广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
【巩固】1、已知 2、设
ABCD???，求证：Ax?By?Cz?Dt?xyzt?A?B?C?D??x?y?z?t?
aa1a2a3?。 ?????n?a1，a2，?，an，b1，b2，?，an都是整数b1b2b3bn求证：
a1b1?a2b2?a3b3???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn
【拓展】设2005x3且3
?2006y3?2007z3，xyz?0，
1112005x2?2006y2?2007z2?32005?32006?32007，求证：???1。
xyz第 46 页 共 91 页
广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
【例5】已知正数a，b满足a1?b2?b1?a2?1，求证：a2?b2?1。
思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明
的结论，就是我们平时说的“正面突破”。
第十二讲：专题复习：相似三角形
【知识梳理】
1、比例线段的有关概念：
ac在比例式?(a：b?c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，
bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项。
2、平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
第 47 页 共 91 页
广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
ABDEABDEBCEF
则?，?，?，… BCEFACDFACDF
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：
（1）如图1，当 时，?ABC∽?ADE （2）如图2，当 时，?ABC∽ ?AED。 （3）如图3，当 时，?ABC∽ ?ACD。
AAA
D DED E
BBCCCB 图1图2图3
（4）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△ ∽△ 。 （5）如图5，当 时，则△ ∽△ 。
ABB' A'
CC' E'D D'E图4 图5 A（6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC＝90° AD?BC∴ ? ADC ∽ ? BDA ∽ ? BAC CBD
第 48 页 共 91 页
广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
【例题精讲】
【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，求证：BE=2EC。
DA
【巩固】如图，△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分线交AC于D且BC=BD+AD，设∠A=c°，求c的值。
【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD 【巩固】1、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD BCAODBCADBEC?6S，25梯形ABCD第 49 页 共 91 页 广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 交于点F，则S?DEF:S?EBF:S?ABF?（ ） DFABEA.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:25 2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E 【例3】已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，求证：AB?AF 【巩固】已知如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于F，求证：CE?CF BDEFABDFECABDOCEC :S?COB?9:16，则AD:DB=____________。 A ?AC?DF。 ?FD?BE。 C第 50 页 共 91 页