本科生毕业设计（论文）
翻译资料
中文题目：关于并联机床工作空间、边界工作空间和工件定位分析的研究
英文题目：A study on workspace,boundary workspace analysis andworkpiece positioning for parallel machine tools
学生姓名： 学 号：
班 级：410702班 专 业：机械工程及自动化 指导教师：
机械工程学报36(2001)605—622
关于并联机床工作空间、边界工作空间和工件定位分析的研究
王喆 ，王知行，刘文涛，禹城雷
同济大学四平路1239号，机械工程学院，车辆工程系;中华人民共和国机械与电子工程学院，上海200092，同济大学四平路1239号，机械工程学院;中华人民共和国，，哈尔滨150001，哈尔滨工业大学。收到于1999年12月12日，接受于2000年9月6日
摘要
我们提出一种称为边界搜索的算法，用以确定一个并联机床的工作空间，以哈尔滨工业大学开发研究的BJ-300并联机床为例，根据切屑点来计算它的工作空间。我们还分析了工作空间的边界，以扩大其操作范围。由于并联机床的不规则工作空间和机床轴Z轴的角度限制很难凭直觉来给工件的正确定位。因此，我们阐述了，当切割时工件时，如何构建一个数学模型来实现工件的自动定位，这是一个有意义和参考价值的重要研究。由Elsevier科学有限公司2001年出版。
关键词：并联机床;工作空间;工件的定位;Stewart平台
简介
这种并联机床（见图1）是基于Stewart平台基础上的六自由度数控铣床。同时，他也是一个Stewart并联机制在机械加工领域的应用实例。并联机床，相对于传统的数控机床，具有以下优点[1]：1，由于没有累计误差，所以有很高的精度。2.因为负载分布到几个并行执行器 ，有高的力/力矩的能力。3.机床机构刚性高。因此，这些都适用于需要高速度，高定位精度和快速动态响应条件下的应用。然而，尽管有这些优点，并联机床也有一大缺点，由于并联机床工作空间的限制，很难进行工件定位。 Bi 固定平台的球铰链位置坐标 Pi 可动平台的球铰链位置坐标 ? 动平台的进动角 u 动平台的章动角 ? 动平台的自旋角 ?min 动平台的最小可达章动角
?max 最小可达章动角的最大 [T] ZYZ变换矩阵 Lmini,Lmaxi 连杆I允许的最大和最小长度 ?b,?p 动平台和基础平台上的球铰链的最大旋转角 r(x,y,z) 在P内的原始位置向量 WL(?) 满足连杆长度限制的副工作空间 WP(?) 满足铰链角约束的副工作空间 WB(?) 杆件干扰限制的副工作区间 WN(?) 满足非几何约束的副工作区间 nZ Z轴方向的单位向量 第一个并行驱动机制最初是由Stewart建议作为飞机模拟器而起源的[2]，因此，人们称它为'Stewart平台'。一旦串联机器人的缺点得到了承认，并联机器人就会引起人们广泛注意，在一些文学会议上一些课题已经被提出，而这些课题
9]包括逆运动学分析和前瞻性运动学分析[3?7]，动力学[8，，工作空间分析[10?13]，
实用设计/结构思考[3]，校准[14]，以及各种应用[15?24]。
图.1并联机床的结构图
Stewart平台的工作区可以定义为一个坐标系统原始的可达区域连接到一个移动盘中心起点。由于它的主要缺点是受限制的工作区，通过对其中可确定的工作区和工作区上的不同设计的结果进行评估得出这种受限性对于研究机床定位算法是有重要性的。与串联机器人相比，并联机器人的工作空间的确定是相当的
困难的，由于：在其前向运动学问题的解析上不可求解，这涉及到一个高度非线性解模方程组求解。工作区还取决于关节角度的限制，连接长度的限制和部件之间的干扰的限制，而发表的报告很少关心这个问题。在一个自由度为三的工作区
13]内，并联机器人进行了数值模拟。Stewart平台的工作区算法的确定在[12，，提
