新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
解得
，表示
的值域，即
故，
故选
2. 为虚数单位，则复数（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
故选 3. 已知为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A. 若
，则
B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D 【解析】对于，若
，则除了
，还可以
，故错误
对于，若三点不在平面的同侧，则与相交，故错误 对于，
，有可能
，故错误
1
）对于，根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故正确 故选 4. 设等差数列
的前项和为，若
，则
（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B
【解析】设等差数列
，
的公差为
即，
故选 5. 实数
满足约朿条件
若
的最大值为4，则
（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立 ，解得，由图得化目标函数为 当直线
过或时，直线在轴上的截距最小，有最大值． 把把故选C.
6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆
代入代入得
．
，得
，符合题意；
2
的面积，并创立了“割圆术”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（已知：
)
A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C
【解析】模拟执行程序，可得
不满足条件，
不满足条件，
满足条件，退出循环，输出
故选
7. 如图是某个几何体的三视图，俯视图是一个等腰直角三角形和一个半圆，则这个几何体的体积是（
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 则
故选
3
）
8. 设，则下列说法不正确的是（ ）
A.
为上的偶函数 B. 为的一个周期 C. 为
的一个极小值点 D.
在区间
上单调递减
【答案】D 【解析】
即
为上的偶函数，故正确
故为
的一个周期，故正确
，
当时，
，当
时，
，
故为
的一个极小值点，故正确 时，
，故
在区间
上单调递增，故错误
故选
9. 已知边长为2的正方形的对角线交于点，是线段
上—点，则
的最小值为（A.
B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则
，设
，
则，
∴，
∴当
时，
有最小值
．选C．
4
）10. 已知函数与其导函数的图象如图，则函数的递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
学_科_网...学_科_
网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网... 11. 已知点是双曲线最大值为（ ） A.
B.
C.
D.
的渐近线上的动点，过点作圆
的两条切线，则两条切线夹角的
【答案】B
【解析】由题意得渐近线方程为过圆心则
圆的半径
向
作垂线
当斜边最小是，夹角最大
，
故选
点睛：本题考查的是圆的切线性质，从圆外一点作圆的切线，此点到圆心的距离越小，两切线夹角就越大。要使两切线夹角最大，需双曲线上的点到圆心的距离最小，求出到圆心的距离最小值，利用三角形中的边角关系，求出两切线夹角的一半，进而得到两切线夹角的最大值。 12. 已知函数（ ）
与
的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是
，
5
A. 【答案】B 【解析】当
时，
B. C. D.
，
当关于轴对称的函数为
由题意得：在
时有解，如图
当时，，
则的取值范围是故选
点睛：本题考查了函数图像交点问题，由题意两函数有关于轴对称的点，先求出一个函数关于轴对称的函数表达式，然后画出图形，结合图形描述出有交点的情况，即可算出结果，本题需要利用数形结合思想，还需要转化，有一定难度。
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数【答案】4 【解析】
则
的值为__________．
14. 有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答）
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【答案】48
【解析】由题意可得：则不同的站法种数为
15. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】设
解得将
代入到椭圆方程可得：
的延长线交椭圆于点，且
，椭
解得
点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的离心率。解决的关键是根据向量的关系，即题目中给的条件，
，结合相似比得到点
16. 把函数数列
的前项和
，进而代入到方程中，求解得到结论，属于基础题。
，数列
满足
，则
所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列__________．
，
，...
【答案】
【解析】由题意可得：则
相减得：
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点睛：本题主要考查的知识点是数列的求和和三角函数。根据正弦函数的零点规律得出等差数列，当遇到等差数列通项和等比数列通项相乘时求和，就采用错位相减法，如本题中掌握错位相减法求和。
，在计算过程中要熟练
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在
中，角
的对边分别为；
的面积为
，求的大小.
或
.
，讨论当
时，当
时得
(2)
，已知
.
（1）求证：（2）若
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】试题分析：由正、余弦定理计算得由面积公式得解析：（1）由
，可得
当当∴
时，时，，∴
时，
，因为
；当
时，
； ，∴
，又
，即
，∴
，∴
，又
，代入化简得
，从而算出结果
，又由正、余弦定理得
综上，当（2） ∵又又当
，∴
，
，∴时，
8
∴或.
