《高等几何》试题（１）
1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x?y?1?0，x?y?1?0，且点（1，1）
的象为原点.(15?)
2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10?)
3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10?) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)
5. 已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线,并求(AB,CD)的值.(8?)
?6. 设P1(1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点,且(P1P2,P3P4)=2,求P3的坐标.(12)
7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10?)
8.一维射影对应使直线l上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线l?上三点
P?(0),Q?(1),R?(3),求这个对应的代数表达式.(10?)
9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10?)
《高等几何》试题（２）
1.求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)
3.求证a(1,2,-1) ,b(-1,1,2),c(3,0,-5)共线,并求l的值,使
ci?lai?mbi(i?1,2,3). (10?)
4.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1?x2?x3?0，x1?x2?x3?0，
2，求l2的方程.(15?) 35.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (10?)
x1?0，且(l1l2,l3l4)??6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底
的交点自对应. (10?)
7.求两对对应元素,其参数为1?程. (10?)
1
1,0?2,所确定对合的参数方 28.两个重叠一维基本形A??B,A???B成为对合的充要条件是对应点的参数?与??满足以下方程: a????b(????)?d?0(ad?b2?0) (15?) 《高等几何》试题（３）
1. 求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 求椭圆的面积.(10?)
3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐
标.(10?)
4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)
5. 已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1?x2?x3?0，x1?x2?x3?0，
x1?0，且(l1l2,l3l4)??2，求l2的方程.(15?) 36. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (15?) 7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (20?)
[2005—2006第二学期期末考试试题] 《高等几何》试题（A）
一、 填空题（每题3分共15分）
1、 是仿射不变量， 是射影不变量
2、 直线3x?y?0上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为
225、 二次曲线6x?y?11y?24?0过点P(1,2)的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）
1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）
三、(7分)求一仿射变换，它使直线x?2y?1?0上的每个点都不变，且使点（1,-1）
变为（-1，2）
2
四、（8分）求证:点 A(1,2,?1),B(?1,1,2),C(3,0,5)三点共线，并求t,s
使ci?tai?sbi,(i?1,2,3)
五、(10分)设一直线上的点的射影变换是x?/3x?2证明变换有两个自对应点，且这两自x?4对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。 七、（10分）
（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x12?3x22?x32?6x1x2?2x1x3?4x2x3?0的极线 （2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,?1]交点且属于二级曲线 4u12?u22?2u32?0的直线
十、（10分）已知A,B,P,Q,R是共线不同点，
如果(PA,QB)??1,(QR,AB)??1,求(PR,AB) 《高等几何》试题（B）
一、 填空题（每题3分共15分）
?x/?7x?y?11、 仿射变换?/的不变点为
y?4x?2y?4?2、 两点决定一条直线的对偶命题为
3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为 4、 若交比(AB,CD)?2 则(AD,BC)?
5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题2分共10分）
1、不变直线上的点都是不变点 （ ） 2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ） 3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ） 4、射影群?仿射群?正交群 （ ） 5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7分)
经过A(?3,2)和B(6,1)的直线AB与直线x?3y?6?0相交于P，求 (ABP) 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群 五、（10分）已知直线L1,L2,L3,L4的方程
3
分别为：2x?y?1?0,3x?y?2?0,7x?y?0,5x?1?0 求证四直线共点，并求(L1L2,L3L4)
六、(10分)
利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点 七、（10分）求（1）二阶曲线x1?2x2?3x3?x1x3?0过点P(2,2225,1)的切线方程 2 （2）二级曲线u12?u22?17u32?0在直线L[1，4，1] 上的切点方程 八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）
九、（10分）已知二阶曲线（C）：2x12?4x1x2?6x1x3?x32?0 （1） 求点P(1,2,1)关于曲线的极线
（2） 求直线3x1?x2?6x3?0关于曲线的极点
十、（10分）
试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
《高等几何》试题（C）
一、填空题（每题3分共15分）
