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课时作业(五十)A [第50讲 抛物线]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( ) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) 2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 1137C.5 D.16
4．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为( )
2ppA.y B.y
00px0C.x D.p 0
能力提升 5．[2010·福建卷] 以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
2222
A．x＋y＋2x＝0 B．x＋y＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0 6．[2010·山东卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 7． [2010·陕西卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
1
A.2 B．1 C．2 D．4 8．[2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )
A．43 B．8 C．83 D．16
9．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．
10．[2010·浙江卷] 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.
12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
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(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
难点突破
13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
→→→→λ111
(2)若FA＝λ1AP，BF＝λ2FA，λ∈?4，2?，求λ2的取值范围．
??2
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课时作业(五十)A
【基础热身】
1．B [解析] 由y2＝－8x，易知焦点坐标是(－2,0)．
a
2．B [解析] 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为?4，0?，则直线l的方程为y＝
??
aa1a?a?2?x－4?，它与y轴的交点为A?0，－2?，所以△OAF的面积为2?4?·8.???????2?＝4，解得a＝±所以抛物线方程为y2＝±8x.
3．A [解析] 设动点P到直线l1和直线l2的距离之和为d，直线l2：x＝－1为抛物2
线y＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，
|4－0＋6|
最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2. 5
4．D [解析]
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＝2py1，x2＝2py2，两式相减得(x1＋x2)(x1
－x2)＝2p(y1－y2)，即kAB＝
y1－y2x1＋x2x0＝2p＝p. x1－x2
【能力提升】
5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.
pp
6．B [解析] 抛物线的焦点F?2，0?，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
2??
p
即x＝y＋2，
将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
y1＋y2
所以2＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x， 准线方程为x＝－1.
p
7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x＝－2，圆的标准方程为(x－3)2＋y2
＝16.
p
∴3－?－2?＝4，∴p＝2.
??
方法2：作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，p
所以－2＝－1，解得p＝2.
8．B [解析] 设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4，∵直线AF的
4
斜率为－3，∴∠AFB＝60°.在Rt△ABF中，|AF|＝cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.
11119．－4 [解析] 抛物线方程为x2＝ay，故其准线方程是y＝－4a＝1，解得a＝－4. ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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pp32
[解析] 设抛物线的焦点F?2，0?，由B为线段FA的中点，所以B?4，1?，4????
pp3p32
代入抛物线方程得p＝2，则B到该抛物线准线的距离为4＋2＝4＝4.
2
11．±2 [解析] 过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立
4－2k22222
后消掉y得kx＋(2k－4)x＋k＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝2，x1x2＝1.
k
4－2k22
因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即k2＝6，解得k＝±2.
2而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±2. 12．[解答] (1)由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)．由已知，抛物
|3k|
线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为3，所以＝3，
1＋k222
解得k＝±，所以直线l的斜率为±. 22
(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜
4－x0y0率为，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为，
y0x0－4
4－x0
直线AB的方程为y－y0＝y(x－x0)，
0
10.
4－x0??y－y0＝?x－x0?，y0联立方程?
??y2＝4x，
x0消去x，得?1－4?y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0， ??所以y1＋y2＝
4y0， 4－x0
y1＋y22y0因为N为AB中点，所以2＝y0，即＝y，
4－x00
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2. 【难点突破】
p
13．[解答] (1)证明：由已知F?2，0?，设A(x1，y1)，
??
2
则y1＝2px1，
2x1＋p2x1＋py1??
圆心坐标为?，2?，圆心到y轴的距离为4，
?4?
2x1＋pp|FA|1
圆的半径为2＝2×?x1－?－2??＝4，
????
所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切． (2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， →→→→
由FA＝λ1AP，BF＝λ2FA，得 ?x－p，y?＝λ(－x，y－y)，
101
?121?1
?p－x，－y?＝λ?x－p，y?，
2
?22?2?121?
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p
所以x1－2＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，
pp
－x2＝λ2?x1－2?，y2＝－λ2y1， 2??
22
由y2＝－λ2y1，得y22＝λ2y1.
2
又y21＝2px1，y2＝2px2， 所以x2＝λ22x1.
ppp?x－p?，p(1＋λ)＝xλ(1＋λ)， 代入2－x2＝λ2?x1－2?，得2－λ2x＝λ212121222?2???p
整理得x1＝2λ，
2
pppλ1p
代入x1－2＝－λ1x1，得2λ－2＝－2λ，
22
1λ1所以＝1－，
λ2λ2
4λ111
因为λ∈?4，2?，所以λ2的取值范围是?3，2?.
????2
p
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋，
2
p
将x＝my＋2代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0， 所以y1y2＝－p2(*)． →→→→
由FA＝λ1AP，BF＝λ2FA，得 ?x－p，y?＝λ(－x，y－y)，
101
?121?1
?p－x，－y?＝λ?x－p，y?，
2
?22?2?121?
p
所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，
2
pp
－x2＝λ2?x1－2?，y2＝－λ2y1， 2??
p22
将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y1＝λ，
2
2pp
所以2px1＝，x1＝.
λ22λ2p1λ1代入x1－2＝－λ1x1，得λ＝1－λ，
22
4λ111
因为λ∈?4，2?，所以λ2的取值范围是?3，2?.
????2
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