云南省曲靖一中2009届高三高考冲刺卷（六）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．某校有学生1800人，其中高三学生500人，为了解学生身体素质，采用按年级分层抽样，共抽取一个90人的样本，则样本中高三学生人数为
A．45人
B．30人
C．25人
D．20人
2．设集合A?{x|x?Z，且?6?x??1},B?{x|x?Z，且|x|?5}，则A?(CRB)中的 元素个数是
A．9
B．11
C．12
D．14
ln26ln22?3．若a?，则a，b，c的大小关系是 ,b?ln2ln3,c?44A．a?b?c
B．c?a?b
C．a?b?c
D．b?a?c
?x?y??1?4．设变量x，y满足约束条件?x?y?1，则目标函数z?4x?y的最大值为
?3x?y?3?A．5
B．4
C．1
D．?11
5．据统计，甲、乙两人投篮的命中率分别为0．5、0．4，若甲、乙两人各投一次，则有人 投中的概率是
A．0．2 6．(2x?
B．0．3
C．0．7
D．0．8
x)4展开式中含x3的系数是
B．12
C．24
D．48
A．6
????37．设a?(cosx,?1),b?(1,sinx)，则f(x)?a?b在x?[0,?]上的最大值与最小值分别
4 是
A．2与?2
B．1与?1
C．2与?1
D．1与?2 8．某地区的经济在某段时间内经历了高涨、保持、下滑、危机、萧条、复苏几个阶段，则 该地区的经济量S随时间t的变化图象大致可能是
x2229．已知双曲线2?y?1(a?0)的一条准线与抛物线y??6x的准线重合，则该双曲线
a 的离心率为
A．
3 2 B．
3 2 C．
6 2 D．
23 310．已知S?ABC是正四面体，M为AB之中点，则SM与BC所成的角为
A．
? 42
B．arccos23 6 C．
? 3
D．arccos5 611．直线x?ay?1?0与直线(a?1)x?by?3?0互相垂直，a、b?R且ab?0，则
|ab|
的最小值为
A．1
B．2
C．3
D．4
12．正四面体ABCD的外接球的体积为43?，则点A到平面BCD的距离为
A．
43 3 B．23 3 C．
4 3 D．
8 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分．把答案填在题中横线上．
?????13．若a?b?39,b?(12,5)则a在b上的投影是 ．
14．函数f(x)?x?3x?1的单调递减区间是 ．
32 x2y215．F1、F2是椭圆??1的两个焦点，P为椭圆上一动点，若?F1PF2为钝角，则点
94 P的横坐标的范围是 ． 16．设有四个条件：
① 平面?与平面?，?所成的锐二面角相等； ② 直线a//b,a?平面a,b?平面?；
③ a,b是异面直线，a??,b??，且a//?,b//?；
④ 平面?内距离为d的两条平行直线在平面?内的射影仍为两条距离为d的平行直线．其中能推出?//?的条件有 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
??????C，且A、B、C分别为已知向量m?(sinA,cosA),n?(cosB,sinB),m?n?sin2?ABC的三边a，b，c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若A?75,c?3cm，求?ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
?