?x/?2x?y?16、 直线x?y?2?0在仿射变换?/下的像直线
y?x?y?3?7、 X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为
8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为
9、 射影变换???2??3?0自对应元素的参数为 10、
二级曲线u12?u22?17u32?0在直线上[1,4,1]的切点方程
'三、 判断题（每题2分共10分）
1、仿射变换保持平行性不变 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）
4、 如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点 （ ） 5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX轴上的射影变换x?'2x?1，求坐标原点，无穷远点的对应点 x?34
四、（8分）已知直线a,c,d的方程分别为2x1?x2?x3?0,x1?x2?x3?0，x1?0 且
2(ab,cd)??求直线b的方程。
3五、（10 分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断变换的类型， 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
??x1'?x1?x2?'七、（10分）求射影变换??x2?x2的不变点坐标
??x'?x33?八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,?1]交点且属于二级曲线 4u12?u22?2u32?0的直线
十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 P?P,与其两个二重元素E,F调和共轭即(PP',EF)=-1 [参考答案]
'高等几何标准答案（A）
一、 填空题：（每空3分共15分）
1、单比，交比 2、（1,-3,0） 3、x3?0 4、2???5(???)?12?0 5、12x1?7x2?26x3?0
二、判断题（每题2分共10分）
1、错，2、错，3、对，4、错，5、对
三、解：在直线x?2y?1?0上任取两点A(1,0),B(?1,1) 2分 由A(1,0)?A(1,0),B(?1,1)?B(?1,1),(1,?1)?(?1,2)
''?x'?a11x?a12y?a13设仿射变换为?' 将点的坐标代入可解得
?y?a21x?a22y?a23?x'?2x?2y?1? ?'33 7分 ?y??x?2y??225
132?12?0 所以三点共线 4分 0?5四、证明：因为?11 由：t?s?3,2t?s?0,?t?2s??5 解得 t?1,s??2 所以 ci?ai?2b1,(i?1,2,3) 8分 五、证明：令x?x由x?''3x?2得x2?x?2?0 解得x1?1,x2??2 x?4 即有两个 自对应点 4分
3k?25' 对应，有((1)(?2),kk)?为常数 10分 k?422 注：结果 有也对，不过顺序有别。
5 设k与k?'六、证明：设两直线为：a:y?k1x?b1,b:y?k2x?b2
?x?ax'?by'?c22 相似变换为：? a?b?0 ''?y??bx?ay?d 将变换代入直线a的方程得：k1?'k1a?bka?b 5分 同理可得k2'?2a?k1ba?k2bk2'?k1'k2?k1'' 即tan?a,b??tan?a,b? ??''1?k2k11?k2k1 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分 七、解：（1）设（5，1，7）为P点坐标， 二阶曲线矩阵为
?2?3?1??? A=??33?2?
??1?21???所以点P的极线为SP=0
?2?3?1??x1?????即 SP?(5,1,7)??33?2??x2??0得 x2=0 5分
??1?21??x????3? （2）略
八（在后边）
九、解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,?1]的交点的直线的线坐标为
[1?k,3?5k,1?k] 2分 若此直线属于二阶曲线则有 4(1?k)?(3?5k)?2(1?k)?0
6
2222 即 27k?42k?11?0 解得k??,k??1311 10分 9十、解：设P?A?k1B,Q?A?k2B,R?A?k3B
(PA,QB)??1,得(PA,QB)?1?(PQ,AB) 由 k(AB,PQ)?(PQ,AB)?2?1,k1?2k2k2 由(qr,ab)??1,得(AB,QR)?k2??1?k3??k2 k3 所以(PR,AB)?(AB,PR)?k1??2 10分 k3
八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。 4分
证明; 如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB1与CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A1,0共线
O
A B
C
L M N
C1 B1
A1
高等几何标准答案（B）
一、 填空题：（每题3分共15分） 1、(? 4、
1,?2), 2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2) 21 5、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。 2二、 判断题：（每题2分共10分）
1、错，2，对， 3、错， 4、对 ， 5、对
三、解：过A,B的直线方程为：x?9y?15?0 2分
7
直线AB与x?3y?6?0的交点为P(,) 4分 所以 (ABP)??1 7分
3322?x'?x?a四、 证明：设平移变换的表达式为 T: ?'
y?y?b? 设任意两个平移变换为：
'???x'?x?a1?a2?x?x?a1?x?x?a2 T1? 仍为一个平移变换 4分 ,T2?'则T2T1:?'??y?y?b1?b2?y?y?b1??y?y?b2'?x?x'?a?1?x?x?a 又对任意变换T:? 也是一个平移变换 则T:?''?y?y?b?y?y?b 所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。 8分
五、 解：方程转化为齐次坐标形式：
2x1?x2?x3?0,3x1?x2?2x3?0,7x1?x2?0,5x1?x3?0 2分
2?1 3131?21?2?0且7?10?0 所以四直线共点。 6分 7?1050?11 10分 2 因为：L3?2L1?L2,L4?L1?L2 所以：(L2L1,L3L4)?2故(L1L2,L3L4)?六、 证明：如图
A G
D H P R
M
C
B E
考虑三点形PEH与RGM则GH平行BC，RM也平行BC所以GH与RM相交于无穷远处。同理HE与GM,PE与GR相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即PR,GE,HM相交于一点。 10分 七、（1）因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为：
8
??15?,1)?0 SP=(2,2?1???21???2?x1?????20??x2??3x1?210x2?4x3?0 5分
??x?03??3??0 （2） 因为直线[1，4，1] 在二级曲线上所以切点方程为
?100??u1?????0??u2??u1?4u2?17u3?0 10分 TL=(1,4,1)?01?00?17??u????3?