中，
平面
，
分别是
的中点，是
的中点.
18. 如图，在三棱锥
（1）求证：（2）若
平面； ，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：取
中点，连结
，则
，推导出
的余弦值
, ，
，从而证得，
平面
；
建立空间直角坐标系，设
，利用向量法求得二面角
解析：（1）取又∵∴平面
中点,连结
,∵是
的中点, ∴,
. ，则， ，同理得平面
的法向量为
分别是平面
,∴
的中点,∴平面
（2）建立如图坐标系，不妨设设平面则
的法向量为，得
，
，
设二面角的平面角为，则.
19. 近年来，我国电子商务蓬勃发展，有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统，从该系统中
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随机选出100次成功了的交易，并对这些交易的评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为40次. （1）根据已知条件完成下面的意之间有关”？
列联表，并回答能否有
的把握认为“网购者对服务满意与对商品满
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为，求的分布列和数学期望. 附：
(其中
为样本容量）
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：
利用数据填写联列表即可，求出
，对标临界值即可得到结论
由题意可得的可能值，分别求出其概率，可得分布列，进而可得数学期望 解析：（1）
∴没有
的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”
，
（2）一次交易中对商品和服务都满意的概率为分布列：
.
20. 如图，抛物线
的准线与轴交于点，过点的直线与拋物线交于两点，设
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到准线的距离.
（1）若（2）若【答案】(1)
，求拋物线的标准方程；
，求直线；(2)
的斜率. .
，进而得到拋物线的标准方程；
设
【解析】试题分析：
，根据
定理表示出解析：（1）∵∴抛物线为（2）设
； ，由，
求得抛物线的焦点和准线方程，然后求出
求得
，设直线
的方程为
，联立抛物线方程，根据韦达
，解方程求得的值 ，∴
，∴
，得
得:
∴，则
设直线的方程为，由 ，得，
即，∴，
∴，整理得，
∴21. 已知（1）若
在
，∴
.
，依题意，∴.
处取得极值，求实数的值；
11
（2）证明：:【答案】(1)
时，
；(2)证明见解析.
求导，代入，求出结果(2)
得
.
【解析】试题分析：讨论得
，
，求导，令
，再次求导，
有唯一零点，由单调性得
，
处取得极值，∴
，则
时，
；当
时，
，从而证明结果
解析：（1）∵令当这样由当所以（2）设则∵设
，∴，则
时，；
；
时，
在
，∴，得即
在
，此时
处取得极小值
，
，
，∴
在
上递增，
又，当时，，由，
∴当时，，故有唯一零点，
当∴所以当
时，，当时，，且，
时，.
点睛：本题考查了运用导数证明不等式问题，在证明过程中先求出导函数，然后二次求导，利用二阶导数的单调性判定一阶导数的取值情况，这里需要注意存在极值点，但算不出极值点的值时需要整体代入，然后化简，本题较难。
12
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 在平面直角坐标系
中，曲线的参数方程为
.
以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系，直线的极坐标方程为
（1）写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程； （2）过点且平行于直线的直线与曲线交于【答案】(1) 【解析】试题分析：
，
两点，若
，证明点在一个椭圆上.
；(2)证明见解析.
，消去，可得曲线的普通方程
设点
，利用极
曲线的参数方程为
坐标与直角坐标方程的互化，可得联立方程组，通过解析：（1）
，
，即可求得
与平行于直线的直线的参数方程，直线与曲线，从而得到答案
（2）设过点与平行于直线的直线的参数方程为(为参数）
由，得：
∴
即点落在椭圆
上.
，得
点睛：本题主要考查的是参数方程转化为普通方程，简单曲线的极坐标方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，关键是掌握将极坐标方程转化为直角坐标方程的转化方法及其步骤，熟练计算。 23. 设函数（1）试比较（2）若函数【答案】(1) 【解析】试题分析：通过当解析：（1）∵
时，当与
的大小；
.
的图象与轴能围成一个三角形，求实数的取值范围.
；(2)
利用作差法求解
.
与的大小关系推出结果
转化求解即可
时，化简函数的表达式，利用
，而
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∴； （2）当
时，
，
∵，∴围成三角形，∴当时，，同理得综上所述.
.
，
14
15