2009年高考数学试题分类汇编——向量
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量a?b （x,1）（－x,x2）A平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】
【解析】a?b?(0,1?x2),由1?x?0及向量的性质可知,C正确.
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为
20A. 6 B. 2 C. 25 D. 27
【解析】F32?F12?F22?2F1F2cos(1800?600)?28，所以F3?27，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
b?(2,?3)．c?(a?b)，4.（2009浙江卷文）已知向量a?(1,2)，若向量c满足(c?a)//b，
则c?（ ）
A．(,) B．(?7793777777,?) C．(,) D．(?,?)393993【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
【解析】不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m,2?n?,a?b?(3,?1)，对于c?a//b，则有?3(1?m)?2(2?n)；又c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??????797 35.（2009北京卷文）已知向量a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b，如果c//d，那么
A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向
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C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向 【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w ∵a??1,0?，b??0,1?，若k?1，则c?a?b??1,1?，d?a?b??1,?1?， 显然，a与b不平行，排除A、B.
若k??1，则c??a?b???1,1?，d??a?b????1,1?，
即c//d且c与d反向，排除C，故选D.
6.（2009北京卷文）设D是正?PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是?PP12P3的中心，若集合S?{P|P?D,|PP,2,3}，则集合S表示的平面区域是 ( ) 0|?|PPi|,i?1
A． 三角形区域
B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及
学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
如图，A、B、C、D、E、F为各边
三等分点，答案是集合S为六边形 ABCDEF，其中，
P,3? 0A?P2A?PAi?i?1即点P可以是点A.
7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，
c?ka?b(k?R),d?a?b,如果c//d，那么 （ ）
A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向 【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考
查. 取a??1,0?，b??0,1?，若k?1，则c?a?b??1,1?，d?a?b??1,?1?， 显然，a与b不平行，排除A、B.
若k??1，则c??a?b???1,1?，d??a?b????1,1?，
即c//d且c与d反向，排除C，故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ） A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0
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【解析】:因为BC?BA?2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 答案：B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= （A）5 （B）10 （C）5 （D）25 答案：C
解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由a?b?52知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C。
10.（2009全国卷Ⅰ理）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则值为 ( D )
（A）?2 （B）2?2 （C）?1 (D)1?2 解: ?a?c???b?c?的最小
a,b,c是单位向量?a?c?b?c?ab?(a?b)c?c?1?|a?b||c|?1?2cos?a?b,c??1?2故选D. ????2
11.(2009湖北卷理)已知
P?{则PIQ?
a|?a(?1m,?0m?R是两个向量集合，Q?bA．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
【答案】A
【解析】因为a?(1,m) b?(1?n,1?n)代入选项可得P?Q??1,1?故选A. 12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?52，则|b|?
A.
??5
B.
10 C.5 D. 25
解：
50?|a?b|2?|a|2?2ab?|b|2?5?20?|b|2?|b|?5。故选C
013.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为60，a?(2,0)，b?1 则a?2b? （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
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∴a?2b?23 【答案】B
14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在?ABC所在平面内，且
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?PB?PC?PCP?AN，P依次是?ABC的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析：
，则点O，
由OA?OB?OC知,O为?ABC的外心；由NA?NB?NC?0知，O为?ABC的重心;
PA?PB?PB?PC，?PA?PC?PB?0，?CA?PB?0,?CA?PB,同理，AP?BC,?P为?ABC的垂心，选C.15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B
【解析】由计算可得c?(4,2)?3c?b故选B
??
16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则【 A 】 A．AD?BE?CF?0 B．BD?CF?DF?0 C．AD?CE?CF?0
ADFCD．BD?BE?FC?0 B
E图1
解:
AD?DB,?AD?BE?DB?BE?DE?FC,得AD?BE?CF?0，故选A.
或AD?BE?CF?AD?DF?CF?AF?CF?0.
17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝
（A）3 （B）23 （C）4 （D）12
【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
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∴a?2b?23 【答案】B
18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a、b、c满足|a|?|b|?|c|,a?b?c，则?a,b??
（A）150°B）120° （C）60° （D）30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
19.（2009陕西卷文）在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足PA?2PM,
学
则PA?(PB?PC)等于
科网
（A）
4444 （B） （C）? (D) ?9339答案:A.
解析:由AP?2PM知, p为?ABC的重心,根据向量的加法, PB?PC?2PM则
214AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0??2???1?
339故选A
20.（2009宁夏海南卷文）已知a???3,2?,b???1,0?，向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值为 （A）?1111 （B） （C）? （D） 7766【答案】A
【解析】向量?a?b＝（－3?－1，2?），a?2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3?－1，2?）×（－1,2）＝0，即3?＋1＋4?＝0，解得：?＝?21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 （A） A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】：A
【解析】由a?b?0，可得a??b，即得a//b，但a//b，不一定有a??b，所以“a?b?0”是“a//b的充分不必要条件。
22.（2009福建卷文）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，
?????1，故选.A。 7第 5 页 共 8 页