2011年2月20日 数学学科 华师大版 九年级
2010—2011年度第九期 叶子 三角形（含平行线）专题复习一
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相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角的相等、对顶角相等。 ②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 ③知道过一点有且仅有一条直线垂直平已知直线。会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 三角形相关概念
1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，
2．掌握三角形内角和定理，了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形的内角和与外角和公式。 勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。 全等三角形
掌握全等三角形的四个判定（SAS ASA AAS HL）及性质并熟练进行相关证明。 相交线与平行线例题精选
例1 已知：如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）. （A）∠1=∠3 5l112（B）∠2=∠3
43l2（C）∠4=∠5
（D）∠2＋∠4=180°
点拨：∠1与∠3是内错角，∠4和∠5是同位角，∠2和∠4是同旁内角，所以（A）、（C）、（D）都能判断l1∥l2. 答案：（B）
例2．已知：如图∠A0B的两边 0A、0B均为平面反光镜，∠A0B=40．在0B上有一点P,从P点射出一束光线经0A上的Q点
Q?AR反射后,反射光线QR恰好与0B平行,则∠QPB的度数是（ ） A．60° B．80° C．100 ° D．120°
OPB 点拨：因为QR与0B平行，所以?AQR??AOB?40?，又由光的反射定律可知
?AQR??PQO，所以可求出?RQP的度数，再由QR与0B平行，得?RQP??QPB?180?，
所以∠QPB的度数可求。
解：选B．
例3．小明发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：
AB∥CD，∠A?40?，∠1?70?，小明马上运用已学的数学知识得出了∠D的度数，聪明的
你能求出∠D的度数吗？
点拨：本题源于生活实际问题，但同学们可借助平行线的性质和三角形内角和定理解决，由此可获得解题思路．
解：过E作EF∥AB，由平行线的性质定理，得∠BAE=∠AEF，∠EDC=∠FED， 从而∠D=∠AED-∠A=70-40=30． 全等三角形考点例析
近年来，有关全等三角形的创新题令人耳目一新；现采撷近几年中考试题进行分析，希望对大家有所帮助和启发。
例1 .两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。
B000ABFD1EC
解：△EMC是等腰直角三角形。由已知条件可以得到： DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°
∠DAB=90°。连接AM。由DM=MB可知 MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°
从而∠MDE=∠MAC=105°即△EDM≌△CAM。
DEMAC 因此EM=MC，∠DME=∠AMC 又易得∠EMC=90°
所以△EMC是等腰直角三角形。
点评：本题以三角板为载体，没有采取原有的那种过于死板的形式，先判断，再说理，试题独具匠心，堪称好题。
例2我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在下列情况下，它们会不会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略） 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。 求证：△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D， B1D1⊥C1A1于D1
则∠BDC=∠B1D1C1=90° ∵BC=B1C1，∠C=∠C1 ∴△BCD≌△B1C1D1 ∴BD=B1D1
（余下证明请同学们自己补充） （2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
点拨：（1）由条件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1， 又由∠C=∠C1，BC=B1C1 从而得到△ABC≌△A1B1C1。
（2）归纳为：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形（或直角三角形或钝角三角形）是全等的。
点评：边边角问题是全等三角形判定中的难点，也是同学们易出错的内容，要涉及三角形形状的分类。本题构思新颖，创造性地设计了阅读情境，引领同学们跨越障碍，合情推理并总结概括，考查了同学们阅读理解、类比、概括等综合能力.
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，但在具体处理问题时又容易出现错误，
有以下例子提醒同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
例1 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( )
A、7
B、3 C、5或3 D、5
点拨：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C．
例2 已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
分析:如图3，以线段AB为底边可作出两个等腰直角三角形，以ABA 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C．
图3
B
例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
解：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。
11??x?x?9,x?x?12,????22若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得?或??1x?y?12,?1x?y?9.???2?2?x?6,?x?8,解得?或?即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
y?9,y?5.??说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
例4. 在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
略解：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以 ∠B=∠C=
1（180°－40°）=70°。 2如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得 ∠BAC=140°，所以∠B=∠C=
1（180°－140°）=20° 2
故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
三角形创新考题赏析
三角形是中考的重点知识，近年在中考中的出现的新颖考题很多.举例如下. 例1：如图，在△ABC中，∠A＝?．∠ABC与∠ACD的 平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ ．
思路点拨：根据外角的性质∠A=∠ACD-∠ABC,
∠A1=∠A1CD-∠A1BC,,而且∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，所以∠A=2∠A1，同理∠A1=2∠A2，以此类推.
答案：
?22009
例2：如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点， 将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A? 处，且点A?在△ABC外部， 则阴影部分图形的周长为 cm．
点拨：依据垂直平分线的性质可以知道AE=∠A?E, AD= A?E,
阴影部分图形的周长等于等边△ABC的周长=1+1+1=3 例3 在解答“判断由长为这样做的：
68，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是5568，b=2，c=． 556136642
? 因为a2+b2=（）2+22==c．
52525 解：设a=
所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？?请说明理由．
思路点拨：先比较三个线段的长短，确定2为斜边，题目把解答：不正确．因为
8当成斜边，故错误. 56868<2，<2，且（）2+（）2=22，即a2+c2=b2， 5555所以此三角形为直角三角形．
数学广角：几何中的最短路线问题
如图一，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地MN边某一处牧马，再到L河边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最短路线。 NA’草地P1NP2B’草地MAA马厩B帐篷L河ML河A马厩B帐篷图一图二
‘’‘’
点拨：如图二.过A点做关于草地MN对称点A，过B点做关于河L对称点B，连接AB，与草地MN交于P1，与河L交于P2，顺次连接A、P1、P2、B，即为所求。
期中复习点津
按照惯例我们报纸的九十两期是要针对前半期内容进行复习的，但九年级春期有其特殊性。各地为争取时间在这个期中多不停课复习，期中多以一轮模拟的形式对各校教学质量进行评估，试题难度多数不高。因此我们报纸也正常往下编写，事实上这些精挑细选的例题习题对同学们考试很有帮助，可要认真搞懂啊！另外对于自己薄弱的章节，要认真钻研手中资料的基础知识，首先把书中的填空.选择学会，要脚踏实地，这是取得高分的捷径，尝试以下吧！再加上九十两期我们的模拟试题再做完就更棒了。