习 题 课 下08
一、选择题
1．设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，其中D是由y?0，y?x2，
D x?1所围成区域，则f(x,y)等于（ C ）
（A）xy； （B）2xy； （C）xy?； （D）xy?1。 解：设b?。在D上对f(x,y)?xy???f(u,v)dudv两边积分得： ??f(u,v)dudv（常数）DD18 b???xydxdy?b??dxdy??xdx?DD01x20ydy?b?dx?01x20dy?111?b，解得b?，
8123 故f(x,y)?xy?。 2．二次积分
118? 0?0? cos?2d?f(?cos?,?sin?)?d?可以写成（ D ）
1 1?y2 （A）
? 0dy? 0 1 y?y2f(x,y)dx； （B）?dy? 0 1 0 x?x2f(x,y)dx；
（C）
? 0dx? 0f(x,y)dy； （D）? 0dx? 03 1f(x,y)dy。
3．设f(u)为连续函数，D?{(x,y)x?y?1, ?1?x }，
I???x[x?f(x2?y2)siny]dxdy，则I =（ B ）
D （A）?223； （B）； （C）0； （D）。 332二、填空题 1．计算下列积分 （1）
x?y?112 。 (x?y)dxdy???32x??dxdy? 解：
x?y?12(x???y)dxdy?x?y?1x?y?1??ydxdy?4x?y?1x?0,y?02x??dxdy?4?dx?011?x21xdy?。 03 1
（2）
? 0 1 1dy?3 1y1 y3cosx5dx?3 sin1。 20 解：（3）
? 0dy?? 1221 1 1 x3155333y ycosxdx? 0dx0ycosxdy??3 143??xcosx5dx?sin1。 4 020dy?ysinx2x?1dx?cos2?cos1。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
? 1dy?22．I?1ysinxxsinx2sinx换序2dx???dy? dx???dx? dy???sinxdx?cos2?cos1。
1yx?1 11x?1 1x?1223x24?x2? 0dx? 0f(x,y)dy??dx? 10f(x,y)dy在极坐标系下的二次积分
为I???23d? 00?f(?cos?,?sin?)?d?。
三、解答题
1．设区域D为x2?y2?R2，求
x2y2??(a2?b2)dxdy。
D解法1：D关于直线y?x对称，利用轮换对称性化简计算。
x与y对换x2y212dxdy?12dxdy 1 y2dxdy?12dxdy ?)dxdy?xy ??(x????????a2b2a2b2a2??b2DDD????(Dx2y21?)dxdy?a2b2a2x2y21x2dxdy?D1b21y2dxdyDDD11112?y2)dxdy?12?y2)dxdy?(x(x(???)??(x2?y2)dxdy ?? ???????2a2b22a22b2DDDD??(a2?b2)dxdy?a2??x2dxdy?b2??y2dxdyx2y21(?)dxdy?a2b2a21x2dxdy?b2y2dxdyDDDDDR1112??R411极坐标2)?d??r?rdr?(?)。 ( ?22002ab4a2b2??(a2?b2)dxdy?a2??x2dxdy?b2??y2dxdyDDDx2y211解法2：根据积分区域形状选用极坐标计算。
DDDx2y211??(a2?b2)dxdy?a2??x2dxdy?b2??y2dxdyx2y211??(a2?b2)dxdy?a2??x2dxdy?b2??y2dxdyD
??(a2?b2)dxdy??0Dx2Dy2D2?d??R0?2cos2??2sin2?(?)?d?
22ab??2?0R3cos2?sin2??R411(2?2)d???d??(2?2)。
04abab2．计算I???cos(x?y)dxdy0?x?, 0?y?，D：。 ??22D 2
解：直线x?y??将积分区域D分成两个子域D1和D2， 2y且D?D1?D2。
I???cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdy????cos(x?y)dxdy
DD1D2???x??2dx2cos(x?y)dy?2dx2cos(x?y)dy
??x0002?2x?y?D1 ?2D2 D???????o D0???2(sin?sinx)dx?2[sin(??x)?sin?]dx2?022??0?2(2?sinx?cosx)dx???2。
?2x
3．设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并设 求
?0f(x)dx?A，
1?01dx?f(x)f(y)dy。
x1y1 D Dy?x
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。 如图，D：??0?x?1?0?y?1 ，D1：?。
x?y?1y?x?1??o D1 D1 x
∵
?011x 与y对换 ?? f(y)f(x)dxdy， dx?f(x)f(y)dy???f(x)f(y)dxdy xDD1 ∴
11?(??f(x)f(y)dxdy???f(x)f(y)dxdy) dxf(x)f(y)dy?0?x21DD1 ?12D?D1??f(x)f(y)dxdy?y11112f(x)dx?f(y)dy?A。 ?02?02解法2：更换二次积分顺序 ∵ ∴
?011dx?f(x)f(y)dy x11换序?0?0 dyf(x)f(y)dx 1x对换内外积分变量名?0dx?0f(x)f(y)dy
11x111dxf(x)f(y)dy?[dxf(x)f(y)dy?dx?0?x?0?0f(x)f(y)dy] 2?0?x1111111 ??dx?f(x)f(y)dy??f(x)dx?f(y)dy?A2。
0200202解法3：利用定积分换元法。
?01dx?f(x)f(y)dy??[?f(y)dy]f(x)dx??[?f(y)dy]d[?f(y)dy]
x0x0x111111x ??[ ??[?0?1121xxf(y)dy]d[?f(y)dy]
1x?1f(y)dy]2110?[021?1f(y)dy]2?A2。
2 3
解法3：利用分部积分
?01dx?f(x)f(y)dy??[?f(y)dy]f(x)dx??[?f(y)dy]d[?f(y)dy]
x0x0x111111x
xx1x1xx???[?f(y)dy]d[?f(y)dy]??(?f(y)dy??f(y)dy)1??[?f(y)dy]f(x)dx
01111001 ?[?10f(y)dy]2??dx?f(x)f(y)dy?A2??dx?f(x)f(y)dy，
0x0x11111112dxf(x)f(y)dy?A。 ?0?x24．计算二重积分??ydxdy，其中D是由直线x??2，y?0，y?2以及曲线
得所求二重积分的方程，解之得
Dy x??2y?y2所围成的平面区域。 解法1：
2D ??ydxdy??dy?D02?2y?y2?2ydx
1x??2y?y2?2?ydy??y2y?ydy
00222D1 ?2?4??y1?(y?1)dy
022o x 令y?1?u4??(u?1)1?u2du?4???111?1?1?u2du?4?.