甲、乙等四名医务志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的地震灾区服务，每个灾
区至少有一名志原者．
19．（本小题满分12分）
如图，直二面角D?AB?E中，四边形ABCD是边长为2正方形，AE?EB,F为CE上的点，且BF?平面ACE．
（1）求证AE?平面BCE； （2）求二面角B?AC?E的大小．
20．（本小题满分12分）
（1）求甲、乙两人同时参加A灾区服务的概率； （2）求甲、乙两人在同一个灾区服务的概率．
已知数列{an}、{bn}满足a1?2,b1?1，且an?31an?1?bn?1?1，4413bn?an?1?bn?1?1,(n?2)
44（1）令Cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式； （2）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．
21．（本小题满分12分）
x2?y2?1（p为正常数）右焦点F的距离等于到已知曲线C上任意一点到椭圆2p1?4定直线x??p的距离． 2（1）求曲线C的方程；
????????2?（2）若AB是曲线C上过点F的直线，且BF?FA??，试证|AB|?．
p
22．（本小题满分12分）
11[()??(x?1)???x?2??2] xxb设函数f(x)?ax?曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x?4y?12?0．
x（1）求f(x)的解析式；
（2）证明：曲线y?f(x)上任意一点处的切线与直线x?0和直线y?x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
参考答案
1．C 1l．B
2．C 12．A
3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B
2．解析：CRB?{x|x?z且|x|?5}?{x|x?z.且?5?x?5}
A?CRB?{x|x?z且?6?x?5}?{?6,?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5}，∴选C．
3．解析：?lnx是增函数 ?ln2??ln6?0
ln22?ln26故，即c?a ?44ln26?ln2?ln3?又?ln2?ln3?? ??24??2
?b?a,?c?a?b，故选B．
4．解析：如图作出可行域，作直线4x?y?0，平移直线l0至l位置，使其经过点A．此时目标函数取得最大值（注意y与z反号）
由??x?y??1得A(2,3)
?3x?y?3
?zmax?4?2?3?5，故选A
???P(A)?1?P(A)?0.7 ，
)1?(051.()?04.)03.5．解析：设有人投中为事件A，则P(A
故选C．
6．解析：(2x?r4x)4展开式中通项；
4?rr4?14?rr2xr?2C4x 2
Tr?1?C(2x)
由4?r222?24，故选C． ?3，得r?2,?T3?C427．解析：?f(x)?cosx?sinx????2cos?x??
4???
由x??0,??得?x????,??
4??4??4???3????????2??????1?cos?x???,??2?2cos?x???1，故选D．
4?24???8．略
a2a23?9．解析：由y??6x得准线方程x?，双曲线准线方程为x? 2221?a
3c21?a2222??，解得a?3,e?2?2?，
22aa31?aa2
?e?23，故选D． 310．解析：设正四面体的棱长为2，取AC中点为N，连接MN，则?SMN为SM与BC所成的角，在SMN中
(3)2?11?(3)23cos?SMN??
62?3?1??SMN?arccos11．解析：
3，故选B． 6
a2?111a2?1a2?1??1?b?2，则|ab|?a?2?a??2，故选B． 由题意2?aaaba12．解析：由已知?R?43?,?R?3，
433?AE为球的直么
?AD?DE，又AE?O1D，
设AD?a，则O1D?
233?a?a 3236a， 36a 3
?AO1?AD2?O1D2?
O1E?2R?AO1?23?2又由O1D?AO1?OE，解得a?22
?AO1?664a??22?3，故选A． 343另法：将四面体ABCD置于正方休中．
正方体的对角线长为球的直径，由此得AD?a?22，然后可得AD1?43． 3二、填空题
13．3；解析：?a在b上的投影是|a|cos??b?b39??3． |b|1314．（0．2）；解析：由f?(x)?0，解得0?x?2．
15．?3535 ?x?5522解析：?a?9,b?4,?c?5，
?|PF1|?a?ex?3?55x,|PF2|?3?x 33222
52x?1|PF1|?|PF2|?|F1F2|由余弦定理cos?F1PF2??9,??F1PF2为钝角
52?2|PF1||PF2|?9?x??9??
52x?1??1?cos?F1PF2?0，即?1?9?0，
529?x9解得?
3535?x?． 5516．②③；
解析：容易知命题①是错的，命题②、③都是对的，对于命题④我们考查如图所示的正方体，政棱长为d，显然A?B与CD?为平面A?BCD?内两条距离为d的平行直线，它们在底面ABCD内的射影AB、CD仍为两条距离为d的平行直线．但两平面A?BCD?与
ABCD却是相交的．
三、
??????17．解：（1）?m?(sinA,cosA),n?(cosB,sinB),m?n?sin2C，
?sinAcosB?cosAsinB?sin2C，
即sin(A?B)?sin2C,?sinC?sin2C,?cosC?