出。这种算法基于笛卡尔空间数值离散，和工作区所有块集成。在[25?27]中，对关于特定平台的工作区的连接长度和连接干扰的影响进行了研究。在参考文献[1]中，对合角度的限制，连接和几何参数进行了审议。然而，在所有参考文献中只对几何约束进行了审议，而和非几何约束在实际系统中存在，并没有考虑。 当Stewart平台作为并联机床的应用，有必要分析其切削加工的工作空间和工作空间的边界，以扩大其应用范围。此外，它是必不可少的判断工件可以通过削减并联机床根据其姿态（位置和方向）。本研究的目的是介绍在Stewart平台工作空间内的几何和非几何约束作用。这些信息可以用来确定一个并联机床内的工件的位置。
本文组织如下：首先描述有关并联机床的工作空间的几何参数和非几何约束和建立一种工作空间运动学模型。其次建立一种计算机算法来计算并联机床的工作空间，其中所有的约束都考虑到工作区。第三，工作区的边界的计算，以扩大并联机床工作空间。最后，根据并联机床工作空间，一个工件的位置被确定。
2．几何参数，几何和非几何约束
2.1坐标系统和几何参数
并联机床是由六个自由伸缩杆件，一个固定的平台和一个可移动的平台，而这个动平台安装刀具。正如图2所示，固定坐标系{B}被放置在基础平台中心Ob，他的z轴垂直于基础平台。同样，动平台坐标系{P}位于动平台的中心。连接到基础平台和动平台的铰链分别标记被P1到P6和B1到B6。 关于固定平台的坐标系被标记为bi，而那些关于动平台的坐标系被标记为pi。
图.2.参数定义
2.2约束定义 2.2.1.几何约束
2.2.1.1.连杆长度限制
平台的位姿可以用3?3旋转矩阵[T] (参考公式（16）)和一个平移向量q(定义关于{B}的{P})来描述。Ii，连接Bi到Pi的向量可以在{B}中被表示，i=1,2，..，6表示杆件的数目，由如下公式得出：
Ii?[T]pi?q?bi. （1） 连杆的长度，记为L1到L6，由如下公式给出：
L?[T]p?q?b. （2）
iii连杆长度约束可以表示为：
Lmini?Li?Lmaxi. （3） 与一个连杆方向相同的单位向量uli可以由如下公式表示：（如图.3）
uli=liLi. (4)
图.3. 球头铰链旋转角度的定义和铰链旋转约束
2.2.1.2.铰链角度限制
这些连杆通常是连接到基地和平台上的，如图.3所示,一个球铰链的旋转角?定义为在连接到它的底座的坐标系Z轴和连接铰链的连杆方向的向量u之间的角度，所以?角自然地被限制。
假设安装球星铰链i的底座以至于使单位向量nbi,npi,能够在{B},{P}中描述他们的方向。球铰链的旋转角和它的约束计算方法如下：
?pi?cos?1il?[T]npili??pmax, （5a）
（5b） l?nbi?bi?cos??bmax,li?1i2.2.1.3.连杆尺寸干扰限制
由于连杆本身有尺寸，干扰可能发生。为分析起见假设每个连杆为直径为D的圆柱，让Di（i=1,..,6）它是两个相邻的连杆的轴线之间的最短距离;干扰约束可以表示为:
Di?D (6)
算法 输入
两个相邻的连杆线段方程 输出
干扰判段结果 开始
投影线段到xy平面
如果（在XY平面上线段不相交），然后 返回（两个杆件不干预）
否则，如果（相交点不在线段上），然后 返回（两个杆件不干预） 否则，如果，(Di?D)然后
返回（两个杆件不干涉） 否则返回（两个杆件干涉） 结束
2.2.2非几何约束
2.2.2.1可控运动条件
.正如图4所示，移动平台的移动速度和和驱动杆的速度变化之间的关系可表示如下：
[v1,v2,v3,v4,v5,v6]T?[J]?[V,?]T, (7)
图.4.运动关系图。
[v1,v2,v3,v4,v5,v6]T为杆的长度变化率，V,?是移动平台中心点速度和角度,[J]为Jacobian矩阵，
因此可控运动的条件为满秩矩阵。 2.2.2.2非奇异性条件
正如图5所示，施加于动平台的外力和外部状态和施加于驱动杆的驱动力之间的关系表示如下：
[G]?[f1,f2,f3,f4,f5,f6]T?[F,M]T (8) 式中F,M为施加于移动平台的外力和外部状态，[G]为力传递矩阵：
[G]?[ul1R1?ul1ul2R2?ul2.....ul6....R6?ul6]
（9）
因此，非奇异条件是满秩矩阵[G]。
图.5
力关系示意图
通过比较[G]和[J]，很容易发现[G][J]为相互换位矩阵。 因此，非几何约束都可以表示如下：det[G]?0.
