5?．螺绕环中心周长l?10cm，环上均匀密绕N?200匝线圈，线圈中通有电流I?100mA。求(1)管内的磁场强度H0和磁感应强度B0；(2)管内充满相对磁导率?r?4000的磁介质时，管内的磁场强度H和磁感应强度B。
N200I??0.1?200(A/m) l0.1管内的磁感应强度B0??0H0?4π?10?7?200?2.5?10?4(T)
5．解：(1)管内的磁场强度H0?nI?(2)管内的磁场强度H?H0?200(A/m);
管内的磁感应强度B??r?0H0??rB0?4000?2.5?10?4?1.0(T)
6?．充满磁介质的螺绕环均匀密绕线圈共400匝，环的平均周长是40cm，当导线内通有电流20A时，利用冲击电流计测得环内磁感应强度是1.0T。求(1)环内磁场强度和磁化强度；(2)环内介质的相对磁导率；(3)介质表面的磁化电流。
N400I??20?2?104(A/m) l0.4B1.045环内磁化强度M??H??2?10?7.76?10(A/m) ?7?04π?10B1.0(2)环内介质的相对磁导率?r???39.8
?0H4π?10?7?2?1046．解：(1)环内磁场强度H?nI?(3)介质表面的磁化电流Is??sl?Ml?7.76?105?0.4?3.1?105(A)
练习 十一 知识点：楞次定律、法拉第电磁感应定律、动生电动势、感生电动势、感生电场 一、选择题
1．闭合导线圆环在均匀磁场中运动，能使圆环中产生感应电流的是 ( ) (A) 圆环以自身直径为轴转动，轴与磁场方向平行； (B) 圆环以自身直径为轴转动，轴与磁场方向垂直； (C) 圆环平面垂直于磁场，圆环沿垂直于磁场方向平移； (D) 圆环平面平行于磁场，圆环沿垂直于磁场方向平移。
????解：(B), (A)、(C)、(D)三种情况下,穿过环面的磁通量不变。
2．闭合导线圆环一半处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于圆环平面指向纸内，如图所????示。此时，欲使圆环中产生逆时针方向的感应电流，应使圆环 ( ) ???? (A) 向右平移； (B) 向上平移； (C) 向左平移； (D) 向下平移。 解：(C),取顺时针方向为回路绕行方向,?>0, 圆环向左平移, ?增大,根据楞次定律,圆环中产生逆时针方向的感应电流
??3．长度为l的直导线ab在匀强磁场B中以速度?平动，速度方向、磁场方向与直导线在同一平面内，速度方向与磁场方向的夹角为?，则直导线ab中的电动势为 ( )
a (A) Bl?； (B) Bl?sin?； (C) Bl?cos?； (D) 0。
b????B解：(D),运动导线不切割磁力线
?4．金属棒ab在匀强磁场中，绕通过c点且垂直于棒的轴转动。磁场方向平行于转轴，o是
B棒的中点，如图所示。则 ( )
ao(A) a点比b点电势高； (B) a点与b点电势相等；
(C) a点比b点电势低； (D) 有稳恒电流从a点流向b点。 解：(C),?1??cb?ac??b????(v?B)?dl,方向由a指向O点; ?2??(v?B)?dl,方向由b指向O点
c5．如图所示，导线ab在均匀磁场中作下列四种运动，(1)垂直于磁场作平动；(2)绕固定端a作垂直于磁场转动；(3)绕其中心点o作垂直于磁场转动；(4)绕通过中心点o的水平轴作平行bbbb于磁场的转动。关于导线ab的感应电动势哪个结论是错误的？ ( ) oo(A) (1)有感应电动势，a端为高电势；(B) (2)有感应电动势，b端为高电势；
aaaa(C) (3)无感应电动势； (D) (4)无感应电动势。
(1) (2) (3) (4) 6
???解:(B)?i??v?B?dl.平动杆上各点速度相同,感应电动势大小?i?vBl,方向由b指向a;绕a端转动杆上
L12l?B,方向由b指向a;绕中点O转动杆上各点速度不?02l/212同,Ob、Oa上感应电动势大小均为?i??x?Bdx?l?B,方向由b、a指向O,总感应电动势为零;杆不
08各点速度不同,感应电动势大小?i?lx?Bdx?切割磁力线无感应电动势
6?．如图所示，有一边长为1m的立方体，处于沿y轴指向的强度为0.2T的均匀磁场中，导线a、b、c都以0.5m/s的速度沿图中所示方向运动，则 ( ) zb(A)导线a内等效非静电性场强的大小为0.1V/m；
