三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
设Sn是数列?an?的前n项和, 已知a1?3, an?1?2Sn?3(n?N*). (Ⅰ) 求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ) 令bn??2n?1?an，求数列?bn?的前n项和Tn.
解析：(Ⅰ) 解: 当n?2时, 由an?1?2Sn?3, 得an?2Sn?1?3,…………………………1分 两式相减, 得an?1?an?2Sn?2Sn?1?2an, …………………………2分 ∴ an?1?3an.
∴
an?1?3. ……………………………………………………3分 ana2
?3.…………………4分 a1
当n?1时,a1?3，a2?2S1?3?2a1?3?9, 则
∴数列?an?是以a1?3为首项, 公比为3的等比数列. ………………………5分 ∴an?3?3n?1?3n. ……………………………………………………6分
n (Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)得bn??2n?1?an??2n?1??3.
∴ Tn?1?3?3?3?5?3????2n?1??3, ① …………………7分
23n 3Tn?1?3?3?3?5?3????2n?1??323423n?1, ② …………………8分
n?1 ①-②得?2Tn?1?3?2?3?2?3???2?3??2n?1??3n23nn?1 ?3?2?3?3???3??2n?1??3
…………9分
?? ?3?2?32?1?3n?1?1?3??2n?1??3n?1…………………………10分
??6??2n?2??3n?1.…………………………………11分
∴ Tn??n?1??3n?1?3.……………………………………………………12分 解法2: 由(Ⅰ)得bn??2n?1?an??2n?1??3.
n ∵ ?2n?1??3??n?1??3nn?1??n?2??3n, …………………………………8分
∴ Tn?b1?b2?b3???bn
n?1n???0?3???33?0???2?34?33?????n?1?3?n?2?3??????……10分
??n?1??3n?1?3. ……………………………………………12分 （18）（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中 随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(Ⅰ)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必 计算出结果）
(Ⅱ)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生序号i
1 2 3 4 5 6 7
60 65 70 75 85 87 90 数学成绩xi 70 77 80 85 90 86 93 物理成绩yi
(ⅰ)若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同 学中数学和物理成绩均为优秀的人数为?，求?的分布列和数学期望；
(ⅱ)根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程 (系数精确到0.01); 若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附：线性回归方程?y?bx?a，其中b???x?x??y?y?iii?1n??x?x?ii?1n2，a?y?bx.
x 76 y 83 ??x?x?ii?172 ??x?x??y?y? iii?17812 526 解析：(Ⅰ)解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为
7?24?4名， 42 …………………………………………1分 18名男同学中应抽取的人数为
7?18?3名， ……………………2分 423 故不同的样本的个数为C424C18. …………………………………………3分
(Ⅱ) (ⅰ)解: ∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名, ∴?的取值为0,1,2,3.
1C2C31844C34 ∴P???0??3?, P???1??, ?C335C73572C1C31214C33 P???2??, . …………………7分 ???P??3??33C735C735 ∴?的分布列为
? P 0 1 2 3 418121 35353535
…………………………………………8分 ∴ E??0?(ⅱ)解: ∵ b?4181219?1??2??3??. …………………………9分 353535357526?0.65,a?y?bx?83?0.65?75?33.60. …………10分 812∴线性回归方程为?y?0.65x?33.60.……………………………………11分 当x?96时, ?y?0.65?96?33.60?96.
可预测该同学的物理成绩为96分. ………………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，
? ?CMD?90，平面CMD?平面BCD，AB?平面BCD.
A (Ⅰ)求证：CD?AM；
M (Ⅱ)若AM?BC?2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值.
BD
C
解析：(Ⅰ)证明：取CD的中点O,连接OB,OM. ∵ △BCD是等边三角形，
∴ OB?CD. …………………………………………1分
∵ △CMD是等腰直角三角形，?CMD?90，
∴ OM?CD. …………………………………………2分 ∵ 平面CMD?平面BCD，平面CMD?平面BCD?CD，OM?平面CMD， ∴ OM?平面BCD. …………………………………3分 A ∵ AB?平面BCD,
N ∴ OM∥AB.
∴ O,M,A,B四点共面. …………………………4分 B ∵ OB?OM?O,OB?平面OMAB,OM?平面OMAB, CzMDO y? ∴ CD?平面OMAB. ………………………………5分 x ∵ AM?平面OMAB,
∴ CD?AM. ………………………………………………………6分 (Ⅱ)解法1: 作MN?AB,垂足为N,则MN?OB.
∵ △BCD是等边三角形，BC?2, ∴ OB?3,CD?2. 在Rt△ANM中, AN?AM2?MN2?AM2?OB2?1.………………7分
?∵ △CMD是等腰直角三角形，?CMD?90，
∴ OM?1CD?1. 2∴AB?AN?NB?AN?OM?2. …………………………………8分
如图,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,BO所在直线为y轴, OM所在直 线为z轴,建立空间直角坐标系O?xyz,
则M?0,0,1?,B0,?3,0,D??1,0,0?,A0,?3,2.
??????????????????∴ AM?0,3,?1,BM?0,3,1,BD??1,3,0.
??????设平面BDM的法向量为n??x,y,z?,
???????????3y?z?0,由n?BM?0,n?BD?0,得? …………………………9分
???x?3y?0,令y?1,得x?3,z??3. ∴ n??3,1,?3是平面BDM的一个法向量. …………………………10分
?设直线AM与平面BDM所成角为?,
?????AM?n?????2321则sin??cos?AM,n??????. …………………………11分 ???7AMn2?7∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为解法2: 作MN?AB,垂足为N,则MN?OB.
∵ △BCD是等边三角形，BC?2, ∴ OB?3,CD?2. 在Rt△ANM中, AN?21. …………………………12分 7AM2?MN2?AM2?OB2?1. ………………7分
?∵ △CMD是等腰直角三角形，?CMD?90，
1CD?1. 2∴AB?AN?NB?AN?OM?2.………………………………………………8分 由(Ⅰ)知OM∥AB，
A ∵ AB?平面ABD,OM?平面ABD,
N ∴ OM∥平面ABD.
M ∴ 点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.
BDK作OK?BD,垂足为K,
O∵AB?平面BCD，OK?平面BCD，
∴ OM?C