光学支格波分特点：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。
第三章 金属自由电子理论
1、请推导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式EF； 对于一个简单立方点阵的单价金属，已知晶格常数为a=3*10-10nm，请计算费米能量EF、费米波矢kF、费米温度TF及费米面上电子波长λF。
解：1自由电子状态密度 :
金属中的电子浓度为：
因此，
2．电子浓度n,
n=1/a3=1/(3*10-8)3=3.704*1022cm-3
费米波矢
费米温度
因而，费米面上电子波长为
费米能量EF=4.05eV
费米波矢kF=1.031*108cm-1 费米温度TF=47000K
费米面上电子波长λF=6.094*10-8cm=6,094 ?
2、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为
?222E(kx,ky)?(kx?ky)。
2m试求：（1）能量E～E?dE之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量EF； （3）电子的平均能量Ё。
解：（1）K空间中，在半径为k和k?dk的两圆面之间所含的状态数为
L2L22?kdk?kdk ?????????? dZ?（1）
2?4?2这也就是能量在E～E?dE之间的状态数，由电子的能量表达式可得 kdk?2mE2m1m（2） ?dE?dE ??????222??2E?将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量
mL2mL2dE?2dE 在E～E?dE之间的状态数为dZ?2?2??2??（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为
dZmL2? ?(E)? dE??2在绝对零度下，由下式
0EF0EFmL2mL20dE??E N???(E)dE?? F22??00??由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为
N??2 E?
mL20F（3）电子的平均能量为
1 E0?N0EF1E?(E)dE??N00EFmL2EdE 2???01mL21N??22N??210()??EF ?N??22mL22mL22
3、利用电子漂移速度v的方程m(dvv?)??e? .证明在频率?下的电导率为 dt??(?)??(0)[1?i??]。其中?(0)?ne2?/m0。 21?(??)解：设电场为???0e?i?t，则有 m(e?dvvdvv?)??e?0e?i?t 或 ???0e?i?t dt?dt?mt?dvv??0的通解为 v?ce? 齐次方程
dt?设非齐次方程的特解为v?Ae?i?t，则有 ?i?Ae?i?t?1?Ae?i?t??e?0?i?te m从上式可求出特解的待定系数A为A??故非齐次方程的通解为 v?ce?te?0? ?m(1?i??)?e?0?e?i?t ?m(1?i??)上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为?e的
ne2??0e?i?t电子，则其电流密度j(?)?n(?e)v???(?)?
m(1?i??)?1?i???ne2?1??(0)?故 ?(?)? 2?m(1?i??)1?(??)??ne2?其中 ?(0)?
m4、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。
第四五章 能带理论
1 、布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？
解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。 布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。
2、近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 按自由电子近似和紧束缚近似，说明晶体中禁带产生的原因是什么？ 解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构 按自由电子近似，零级近似波函数是平面波，它在晶体中传播如同X射线。当波矢 k 不满足布拉格条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当 k = nπ/a (处在布里渊区边界)，波长λ= 2π/k = 2a/n 正好满足布拉格反射条件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成驻波，使电子分布密度发生变化。一部分主要分布在离子实之间，受离子实吸引较弱，势能较高，一部分主要分布在离子实周围，受离子实吸引较强，势能较低。由此出现能隙。 按紧束缚近似，原来孤立原子的每一能级，当原子相互接近组成晶体时，由于原子间的相互作用就构成一个能带，若原子间距离越小，原子波函数间交叠越多，相互作用越大，能带宽度就越宽。
3、试述晶体电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。
解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。
准经典运动的基本公式有：
晶体电子的准动量为 p??k；
1?kE(k)； ??dk晶体电子受到的外力为 F?
dt晶体电子的速度为 v?11?2E(k)晶体电子的倒有效质量张量为 *?2；
m????k??k?在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：
dkedve??(Ε?v?B) ??*(Ε?v?B) dt?dtm
4、试说明有效质量、空穴的物理意义？为什么在能带顶部，电子有负的有效质量？说明负有效质量的物理含义。 解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。
当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化， 完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量*m、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。
晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用，将周期性势场力的作用归并到
晶体中电子的质量中，得到有效质量。所以它可以与电子质量有很大差别。电子通过与原子散射交换动量。当电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的动量时，有效质量大于零；电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量时，有效质量小于零。
电子的有效质量是电子在晶格的周期性势场中运动的表观质量。有效质量倒数张量定义为： 有效质量体现了周期场对电子运动的影响，它的大小仍可视为电子惯性大小的量度，而有效质量的正、负体现了电子在晶格和外场之间的动量传递关系。在能带底部附近，电子有效质量大于零，表示电子将从外场中获得的动量传递给晶格。在能带顶部附近，电子有效质量小于零，表示电子将从晶格中获得的动量传递给外场。 5、试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。
解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。
在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。
在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。 6、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)?71(?coska?cos2ka)， 其中a为晶格ma2882常数，m是电子的质量。试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；
（3）带顶和带底的电子有效质量。
171?272
(?coska?cos2ka)解：（1）E(k)?=?－coska+(2coska－1)] 2288ma88ma22 ＝
4ma2?(coska－2)2－1?
22当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2? Emax(k)? 2ma当ka=2n?时,Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?Emin （2）??*22? ma21dE(k)1?(sinka?sin2ka) dkma4?2?1(3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1
2???k2?? 当k?0时,带底，m*?2m 当k???2时,带顶，m*??m a3
7、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍，对于三维简单立方晶格，其相应的倍数？
＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A?2??2??i,B?j aa