富的数学素养,通过驱动学生的数学想象,来达到培养学生数学能力的目的。怎样才能实现上述要求呢? 首先,要用形象化用语去解释抽象的数学概念。一般地说,对人的感官富有刺激性的用语,最能引起学生的兴趣,笔者大学时期的一位教授在讲解“阶乘”的概念时说:“100!这个结果大的惊人哟,所以我们使用!”。“数的阶乘”这个概念,从意义到算法,使我们记忆深刻,终生不忘。
其次,要精心锤炼描述性的用语,把学生带入美的意境,数学教学偶尔出现几句诗情画意的用语,效果更是不同凡响。据说陈景润的老师曾经用诗一般的用语向学生介绍了哥德巴赫猜想:自然科学的皇后是数学,数学的皇冠是数论,而哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠,他还意味深长地说:“昨天晚上,我做了一个梦,梦见你们中的一位同学了不得,他证明了哥德巴赫猜想”。这句话产生的神奇的力量,激励陈景润开始摘取皇冠明珠的万里长征,他矢志不渝,百折不回,终于创造了数学的辉煌。三、教学用语要力求亲切,富于情趣和激励化
数学用语是师生双方传递和交流思想感情的载体,亲切、感人的教学用语最能使学生保持积极舒畅的学习心境,最能唤起学生的热情,从而产生不可低估的力量。正如古人讲的“感
人心者,莫先乎情”。
一是教师在教学中,无论是讲授知识,还是对待学生,用语都应亲切,富有情感。许多专家也认为:智力源于情感,情感支配智力。对人的成功而言,情感智力比通常的心智活动的进行和智力水平的提高,更具有积极的意义,这是其他任何用语所无法替代的。对待任何学生都如此,尤其是对待那些本来对学习数学的兴趣就不大的学生教师再用刻薄的言语进行批评,他们的自尊心就会受到严重伤害,上进心也受到破坏。我们要尽量引导、鼓励他们,及时肯定他们对于事物的评价,同时要创造各种条件,让他们有施展才能的机会。如果教师对学生所取得的一点小小的成绩不给予正确的评价,那也会使学生失去学习数学的信心。
二是教师在教学中,用语要亲切、激励化。新形势下在教育方法上要创造一种宽松、宽容、富于活力的教学气氛,要“让课堂焕发出生命活力。”我认为亲切的教学用语是创造此种气氛的重要途径。亲切、自然的用语能缩短师生的心理距离,沟通师生的感情,融洽师生关系,使课堂上呈现出和谐、愉快、轻松的气氛。纯粹的用语如此,被称为“体态用语”的眼神、表情、手势更是如此。课堂教学中、教师如能做到神态亲切,举止得当,尤其会善于运用丰富的面部表情、眼神,就能使学生得到最直观、最形象、最真切的感受,由此受到鼓舞和激励。 此外,恰到好处地运用无声情语也可大大提高教学效果。数学的无声用语包括教师的表情用语和手势用语等,这些无声情语可辅助有声用语共同实现教学目的。我们常说“眼睛是心灵的窗口”,老师,一个温和的眼神,对学生都是激励,即使对学困生特别是对某些缺乏自信心的后进生也一样。我们要调整课堂上的视线投向,尽量用和蔼可亲的目光去捕捉学生的视线,让目光洒遍教室的每—个角落,使每个学生特别是数学“学困生”时刻感到老师在注意自己,这样无形中就起到了控制课堂的效果。老师可以用严肃的目光去批评课堂中的违纪的同学,这同大声训斥相比,更使学生容易接受,且不影响其他同学的注意力。同样,教学用语中若没有手势,课堂教学就显得有些生硬死板,缺乏活力,课堂教学中手势使用得当,既可以增强用语力度,又可强化要传授的数学知识,给课堂教学增添亮点和活力,当然手势的使用应保持自然、适度。
事实上,教师的课堂用语优化方式多种多样,远非上述几点所包罗。教师的用语艺术既体现了教师的教学能力,又和教学效果的好坏紧密相连。数学教师应该按照素质教育的要求,在教学实践中不断探索,不断总结,不断完善自己的教学用语,达到数学教学用语的科学性、艺术性的辩证统一,使学生透过教师高超的用语艺术,探知到教师思维的过程,学习到思考问题的良好方法,从中体验到思维过程中的快乐,从而提高教学效果。若如此,我们的教学水平自然就会不断地得以提高。