SY0721129 刘佳 第2章 鸽巢原理
2.4 练习题
1、关于本节中的应用4，证明对于每一个k?1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好
下完k局棋（情形k?21是在应用4中处理的情况）。能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？
证明：设ai表示在前i天下棋的总数
若正好有ai=k,则命题得证。若不然,如下：
∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘 ∴有 1?i?77，且1?a1?a2???a77?132
? 有1?k?a1?k?a2?k???a77?k?132?k ?k??1,2,?,21观察以下154个整数：
a1,a2,?,a77,a1?k,a2?k,?,a77?k
每一个数是1到132?k之间的整数，其中132?k?153
由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数 ∵a1,a2,?,a77都不相等，a1?k,a2?k,?,a77?k都不相等 ∴?i,j，使ai=aj?k
即这位国际象棋大师在第j?1，j?2，…，i天总共下了k盘棋。
综上所述，对于每一个k?1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋。
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当k=22时，132+k=154，那么以下154个整数
a1,a2,?,a77,a1?22,a2?22,?,a77?22
在1到154之间。
ⅰ）若这154个数都不相同
则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22 ∵ai?22?22，1?i?77
∴等于22的数必然是某个ai，1?i?77
则在前i天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。 ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数
∵a1,a2,?,a77都不相等，a1?k,a2?k,?,a77?k都不相等
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SY0721129 刘佳 ∴?i,j，使ai=aj?k
即这位国际象棋大师在第j?1，j?2，…，i天总共下了k盘棋。 综上所述，存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋。
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5、证明，如果从?1,2,?,3n?中选择n?1个整数，那么总存在两个整数，它们之间最多差2。
证明：把?1,2,?,3n?按顺序三个数字分为一组，共有n组，它们是
?1,2,3?，?4,5,6?，…，?3n?2,3n?1,3n?
由鸽巢原理，从n组整数中，选择n?1个整数，至少有两个整数属于同一组
且根据以上分组方式，这两个数之间最多相差2 即总存在两个整数，它们之间最多差2。
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*7、证明，对任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被
100整除。
证明：任何一个整数的后两位，都是00，01，02，03，…,99之一 现在对所有整数按照后两位数的不同分组如下：
?00?，?01,99?，?02,98?，…，?49,51?，?50?，共有51个组。
由鸽巢原理，对于任意给定的52个整数，至少存在两个整数属于同一组。 属于同一组的两个数，要么后两位数相同，要么后两位数相加等于100
若这两个数后两位相同，那么这两者的差能被100整除；若这两个数后两位相加等于
100，那么两者的和能被100整除。
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11、一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望
每天至少学习1个小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
证明：设ai表示在前i天学习的小时数。
∵有37天准备考试，每天至少学习1小时，总学习时间不超过60小时 ∴有 1?i?37，且1?a1?a2???a37?60 我们还有：14?a1?13?a2?13???a37?13?73 观察以下74个整数：
a1,a2,?,a37,a1?13,a2?13,?,a37?13
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SY0721129 刘佳 每一个数是1到73之间的整数。
由鸽巢原理，这74个数中至少存在两个相等的数
∵a1,a2,?,a37都不相等，a1?13,a2?13,?,a37?13都不相等 ∴?i,j，使ai=aj?13
即这个学生在第j?1，j?2，…，i天恰好总共学习了13个小时。
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14、一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出1种水果，
那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
答：45分钟。
下面证明此结论：
最坏的情况是，拿了若干次之后，还是不能拿到1打相同的水果。但是这个次数的
极限是每种水果拿了11个，也就是总共拿了44次。因为若拿到第45次时，必定有一种水果拿到了12个（1打）。也就是说拿45次，肯定至少已拿出了1打相同种类的水果。
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15、证明，对任意n?1个整数a1，a2，…，an?1存在两个整数ai和aj，i?j，使得ai－aj能够被n整除。
证明：任何一个整数被n除的余数是以下n个数之一
0，1，2，…, n?1
由鸽巢原理，对于任意n?1个整数a1，a2，…，an?1，它们除以n的余数至少有两个相
同
不妨设这两个数为ai和aj（i?j），ai－aj能够被n整除。
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19、
ⅰ）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。
证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为4部分
每一部分都是边长为1/2的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/2
由鸽巢原理，任意选择5个点，至少有2个点属于同一个小三角形
即：在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。
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ⅱ）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离之多为1/3。
证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为9部分
每一部分都是边长为1/3的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/3
由鸽巢原理，任意选择10个点，至少有2个点属于同一个小三角形 即：在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，
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SY0721129 刘佳 存在2个点，其间距离之多为1/2。
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ⅲ）确定一个整数mn，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择mn个点，则存在2个点，其间距离之
多为1/n。
证明：由等边三角形分割成小等边三角形的变化规律：
1，4，9，16，25，…，n2
可知：边长为1的等边三角形，可以分割为n2个边长为1/n的等边三角形。 边长为1/n的等边三角形内部，相距最远的2个点距离为1/n
由鸽巢原理，任意选择mn?n2?1个点，至少有2个点属于同一个小三角形
即：在边长为1的等边三角形内任意选择mn?n2?1个点，存在2个点，其间距离之多
为1/n。
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