2.3.工作空间定义
为了实现五轴联动数控加工，当在刀具到达工作空间的P点时，刀具的倾斜角度可以在?角的圆锥面随意改变，如图6所示，但不干涉。据此，给出并联机床工作空间的定义。
最小可达章动角?min：假设{P}的起源与工作空间的点P位置重合，当进动角在[0,2π]间隔内连续变化时，该移动平台的章动角可达到最小值称为最小可达章动角?min（在图6所示）。
位姿空间WM:一组有位置组成的，位置为{P}的起源能够到达的，最小可达章动角为?min。
WM?{r(x,y,z),??min[max?(r(x,y,z),??[0,2?])]}, （11）并联机床的工作空间WM(?):
WM(?)?{r(x,y,z)??min[max?(r(xb,yb,zb)?WM,??[0,2?])]} (12) 换句话说，当点OP移动到{B}中的P点，如果进动角?在[0,2π]区间变动，而章动角?在[0, ?min]区间内自由变化，那么点P一定属于WM(?)，就是
P?WM(?).在考虑几何和非几何约束，工作区内连续,范围在0??min??max，那么工作区是一个由位姿空间构成的紧凑的子集，表示如下：
WM?{WM(?)??[0,?max]} （13）
每个子集严格满足如下包含关系：
WM(?max)?WM(?)?WM(0)0??min??max. (14)
图.16.刀具位姿
2.4工作区的数值算法 2.4.1多余自由度的进
正如图7所示，可动平台的方向可以用ZYZ转变描述。正如[28]所示。
（16） 并联机床有六个自由度，但对于铣床的只需要五个自由度，可移动平台的旋转自由度是多余的，它可以被用来优化并联机床的性能。 当活动平台在最佳的位置，如[30]所示，????，如图8所示;
（17）
图.17.方位演示。
图.8.在最佳位置上?和?之间的联系
2.4.2逆运动学模型
正如图2所示，任何可移动的坐标系中的向量可以通过坐标变换转化为在固定坐标系统的坐标的向量R。
R?[Th]R'?ObOp (18)
当并联机床结构尺寸给出，在固定坐标系中很容易确定铰链的位置
(Bi,Pi,i?1,...,6)。因此，并联机床的逆运动学方程是式（19）。
222 i=1,....,6. (19) Ii?Iix?Iiy?Iiz2.4.3工作区的数值算
根据解决的原则，并联机床空间的数值算法是真实存在的，总结为一个带约束的非线性规划问题。
边界搜索方法应用于并联机床的工作空间的计算，坐标系统{P}转换成一个圆柱坐标系统为方便。该搜索步骤如下： 1.给出刀位Z,?,R.
