选修4－1 几何证明选讲
知识点 几何证明选讲
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
考纲展示 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理． 2．会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理.
1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理 内 容 判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似 (2)性质定理 内 容 性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们周长的比都等于相似比 性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 (3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
3．直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理
内 容 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角判定定理3 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
1．要特别重视相似三角形对应边和对应角的关系．并注意“公共边”往往是等比中项． 2．直角三角形中常用的四个定理：(1)两锐角和等于90°；(2)勾股定理；(3)斜边上的中线等于斜边的一半；(4)射影定理．
1．(选修4－1 P7例1改编)如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若AC＝18，BC＝24，AD2
＝，则BF＝( ) AB3
定理 判定定理1 判定定理2
A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C.∵DE∥BC， ADAE2AE
∴＝，即＝，即AE＝12，∴EC＝6. ABAC318
∴四边形DECF为平行四边形， ∴DF＝EC＝6， BFDF∴＝， BCACBF6
∴＝，BF＝8.故选C. 2418
2．(选修4－1 P10习题T4改编)如图，在梯形ABCD中，EF∥AD.
AE
若＝λ(λ>0)，下列结论正确的是( ) EB
AD＋λBC
A．EF＝
1＋λAD＋BC
B．EF＝
1＋λBC＋λAD
C．EF＝
1＋λ
D．EF＝AD＋λBC
解析：选C.如图，作AG∥DC分别交BC，EF于G，H.
AE
∵EF∥AD且＝λ，
EB
EHAE1∴＝＝. BGAB1＋λ
1
即EH＝BG.
1＋λ
由AD∥EF∥BC.
∴四边形AHFD，HGCF都是平行四边形．
1
∴EH＋HF＝BG＋GC.
1＋λ
BG＋GC＋λGCBC＋λAD
即EF＝＝.故选C.
1＋λ1＋λ
3．(选修4－1 P22习题T1改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°.CD⊥AB，垂足为D，CD＝2，AC＝3，则DB＝________.
解析：由勾股定理得AD＝AC－CD＝3－2＝5. 由射影定理得CD2＝AD·DB.
22CD245
∴DB＝＝＝.
AD55
2
2
2
2
45
答案：
5
4．(选修4－1 P16例5改编)如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高．求证CE·CA＝CD·CB.
证明：在Rt△CBE与Rt△CAD中，
∠BCE＝∠ACD.
∴Rt△CBE∽Rt△CAD. CECB∴＝， CDCA即CE·CA＝CD·CB.
平行线分线段成比例定理
如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下
平行移动．
AE1
(1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD；
EB2AE2
(2)若＝，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；
EB3
AEm
(3)请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？
EBn
[解] 过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G，H(图略)．
AE1AE1
(1)证明：因为＝，所以＝，
EB2AB3
EGAE1
又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH.
BHAB3
又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，
1
从而EF＝(BC－HC)＋AD，
312
所以EF＝BC＋AD，即3EF＝BC＋2AD.
33
(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似．
AEmAEm
(3)因为＝，所以＝.
EBnABn＋m
EGAEm
又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.
BHABm＋n
mmn
所以EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD，所以EF＝BC＋·AD，
m＋nm＋nm＋n
即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．
a
1.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分
2
别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
a
解析：连接DE和BD(图略)，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，∴四边形EBCD
2
为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等边三角形．故AD＝DB＝AB＝a，
11
∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF＝DB＝a.
22
a答案： 2
2．如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
ABBCBCCD
解析：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，
EFCFBFEF
4BCBC12∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF， EFBC－BFBFEF
BC12
∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.
BFEF
答案：3
AF
3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在CA上且AE＝2CE，AD，BE交于F，求，FDBF. FE
解：取BE的中点G，连接DG，
1
在△BCE中，D、G分别为BC、BE的中点，∴DG∥EC，且DG＝EC.
2
又∵AE＝2CE，DG∥EC， AFEFAEAEBFBG＋GFGE＋GF2GF＋EF1∴＝＝＝＝4，又BG＝GE，∴＝＝＝＝2×FDFGDG1EFEFEFEF4
EC2
3＋1＝.
2
相似三角形的判定与性质
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，
交BA的延长线于点E.求证：
(1)△ABC≌△DCB； (2)DE·DC＝AE·BD.
[证明] (1)因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC＝BD. 因为AB＝DC，BC＝CB，所以△ABC≌△DCB. (2)因为△ABC≌△DCB，
所以∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB. 因为AD∥BC，
所以∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. 所以∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB. 因为ED∥AC，所以∠EDA＝∠DAC.
所以∠EDA＝∠DBC，所以△ADE∽△CBD. 所以DE∶BD＝AE∶DC，所以DE·DC＝AE·BD.
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．
(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．