河北正定中学高三年级第三次月考
数 学 试 题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z?2 ，则复数z的模是 1?i A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列?an?中，a3a5?64，则a4?
A.8 B.?8 C.8或?8 D.16 3. 若命题p:x?0,命题q:x2?2x,则p是q的 x?1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
??4. 已知向量a?(1,2)，a?b，则b可以为
A．(1,2) B．(1,?2) C．(2,1) D．(2,?1) 5. 命题“存在x0?R,使得2A.不存在x0?R,使得2x0x0?0”的否定是
?0 B. 存在x0?R,使得2x0?0 7?43)的值是 ，则sin(??65C.对任意x?R,2x?0 D. 对任意x?R,2x?0 6. 已知sin(?3??)?sin??A.?
442323 B. C. D.?
55557. 设x,y均为正实数，且
33??1，则xy的最小值为 2?x2?yA.4 B.43 C.9 D.16
8. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足①对任意的x都有f(x?4)?f(x)成立；②当
x?[0,2]时，f(x)?2?2|x?1|，则f(x)?1在[?4,4]上根的个数是 |x|A.3 B.4 C.5 D.6 9. 函数f(x)?Asin(?x??)（其中A?0,???2)）的图象如图所示，为了得到
g(x)?cos?x的图象，则只要将f(x)的图象
??个单位长度 B．向右平移个单位长度 1212??C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6610. 已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?2an?1?1，则a13?
A.向左平移
A.143 B.156 C.168 D.195
???????? 11. 已知O为?ABC的外心，AB?2,AC?4，若AO?xAB?yAC，且
x?4y?2，则OA?
A．1 B．2 C．2 D．4
12. 已知函数f(x)?(x?a)2?(lnx2?2a)2，其中x?0,a?R，存在x0，使得
f(x0)?4 成立，则实数a的值为 5121A. B. C. D.1 552第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
????????CD13. 已知正方形ABCD的边长为2，E为的中点，则AE?BD?__________．
?x?y?21?14. 若x,y满足不等式组?x?1，则z?x?y的最小值是__________．
2?y?2?15. 由直线x?y?2?0，曲线y?x以及x轴围成的图形的面积为__________．
32x?12014?16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知f(x)?x，且f(a2?2)?sin，
32?1f(a2014?2)?cos2015?，则S2015=__________． 6三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
2cosBsinA?2sinA?sin(A?B)，且a?2,cosC?
1，求b及?ABC的面积. 418.（本小题满分12分）
某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n?N）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值.
19.（本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知an?0,a1?1，且an,2Sn,an?1成等比数列，
22*n?N*.
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?
1，数列{bn}前n项和为Tn，求证Tn?2. 2an20. (本小题满分12分)
直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AB?AC?1，E,F分别是
CC1,BC 的中点，AE?A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF?AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
21. (本小题满分12分)
14？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由． 142x2y223,)，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点A(?离心率为，点F1,F2分
2ab22别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若y?4x上存在两个点M,N，椭圆上有两个点P,Q满足M,N,F2三点共线，
2P,Q,F2三点共线，且PQ?MN,求四边形PMQN面积的最小值．
22. (本小题满分12分)
x2已知函数f(x)?.
lnx (1)求函数f(x)在区间[e,e]上的最值；
1414m2?4mx (2)若g(x)?f(x)?（其中m为常数），当0?m?时，设函数g(x)的
2lnx3个极值点为a,b,c，且a?b?c，证明：0?2a?b?1?c.
高三期中考试数学试题参考答案
一、选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14.
33 15. 16.4030 242As?inAs?inB (s17 解：?2coBsAi?n?2cosBsinA?2sinA?sinAcosB?cosAsinB
即sinAcosB?cosAsinB?2sinA
?sin(A?B)?sinC?2sinA………………………4分
?c?2a c?4………………………5分
2222又c?a?b?2abcosC即16?4?b-2?2b?1 4舍去或)b? ?b?b?12?0 解得b??3(24………………………8分
1?S?ABC??2?15?15………………………10分
218．解：（1）当1?n?10时，y?50n?(10?n)?(?10)?60n?100，………2分 当n?10时，y?50?10?(n?10)?30?30n?200，………4分
*??60n?100,1?n?10,n?N所以函数解析式y??； …………6分 *30n?200,n?10,n?N??（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为
911311,,,,，…………8分 505010510
………10分
?利润X的分布列为：
利润X的平均值为：