2.据给定的最小可达章动角?计算刀轴矢量。
3.计算平台的移动方向。
4.把刀位数据刀轴矢量转换成固定的的坐标系。 5.检查约束条件，继续寻找，直到超出约束条件。
6.该并联机床的工作空间满足几何约束的刀点的集合。 详细的搜索算法为图9所示的流程图所示。
图.9工作空间搜索的流程图。
2.4.4应用实例
图10是一个由哈尔滨工业大学研制的北京- 30并联机床的图片，其主要结构参数如下。
在固定基地上的联接球面副铰链的园直径为1072mm，联接角为25°。 1，
在移动平台的联接球面副铰链的园直径为400mm，联接角为23.18°。 2，
驱动杆的最长的连杆为1106.0mm，最短为752.0mm。 3，
夹具的长度为175mm。 4，
图11是根据北京- 30并联机床的结构尺寸的仿真结果，它可以实时地根据给定的刀具路径检查所有约束。图12显示了（给定最小章动角?min=0°）由刀位数据计算的工作空间，图13显示?min=20°的情况。如图13所示，当给定的最小可达章动角?min增加，工作区急剧减小减少。由于不规则的并联机床的工作空间，刀轴的方向极大地影响了并联机床加工范围。在并联机床结构尺寸确定后，其工作空间，可以根据给定的最小可达章动角?min来计算。
此外，并联机床仿真通过参数化设计方法来完成，因此，当结构尺寸变化时，可以立即看出这种变化的影响; 同时它的工作空间也可以被计算出来。
图.12.北京-30并联机床的工作区间，?min=0 °
图.13. 北京- 30并联机床的工作区间，?min=20 ° 3.边界工作空间分析
上述定义的工作区是当刀点与给定的刀具位置P（可达到最小章动角?wj）重合时，基于进动角?在[0,2π]的连续改变 ，而P点是在工作区的边界。如果点P是超出了工作空间边界，进动角?不会再0到2π间连续变化，但是进动角?在一些间隔内仍然连续变化。这以通过计算以北京-30并联机床为例的边界空间的到验证。
假设给定的可达到的最小章动角?min=20°，当Z=-1090时，在工作空间的截面， ?角在0到2π之间连续变化最大半径Rzmax为205mm。而在它上的小圆圈表示?角在0到2π内不断变化(如图14.(a))。如果
RZ＞
Rzmax，?角不会在0
到2π内不断变化，而如图的小园圈也不会闭合(如图14.(b-d))。
通过分析，我们发现了进动角?连续改变的间隔性的规律，图15. 显示的Z截面在圆柱坐标系内，O点为一个在Z轴上的点，P点为刀具的位置。在小圆圈给出了开角2?，在进动角?连续变化的间隔为[???,2?????].因此，边界工作空间可表示下：
WM={WM(?)?∈[0，?min]，?∈[???,2?????]}， （20）图.16显示了北京- 30并联机床的工作空间（?min=20°，??60?）
图14.工作区的边界变化的过程.
图.15.?角变化区间。
图16. 北京- 30并联机床的工作空间（?min=20°，??60?）。
对于一些工件，已加工表面可能超过该并联机床的工作空间，但是如果工作区以外的表面法向量是垂直于Z轴这样的投影在区间[???,2?????]分布，这部分仍然是可加工的。因此，这无疑扩大了工作空间，这对加工时非常有意义的。 4.关于工件自动定位的研究 4.1自动定位原则
当加工工件时，重要的是如何正确定位工件，举一个简单的例子，如图17所示。
如果工件像左图放置，在z轴和工件上P点正常适量之间的?角比?min角大，还
有刀具点不能达到这一点（假设刀轴恰好P点法向量重合） 。
图.17.工件定位的例子
如果工件放置如右图，???min，刀具点能实现这一点，因而建立一个工件的位置是非常重要的，自动定位的目的是通过计算使刀点能够到达工件上的没一点。 根据工作区的定义，已经对坐标Pi(x,y,z)和工作区中的n点的最小章动角也对{B}轴上工作空间上最大值Xmax，?mini进行了计算，Ymax，Ymax和最小值Xmin，
Ymin，Ymin进行了计算。
在一个工件上建立坐标系统{W}，和刀位数据，意思就是已经计算出坐标系
