借鉴借鉴家酷酷酷卡课时分层作业(八) 椭圆的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A．＋＝1 3616C．＋＝1
64
x2y2
B．＋＝1 1636D．＋＝1
64
x2y2
x2y2y2x2
?a＋b＝10
A [由题意知?c＝25
?c＝a－b2
2
2
y2
??a＝6，解得?
?b＝4?
因此所求椭圆的方程为＋＝1.]
3616
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0 2599－k25－kA．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距 D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．] 3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) 【导学号：46342074】 1112 A． B． C． D． 2342 x2 x2y2x2y2 cc1A [由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.] a2c2 x2y2 4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且 abAB⊥BF，则椭圆的离心率为( ) A．233－15－1 B． C． D． 2222 2 2 2 2 2 D [在Rt△ABF中，|AB|＝a＋b，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|＋|BF|＝|AF|，得a＋b＋a＝(a＋c).将b＝a－c代入，得a－ac－c＝0，即e＋e－1＝0, 解得e＝－1±55－1，因为0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 借鉴借鉴家酷酷酷卡5．如图2-2-6，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交 2516椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( ) x2y2 图2-2-6 A．35 C．25 B．30 D．20 A [设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.] 二、填空题 6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________． 12c41 [如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.] 22a827．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为程为________________． 5 ，且过P(－5,4)，则椭圆的方5 x2y2 ＋＝1 [设所求椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0) 4536abx2y2 ??ab由题意得? c5＝??a5，25162＋2＝1 y2 2 ??a＝45解得?2 ?b＝36? 2 因此所求椭圆方程为＋＝1.] 4536 8．已知P(m，n)是椭圆x＋＝1上的一个动点，则m＋n的取值范围是________. 2 x2 y2 22 2 借鉴借鉴家酷酷酷卡【导学号：46342075】 [1,2] [因为P(m，n)是椭圆x＋＝1上的一个动点，所以m＋＝1，即n＝2－2m， 22所以m＋n＝2－m，又－1≤m≤1，所以1≤2－m≤2，所以1≤m＋n≤2.] 三、解答题 2 2 2 2 2 2 2 y2 2 n2 22 x2y2 9．设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点Pab在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率． ??[解] 不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P?，y?， 2?2? y2322 由点P在椭圆上，得2＋2＝1，y＝b，即 ab4 3b2 aa?a??2??? 2 3??aP?，b?，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝ ?22? 3ca－b(3b)－b22 30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝. a3aa3b32 10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－3，0)， 2222?1?且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是?1，?. ?2? (1)求该椭圆的标准方程． (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. 【导学号：46342076】 [解] (1)因为a＝2，c＝3，所以b＝a－c＝1. 所以椭圆的标准方程为＋y＝1. 4 (2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式， 22x2 2 ?2，得?1 y＋ 2 y＝?2， x＝ 02 0 x0＋1 x0＝2x－1，??所以?1 y＝2y－.0?2? 1?x(2x－1)?2 又因为＋y0＝1，所以＋?2y－?＝1，即为中点M的轨迹方程． 2?44? [能力提升练] 2 2 x2y2 1．已知F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥xab 3 借鉴借鉴家酷酷酷卡1 轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( ) 4 1313A. B． C． D. 4422B [由于PF⊥x轴， 则令x＝－c，代入椭圆方程，解得， b?c?by＝b?1－2?＝2，y＝±， a?a?a2 2 242 1b1 又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)， 4a4即有4(a－c)＝a＋ac， 即有(3a－4c)(a＋c)＝0， 2 2 2 2 c3 则e＝＝，故选B.] a4 x2y21 2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( ) 4m2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 x2y21 A [椭圆＋＝1的离心率为， 4m2 当0 4－m1 ＝，得m＝3， 22 m－4116＝，得m＝， 23mx2y21 即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．] 4m2 3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________． x2y2 ??a＋c＝3 ＋＝1 [由题意知?43?a－c＝1? 2 ??a＝2 ，解得? ?c＝1，? 则b＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.] 43 x2y2 x2y2 4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴， ab→→ 直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是________． 4 借鉴借鉴家酷酷酷卡→→11 [由AP＝2PB，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.] 225．已知点A，B分别是椭圆 ＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭 3620 x2y2 圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值. [解] (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)， 设点P的坐标是(x，y)， 则→AP＝(x＋6，y)，→ FP＝(x－4，y)． ?22 由已知得?x?36＋y20 ＝1， ??(x＋6)(x－4)＋y2＝0， 则2x2 ＋9x－18＝0，解得x＝32或x＝－6. 由于y>0，所以只能取x＝35 2，于是y＝2 3. 所以点P的坐标是??3?2，523??? . (2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0. 设点M的坐标是(m,0)， 则M到直线AP的距离是|m＋6| 2，又B(6,0)， 于是|m＋6|2＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2， 设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59 x2 2 ＝4?9?? x－92???＋15， 由于－6≤x≤6，所以当x＝9 2 时，d取最小值为15. 46342077】5 【导学号：