?西南交大物理系_2015_02
《大学物理AI》作业 No.04 机械能 机械能守恒定律
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：（用“T”和“F”表示）
[ F ] 1．一个不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒。
?解：不受外力作用的系统，?F外?0，动量是守恒的。而机械能守恒的条件是：?A外??A非保内?0，不受外力作用的系统只能保证外力做功的代数和为0，不能
保证非保守内力做功的代数和为0，所以机械能不一定守恒。
[ T ] 2．质点系的内力可以改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。
解：质点系的内力的矢量和为0，所以不会改变系统的总动量，而质点系内力做功的代数和不一定为0，因而可以改变系统的总动能。
[ F ] 3．质点运动过程中，作用于质点的某力一直没有做功，表明该力对质点的运
动没有产生任何影响。
解：比如单摆运动中绳子的拉力，时刻与位移垂直，不做功，但是它对摆球的运动当然有影响。
[ F ] 4．保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
解：保守力做功数值上等于相关势能增量的负值。所以当保守力作正功时，系统内相应的势能会减少。
?[ F ] 5．图示为连接a点和b点的三条路径。作用力F对一质点做功，经由图示方向和路径，功的示数表示在图中。由
?此可以判断F是保守力。
解：保守力做功的特点：做功与路径无关。
二、选择题：
????1. 一个质点同时在几个力作用下的位移为?r?4i?5j?6k力F?????6i?5j?7k?(SI), 其中一个力为恒
(SI)，则此力在该位移过程中所作的功为
(B)91J (C)17J
(D)?67J
[ B ] (A)67J
解：由功的定义，F力的功为
????????A?F??r?(6i?5j?7k)?(4i?5j?6k)?24?25?42?91(J)
Y2. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力
???F?F0(xi?yj)作用在质点上。在该质点从坐标原点运动
?到(R,R)位置过程中，力F对它所作的功为
[ A ]
R(A)F0R2
2
(B)2F0R2
2XO(C)3F0R (D)4F0R
?解：由功的定义，F力的功为
?? A??F?dr??Fxdx??Fydy ??RFxdx??RFydy0000
3．如图，一质量为m的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是 m 22[
C
] (A) mgh
?F0R2
m2g2(C) mgh?
2kmg 2km2g2(D) mgh?
k(B) mgh?h
解：以m、弹簧、地球所组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒。 物体动能最大时，位于物体所受合外力为零的地方，即弹力等于重力的地方：
mg?kx?x?
mg，以此位置作为重力势能0点，根据机械能守恒： k11mg2mg(h?x)?mvmax?kx2，将x?代入得到
22k21mg?1?mg?m2g22? mvmax?mg?h???k???mgh?2k?2?k?2k?4．一个作直线运动的物体，其速度v与时间t的关系曲线如图所示。设时刻t1至t2间外力作功为W1；时刻t2至t3间外力作的功为W2；时刻t3至t4间外力作功为W3， 则 [
C
]
(A) W1?0,W2?0,W3?0 (B) W1?0,W2?0,W3?0
(C) W1?0,W2?0,W3?0 (D) W1?0,W2?0,W3?0
v
t4Ot1t2t3t 解：根据质点的动能定理 W??Ek
t1~t2间，v不变, ?Ek?0,所以W1?0
t2~t3间，v减小?Ek?0, W2?0
t3~t4间，v增大?Ek?0, W3?0
5.如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判断下列说法中正确的是[ A ] (A)重力和绳子的张力对小球都不作功。 (B)重力和绳子的张力对小球都作功。
(C)重力对小球作功，绳子张力对小球不作功 (D)重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。 答：(A)对。
无论是重力还是绳子张力与小球位移都时候重直，所以都不作功。
三、填空题：
???21．质量为10 kg的质点，在合外力作用下做曲线运动，该质点的速度为v?4ti?16k
(SI) ，则在t = 1 s到t = 2 s时间内，合外力对该质点所做的功为 1200 J。
???2解： 由v?4ti?16k：
1??11?t?1sv?4i?16k?E?mv?m?v?v??1360J
222k111?t?2sv?16i?16k?E?mv?m?v?v??2560J
2222k2??212xy222xy根据动能定理：A??EK?EK2?EK1?1200J
2．一块10 kg的砖头沿x轴运动。它的加速度与位置的关系如图所示。在砖头从x=0运动至x=8.0m的过程中，加速的力对它所做净功W= 800 J。 解：由图可以得出：a88?55x?F?ma?mx， 228??3?3．一个质量为m的质点，仅受到力F?kr/r的作用，式中k为常数，r为从某一定点
到质点的矢径。该质点在r?r0处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为 。
5?5?A??Fdx??mxdx??mx2??800?J?