2?2sin?0解法2：
??ydxdy?DD?D1??ydxdy???ydxdy?4???d??D1?sin??d?
2?4?8?48?1?cos4??sin?d??4?[1?2sin2??]d??4?. 3??12??22225．求由曲面z?8?x2?y2，z?x2?y2所围立体的体积。
??z?8?x2?y2??x2?y2?4??解法1：两曲面的交线?。 22??z?x?yz?4 ??故所求立体?在xoy V? ?面上的投影区域为D?{(x,y)x2?y2?4}。 z 8 ??(8?x2?y2)d????(x2?y2)d?
DD??(8?x2?y2?x2?y2)d????[8?2(x2?y2)]d?
DD4 ?? 2? 01d??(8?2?2)?d??2??(4?2??4) 02 220?16?。 o x 2 2 y 4
解法2：V????dV??d???d???002?28??2dz?2212?2???(8?2?2)d??2?[4?2??4]0?16?。
02解法3：V????dV??0dz??dxdy??4dz??dxdy??0?zdz??4?(8?z)dz?16?。
?D1(z)D2(z)48486．设I?22222?，其中是由和f(x,y,z)dVx?y?z?4x?y?3z围成的区域，试在????直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I化为三次积分。 解：（1）在直角坐标系下，
??x2?y2?z2?4??x2?y2?3两曲面的交线为?2， ??2??x?y?3z z?1 ??? 在 xoy面上的投影区域为Dxy?{(x,y)x2?y2?3}。
I???33dx?3?x24?x2?y2dy22?3?x2x?y3?f(x,y,z)dz。
（2）在柱面坐标系下，
?22??{(?,?,z)0???2?, 0???3, ?z?4??}，dV??d?d?dz，
3I??d??02?30?d??4??2?23f(?cos?,?sin?,z)dz。
（3）在球面坐标系下，???1??2，
??1?{(r,?,?)0???2?, 0???, 0?r?2}，
3??3cos??2?{(r,?,?)0???2?, ???, 0?r?}，
232sin?dV?r2sin?drd?d?。I????f(x,y,z)dV????f(x,y,z)dV????f(x,y,z)dV
??1?2??d??02??23sin?d?00?f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2dr
??d??02??3cos?2sin?d?sin2??03?f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2dr
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7．求I????(x?y?z)?2dxdydz，其中?：(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?R2。
100?x?u?1?(x,y,z)?2222?010?1。 解：令?y?v?1，则????：u?v?w?R，J??(u,v,w)?z?w?1001? I????(x?y?z)?2dxdydz????(u?v?w?3)2dudvdw
??????(u2?v2?w2)dudvdw?2???(uv?vw?uw)dudvdw????
?12?R3 ?6???(u?v?w)dudvdw?9???dudvdw????(u2?v2?w2)dudvdw?????? ??02??R4d??sin?d??r4dr?12?R3??R5?12?R3。
005或由轮换对称性知：
222 ududvdw? vdudvdw? w?????????dudvdw， ????????? (u??2?v2?w2)dudvdw?3??? w2dudvdw
???3?wdw?RR2D(w)45222?3w??(R?w)dw??R. dudv??R??5R8．利用广义球面坐标变换计算曲面(所围成的体积V。
x2a?2y2b2?z2c2)?ax（a?0,b?0,c?0） 2?x?arsin?cos??2解：作广义球面坐标变换?y?brsin?sin?，J?abcrsin?，
?z?crcos? ?曲面方程(x2a?2y2b2?z2c2422化为r?arsin?cos?，r?3asin?cos?， )?ax2 ? ? 3a2sin?cos???由cos??0?????。???dV??2d??d??abcr2sin?dr ?00?222? ? ?13?32?abc?2cos?d?sin?d??abc. ???0332
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7．求I????(x?y?z)?2dxdydz，其中?：(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?R2。
100?x?u?1?(x,y,z)?2222?010?1。 解：令?y?v?1，则????：u?v?w?R，J??(u,v,w)?z?w?1001? I????(x?y?z)?2dxdydz????(u?v?w?3)2dudvdw
??????(u2?v2?w2)dudvdw?2???(uv?vw?uw)dudvdw????
?12?R3 ?6???(u?v?w)dudvdw?9???dudvdw????(u2?v2?w2)dudvdw?????? ??02??R4d??sin?d??r4dr?12?R3??R5?12?R3。
005或由轮换对称性知：
222 ududvdw? vdudvdw? w?????????dudvdw， ????????? (u??2?v2?w2)dudvdw?3??? w2dudvdw
???3?wdw?RR2D(w)45222?3w??(R?w)dw??R. dudv??R??5R8．利用广义球面坐标变换计算曲面(所围成的体积V。
x2a?2y2b2?z2c2)?ax（a?0,b?0,c?0） 2?x?arsin?cos??2解：作广义球面坐标变换?y?brsin?sin?，J?abcrsin?，
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