（2）?A?75,?B?180?(60?75)?45
由
?????1?，故C?60． 2cbc?sinB得b???2(cm)．
sinCsinBsinC设b边上的高为h。则h?csinA
1113?32S?ABC?bh?bc?sinA??2?3sin(45??30?)?cm．
22242A2118．（1）设甲、乙两人同时参加A灾区服务为事件A，则P(A)?22?．
C4?A3183A31（2）记甲、乙两人同时参加同一灾区服务为事件B，那么P(B)?22?．
C4?A3619．解：
（1）?BF?平面ACE,?BF?AE
∵二面角D?AB?E为直二面角，且CB?AB，
?CB?平面ABE,?CB?AE ?AE?平面BCE．
（2）（法一）连接BD交AC交于G点，连接FG,?ABCD是边长为2的正方形，
?BG?AC,BG?2，
?BF?平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG?AC
??BGF是二面角B?AC?E的平面角
由（1）AE?平面BCE,?AE?EB，
?AE?EB,BE?2．
在Rt?BCE中，EC?BC2?BE2?6,BF?BC?BE2?223?? EC3623BF36∴在Rt?BFG中，sin?BGF? ??BG23故二面角B?AC?E等于arcsin6． 3（2）（法二）利用向量法，如图以AB之中点O为坐标原点建立空间坐标系O?xyz，则
A(0,?1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),E(1,0,0)
?????????????????BC?(0,0,2),BA?(0,?2,0),AC?(0,2,2),AE?(1,1,0)，
??设平面ACE的法向量分别为n1，则由
???????????????n1?AC?0??n?(?1,1,?1)n?OE?(1,0,0) 得1，而平面BAC的一个法向理2?????????n1?AE?0?????????n1?n23??????cos?n1?n2???? 3|n1?n2|故所求二面角等于arccos
3． 320．解：（1）由题设an?bn?an?1?bn?1?2，即cn?cn?1?2(n?2)
易知{Cn}是首项为a1?b1?3，公差为2的等差数列， ∴通项公式为Cn?2n?1，
（2）由题设，an?bn?11bn是以a1?b1?1公比为(an?1?bn?1)(n?2)，得dn?an?22的等比数列．
?dn?1 2n?1
?an?bn?2n?1111n2?由?1得an?n?n?,?Sn?n??n?1．
2222an?bn?n?1??2?P?,0?，由抛物线定义可求得曲线C的方程为y2?2px． ?2?21．解：（1）由题意F?（2）证明：设点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
若AB直线有斜率时，其坐标满足下列方程组：
?y2?2pxk2p2?222?0， ?p??kx?(kp?2p)x??4?y?k?x?2????p2?x1?x2?
4
pp2若AB没有斜率时，AB方程为x?,x1?x2?．
24?????p???p又?|BF|?x1?,|FA|?x1?．
22????????p??p???|BF||FA|cos0???x1???x2????
2??2??
pp2p2?x1?x2?(x1?x2)???；又?x1?x2?，
244?x1?x2?2??p p
?|AB|?x1?x2?p?2?． p22．（1）解：方程7x?4y?12?0可化为y?7x?3． 4b1?2a????a?11b?22当x?2时，y?，又f?(x)?a?2，于是?，解得?，故
2x?b?3?a?b?7??44
f(x)?x?
3． x3知曲线在点P(x0,y0)处的切线2x（2）解：设P(x0,y0)为曲线上任一点，由y??1?方程为y?y0??1????3?3??3?(x?x)y?x??1?(x?x0)． ，即?0??02?2?x0xx0?0????
令x?0，得y???6?6，从而得切线与直线x?0的交点坐标为?0,??
x0?x0?令y?x，得y?x?2x0，从而得切线与直线y?x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0,y0)处的切线与直线x?0,y?x所围成的三角形面积为
16?|2x0|?6．故曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0,y?x所围成的三2x0角形的面积为定值，此定值为6．