002?4?0?解：由功的定义，在该过程中变力F作的功为
根据质点的动能定理有：A?A???r0???kkF?dr??2?dr?
r0rr01mv2?0 2即质点到达无穷远处的速率为
v?2A2k?mmr0
F(N)4．一质量为m = 5 kg的物体，在0到10秒内，受到如图所示的变40力F的作用，由静止开始沿x轴正向运动，而力的方向始终为x轴的正方向，则10秒内变力F所做的功为 。
O52010t(s)解：方法一：由F-t图可知，物体各时段受力为
?8t(0s?x?5s) F???20(5s?t?10s)
0 ~ 5 秒内应用动量定理：
5秒末速度
?8tdt?mv055?0得
4?52v5??20(m?s?1)
55 ~ 10 秒内再应用动量定理：
10秒末速度
?10020dt?mv10?mv5得
20(10?5)?v5?20?20?40(m?s?1) 5121根据质点的动能定理，10秒内变力作的功为 A?mv10?0??5?402?4000(J)22
v10?方法二：根据定积分的几何意义，F-t 曲线下的面积就等于物体从0-10S内受到的冲量。
I??Fdt?S010F?t1??5?40?5?20?200N.S 2?11根据动量定理：
2I??P?P?P?mv?v?40?m.s?121根据质点的动能定理，10秒内变力作的功为 A?mv10?0??5?402?4000(J)22
5．如图所示，质量为m的小球系在劲度系数为k的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在O点。初始时，弹簧在水平位置，原长为l0处于自然状态。小球由位置A释放，下落到O 点正下方位置B时，弹簧的长度变为l，则小球到B点时的速度大小为
kvB?2gl?(l?l0)2。
m解：以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，系统在小球运动过程中只有保守内力----弹力作功，系统机械能守恒。设B点重力势能为零，弹簧原长弹性势能为零，则对于A点，机械能为：mgl，
对于B点，机械能为：
Ol0kAmlmB112 ，由系统机械能守恒有： k(l?l0)2?mvB22mgl?
k1122，所以 vB?2gl?(l?l0) k(l?l0)2?mvBm22AmR6．如图所示，质量m = 2 kg的物体从静止开始，沿1 / 4圆弧从A滑到B，在B处速度的大小为v?6m?s， 已知圆的
半径R = 4m，则物体从A到B的过程中摩擦力对它所作的功A= ?42.4(J)。
有些同学是-44J 也可以算对。
解：以B点为重力势能零点，由功能原理，摩擦力作的功为
?1BA?11mv2?mgR??2?62?2?9.8?4??42.4(J) 22
四、计算题：
1．一个力作用在一个3.0 kg的类质点物体上，物体的位置作为时间的函数为
x?3.0t-4.0t2?1.0t3，式中x以m为单位，t以s为单位。求：在t =0 s至t=4.0 s的
时间间隔内，该力对物体做的功？
解：该题两种解法：其一：用变力做功
x?3.0t?4.0t2?1.0t3
2得出：dx??3?8t?3t?dt
dxdv2v??3?8t?3t a???8?6t
dtdtdA?F.dx?ma.dx??54t3?216t2?246t?72?dt
A??dA???54t3?216t2?246t?72?dt?528?J?
04其二：用动能定理