Wj'(x,y,z)和工件上m点的刀轴矢量Vjw。在{B}上，{W}的原来坐标系变为Ow(x,y,z)，在{B}内工件位置的欧拉角为?,?,?；因此点Wj'(x,y,z)的坐标
Wj(x,y,z)为：
Wj(x,y,z)=[T] W'(x,y,z)+Ow(x,y,z), j=1,2,,,,,,，m (21)
j对应于点W(x,y,z)的刀具位置轴矢量Vwj和Z-轴之间的夹角?wj为：
?wj=[T] Vwj2nz，j=1,2,…….,m, (22)
如果
Wj(x,y,z) － Pi(x,y,z)?0.00001, i=1,2,…..,n. j=1,2,…..m,
(23)
则??j=?wj－?minj，j=1,2,…..m. (24)
如果?wj??minj，??j=0.0 设置对象函数Fobj，
Fobj=?(??j)2 j=1,2,……..m, (25) 使?,?,? ，x,y,z为变量，根据约束条件如下：
x?xmin?0.0, xmax?x?0.0, y?ymin?0.0 ymax?y?0.0
z?zmin?0.0 , zmax?z?0.0,
(26)
由灵活的公差法（一个非线性规划方法），优化目标函数（26），因此:
Fobj?0.0000001. (27)
从而得出工件的位置坐标（x,y,z）和方向?,?,?，并实现工件的自动定位。 4.2.应用实例
图18显示了一个叶轮，其叶片表面是直纹面。当叶轮被切断时，首先刀具在两叶片间进给，然后通过刀摆动所需角，叶片槽被剪切，最后叶轮是通过索引完成每个插槽切削。该刀轴方向可以通过每一个方向直纹面的裁剪来计算。根据图18通过机床的摆动，刀轴方向变化超过允许的角度。为了保证刀轴矢量之间的角?wj和保证Z-轴比对应工作空间的点的切点的章动角?minj少，?wj??minj这种精确计算是必须的。根据自动定位算法，来计算工作区内叶轮的位置，也就是说，位置坐标x=-11.8209,y=-11.8209,z=-1131.8,欧拉角和方向β=-11.809，ψ=78.1971，ζ=80.657如在图19所示。
图.18.叶轮方向的初步造型
图19.定位切割叶轮
结论
1并联机床的参数化三维建模已经实现，它的实时动态仿真和工作空间的计算参数也已经确定实现。
2.并联机床工作空间随着刀具的长度变化，因此，当加工一个具体工件时，通过切屑点位置来计算并联机床的工作空间在实际上是有意义的。 3. 提出边界工作区的概念，并给出其定义。 4.当加工一个工件，应该首先解决他的位置安装，本文提出的算法可以初步解决这一问题。 致谢
这个项目是由中华人民共和国博士科研资金特别资助支持。（支持代码：98021332）中国863项目（支持代码:863-511 -9842-008）。 参考文献
[1]O.Masory,J.Wang, Stewart平台的工作空间评价。机器人9(4)(1995)443-461.
[2] D.Stewart,.一个六自由度平台. Proc.Inst.Mech.Eng.180(15)(1965±66)371-38
[3] E.F.Ficher, Stewart平台为基础的机械手: 通常的理论和现实考虑J.Robotic Res.5 (2)(1986)157-182.
[4] K.H.Waldron,K.H.Hunt,，在积极协调机制下的并行二元性系统：:R.C.Bolles,B.Both
(Eds.)，第四次关于robtics国际研讨会的诉讼，MIT Press,Cambridge,MA,1987,pp.175-180. [5] K.H.Hunt, 平行-驱动机器人手臂结构运动学, ASME J.Mech. Transmissions Autom.Des.105(1983)705-111. [6] P.Hanua,K.J.Waldron,V.Murthy,关于Stewart平台运动学的解决方案，IEEE Trans.Robotics utom.6(4)(1990)438-443.
