竖直平面内圆周运动
窦乐江
【要点梳理】
要注意竖直平面内圆周运动的两种临界状态的不同： 分类 最高点无支撑 球与绳连接、水流星、翻滚过山车 最高点有支撑 球与杆连接，车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等 实例 图示 在最高 重力、弹力F弹向下或等于零 重力、弹力F弹向下、向上或v2等于零mg±F弹＝m rF弹＝mg，F向＝0(在最高点速度可以为零) v2点受力 mg＋F弹＝m rv2恰好过 F弹＝0，mg＝m，v＝rg(在r最高点 最高点速度不能为零) 【典题例证】
考向一、竖直平面内的圆周运动的考查
【例1】如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑硬质盒子中，盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：
(1)要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
1
(2)若盒子以(1)中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示2球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？
规范解答 解： 审题指导 （1）小球在最高点受什么力的作用？ 12小球的向心加速度多大？方向如何？是谁来提供向心力？ （2）周期变为原来的后，【教你一招】：
【对应训练】如图甲所示，在同一竖直平面内两正对着的半径为R的相同半圆光滑轨迹，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一质量为m的小球能在其间运动。今在最低点B与最高点A各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)要使小球不脱离轨道，求小球在A点的速度大小；
(2)求A、B两点的压力差ΔFN与x的函数关系；(用m、R、g表示)
(3)若测得两点压力差ΔFN与距离x的图象如图乙所示。根据图象，求小球的质量。
考向二、平抛运动与圆周运动的综合考查
【例2】(20142福建221)(19分)如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切.点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面.一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力.
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)某游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在
v2圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
r 解： 规范解答 审题指导 （1）游客经历了哪几个阶段，各阶段的受力和运动特点是什么？选择合适的依据解题。 （2）“滑到P点后滑离轨道”说明游客在p点受什么力？怎么把游客在该点的受力和运动联系起来？
【教你一招】：
【对应训练】
为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想，取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的，其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图9所示，一个小物块以初速度v0＝4.0 m/s，从某一个高度水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小物块的抛出点和A点的高度差；
(2)为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件；
(3)要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应该满足什么条件．
考向三、类竖直平面内的圆周运动的考查
【例3】如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的
3，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆4
环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
【教你一招】：
【对应训练】
【模板印证】
1.如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)．小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度．下列说法正确的是
( )
A．小球通过最高点时速度不可能小于gL B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力可能为零
C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大 D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
2.如图所示，一质量为M的人，站在台秤上，一个长为R的悬线一端系一个质量为m的
小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是
( )
A．小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为(M＋6m)g B．小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg C．小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
3.如图所示，一小物块自平台上以速度v0水平抛出，刚好落在邻近一倾角为α＝53°的粗糙斜面AB顶端，并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.032 m，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A点离B点所在平面的高度H＝1.2 m.有一半径为R的光滑圆轨道与斜面AB在B点相切连接，已知cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)小物块水平抛出的初速度v0是多少；
(2)若小物块能够通过圆轨道最高点，圆轨道半径R的最大值.
4.如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0
＝3 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.5 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)A、C两点的高度差；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
5．如图所示，一个内壁光滑的
3圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R。O、A、D位于4同一水平线上，A、D间的距离为R．质量为m的小球（球的直径略小于圆管直径），从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时
6．如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电，乙球带负电、丙球不带电，现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则( )
A．经过最高点时，三个小球的速度相等 B．经过最高点时，甲球的速度最小