八、证明：
（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。 3分 （2）如图 O A
B
C
L M N
C1 B1
A1
因为OAA1共线，所以O?kA?k1A1 同理 O?mB?1m1,BO?nC?1 n1C 故有kA?k1A1?(mB?m1B1)?0 即kA?mB?m1B1?k1A1?L 同理 mB?nC??(m1B1?n1C1)?MnC?kA??(n1c1?k1A1)?N
三式相加得 L?M?N?0 所以三点共线。 10分
9
九、解： (1)P点的极线为：
?223??x1?????SP=(1,2,1)?200??x2??9x1+2x2+4x3=0 5分
?301??x????3? （2）设直线的极点为(a,b,c)则有
?223??a??3?1?????? ?200??b????1? 解方程组可得极点(2,?,?6) 10分
2?301??c??6???????十、证明：如图
A D P C B E
ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为AD?AB所以PA为角DPB的平分线。 同理可证明PC是角EPB平分线。即PA,PC是角DPB的内外角平分线。 所以直线
PD,PA,PB,PC构成调和线束。 10分
高等几何标准答案（C）
一、 填空题：(每题3分共15分)
1、2x?y?1?0 2、（1，0，0），（0，1，0）
3、2x1?x3?0 4、-1，3 5、u1?4u2?17u3?0 二、判断题：（每题2分共10分） 1、 对 ， 2、错， 3、对， 4、对， 5、错
''??x1'?2x1?x2三、解：变换化为齐次坐标形式：? 3分 '?x?x?3x?212 将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为：
（-1，3）和（2，1） 7分
10
四、解：由题意得d?a?c 设b?a?kc 则
(ab,cd)?k 3分 而(ac,bd)?1?(ab,cd)?1?(?)? b?2x1?2x2?x3?2355 所以k? 335(x1?x2?x3)?0 3 整理得：11x1?2x2?2x3?0 8分 五、解：在直线上建立适当坐标系使A,B,C的坐标分别为
A(0,1),B(1,1),C(1,0) 3分 则有 A(0,1)?B(1,1),B(1,1)?C(1,0),C(1,0)?A(0,1)
??x1'?a11x1?a12x2 设变换为? 将坐标代入可求得 '??x2?a21x1?a22x2??x1'?x2 ? 7分 '?x??x?x?212 非齐次形式为：xx?x?1?0
因方程 x?x?1?0无实数解 所以变换是椭圆形。 10分 六、证明：
设两直线为：a:y?k1x?b1,b:y?k2x?b2
2''?x?ax'?by'?c22a?b?0 相似变换为：? ''?y??bx?ay?d将变换代入直线a的方程得：k1?'k1a?bka?b 5分 同理可得k2'?2a?k1ba?k2bk2'?k1'k2?k1'' 即tan?a,b??tan?a,b? 即两直线的夹角是相似群的不变??''1?k2k11?k2k1量 10分 七、解：
1??由特征方程：
100031??0?0得（1-?）?0即??1 4分 01??11
?0x1?x2?0? 将??1代入方程组?0x2?0 得x2?0 ,故x2?0上的点都是不变点
?0x?03?x2?0时不变点列。 10分
八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。
证明： 如图 A1 A5
E A3 F N L M
A4 A6
A2
对应边交点分别为L,M,N，以A1,A3为射心 A1(A4,A2,A6,A5)与A3(A4,A2,A6,A5)成射影对应，而A1(A4,A2,A6,A5)与点列(A4,L,E,A5)成透视对应 A3(A4,A2,A6,A5与点列)(F,M,A6,A5)成透视对应
所以点列(A4,L,E,A5)与(F,M,A6,A5)成射影对应。而A5位自对应点，所以两点列成透视对应。 故对应点连线共点。
LM上。 10分 即A4F,LM,EA6共点， A3A4与A1A6交点N在
九、解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,?1]的交点的直线的线坐标为
[1?k,3?5k,1?k] 2分 若此直线属于二阶曲线则有 4(1?k)?(3?5k)?2(1?k)?0
2 即 27k?42k?11?0 解得k??,k??2221311 9所求直线的坐标 [1,2,2]和[-1,-14,10] 10分 十、证明：E,F为自对应元素，P与P1对应 则有(PP1,EF)?1,EF)?(PP1,EF) 而 (PP1
(PP1,EF) 所以(PP1,EF)?
12 得 (PP1不重合 1,EF)?1 因为P,P(PP,EF)112
故(PP1,EF)??1 10分
13