[7] M.Z.Huang, 关于平行链平台机器人的运动学：电力系统及其在机器人在第
四次年会议的最新进展，Boca Raton,FL,1991,pp.251-256
[8] J.Lee,et al.,计算机模拟的并行连J.Robotics Comp.Integr.Manuf.5(4)(1989) 333-342.。 [9] K.Suginoto, 通过运动学和动力学代数方法对并联机器人运动分析，ASME J. Mech.Transmissions Autom.Des.109(1987)3-7.
[10] D.C.H.Yang,T.W.Lea, 从运动学的观点对一个平台式机器人的可行性研究，ASME J.Mech.Transmissions Autom.Des.106(1984)191-198.
[11] K.M.Lee,D.K.Shah,三自由度的并联驱动机械手的运动学分析，IEEE J.Robotics Autom.14(3)(1988)354-360.
[12] C.C.Nguyen,F.J.Pooran, 6自由度CKCM机器人末端执行器的运动学分析与工作空间的测定，Elsevier,Amsterdam, 1989.
[13]C.Gosselin, 六自由度并联机器人工作空间的测定,ASME J.Mech.Des.112(1990) 331±336.
[14]H.Zhuang,Z.Roth, Stewart平台运动学标定方法, 在：每年冬季的ASME会议论文集Atlanta,GA,1991,pp.43±48.
[15] R.Hoffman,M.C.Hoffman,, 一架飞机的任务系统振动仿真模型，在: 第五次的机械原理世界大会,1979,pp.60-606. [16]W.M.Benett, 机器人手臂的机械手腕，学士论文，机械工程，麻省理工学院，1968年。
[17]H.McCallion,P.D.Truong,一个自由的机械化装配工作站的六自由度分析，在：机器和机械原理第五次世界大会上。1979,pp.603±606.. [18]H.McCallion,G.R.Johnson,D.T.Phan,
[19]W.K.Durfee,H.R.Idris,S.Dubowsky, 车辆的实时控制仿真系统，在: 行政协调会议
,Boston,MA,1991,pp.2057±2058.
[20]E.F.Fichter,E.D.McDowell, 一种设计新颖的机器人手臂， ,在: 国际计算机技术会议，,San Francisco,CA,1980,pp.250±256.
[21]I.L.Powell,运动学分析和并联机器人拓扑结构模拟，,Marconi Rev.45(226)
(1982)121±128.
[22]S.E.Landsbuger,T.B.Sheridan, 二平行杆机器人的新设计，
在:系统自动化程序，人与控制论会议，Tuscon,AZ,1985,pp.812±814. [23]T.B.Sheridan, 人类对机器人系统监控， ,在: 机器人与自动化问题的国际会议，,San Francisco,CA,1986,pp.802±812. [24]N.G.Dagalakis,J.S.Albus,B.L.Wang,J.D.Lee,在造船起重机应用上，机器人的并行链路刚度研究，
,在: 关于离岸力学与北极第七届国际会议,Houston,TX,1988,pp.29±37.
[25]E.F.Fichter,E.D.MacDowell, 一个机器人手臂设计新颖，在: 国际计算机技术会议,San Francisco,CA,1980,pp.250±256.
[26]T.Arai,K.Clearly,H.Adachi, 原型并联机械手的设计分析和结构设计,在:Proceedings of the IROS'90,Tsuchiura,Ibaraki,日本,1990.
[27]T.Arai,K.Clearly,H.Adachi, 地下开挖任务并行机械手的开发研究,在:Proceedings of the'91 ISART,东京,日本,1991.
[28]Y.L.Xiong, 机器人机构，机械工业出版社，北京，1992,pp.22±26(in
Chinese).
[29]Z.Huang,L.F.Kong,Y.F.Fang,
机制理论和并联机器人控制，机械工业出版社，北京，1997,pp.36±37(in Chinese).
[30]W.T.Liu, 并联机床的性能分析工具 ，博士论文，哈尔滨工业大学，中国,2000