?(B)导线b内等效非静电性场强的大小为0； Bc(C)导线c内等效非静电性场强的大小为0.2V/m；
ay(D)导线c内等效非静电性场强的大小为0.1V/m。 解: (D)非静电性场强Ek?v?B,对C杆v?B,E?vB?0.2?0.5?0.1V/m
?????x二、填空题
1．引起动生电动势的非静电力是 力，引起感生电动势的非静电力是 力。感生电场是由 产生的，它的电场线是 线。解:洛伦兹;感生电场;变化的磁场,闭合曲线
2．电阻为R、半径为a的导线圆环置于匀强磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。若使圆环中有稳定的感
dBIR1d??a2dB? 。解:2,I????应电流I，则磁感应强度大小随时间的变化率
?adtRdtRdt??3．一根直导线在磁感应强度为B的均匀磁场中以速度?运动，导线中的动生电动势对应的非静电性场强????Ek? 。解:非静电性场强Ek?v?B
4．直导线在垂直于均匀磁场的平面内匀速转动，转轴位于导线上。当转轴位于导线的 点位置时，整个导线上的电动势为最大；当转轴位于导线的 点位置时，整个导线上的电动势为零。
?????????解:端点?i??v?B?dl;中点?i??v?B?dl??v?B?dl?0;
LL/2L/2?I?5．如图所示，通有电流I的无限长直导线旁放置一段长度为l的直导线ab，两导线共面
?ab且相互垂直，a端与无限长直导线的距离为r。当导线ab以速度?沿电流的平行方向运
lr动时，导线ab两端的电势差Uab? 。
??r?Iva??Ivr?l?Ivr?l解:?i??v?B?dl???0dx?0ln,方向由b指向a, Uab?0ln
br?l2?x2?r2?r?
6．将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有q的电量通过电流计。若连接电流计的电路总电
1d?1dt?d?,???Rq 阻为R，则穿过金属环的磁通的变化??? 。解:dq?idt?RdtR三、计算题
1．长度均为L的两个同轴长直螺线管，大管套着小管，匝数分别为N1和N2，半径分别为a和
b(L??a,a?b)，小螺线管导线中通有交变电流i?I0sin?t，求：（1）小螺线管中磁感应强度表达式；
（2）大螺线管中的感应电动势。
1．解：根据安培环路定理，可知小螺线管内磁感应强度大小为:Bb??0通过大螺线管线圈横截面积的磁通量为:?a?Bb?Sb??0通过大螺线管的磁链为:?a?N1?a??0N2I0sin?t Ll??N22?bI0sin?t LN1N22II?bI0sin?t
2bL2ad?aNN???012?b2I0?cos?t 大螺线管中的感应电动势为:?a??dtL?
2．在两根平行放置相距2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈边长分别为l和2b，
?且l边与长直导线平行。两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I，线圈以恒定速度?在导线平面内垂直
7
于直导线向右运动(如图所示)。求：线圈运动到两导线的中心位置(即线圈的中心线与两根导线距离均为a)时，线圈中的感应电动势。
2．解：图示位置时，两根无限长直导线的电流在矩形线圈左边处产生的磁感应强度大小为:
11?),方向垂直于纸面向里。
2πa?ba?b?I11?)方向沿左边向上。 在矩形线圈左边中的电动势大小为 ?1?B1l??l?0(2πa?ba?bB1?(同样可以求得，在矩形线圈右边中的电动势大小与左边中的相等，方向沿右边向下。另外两边中没有感应电动势。所以，线圈中的感应电动势大小为
?0I??2?1?2l??0I11?),方向沿顺时针方向。
2πa?ba?b(3．在半径为R的无限长直圆柱形空间内，存在磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向平行于圆柱轴线（垂直于纸面向里），如图所示。在垂直于圆柱轴线的平面内有一根无限长直导线，直导线与圆柱轴线相距为d，且d?R，已知
?dB?k，k为正的常量，求长直导线中的感应电动势的大小和方向。 dt??3．解：由场的对称性，变化磁场所激发的感生电场的电力线在圆柱内外都是与圆柱同轴的同心圆.设想用
12???RB. 假想导线与原导线构成无限长矩形闭合回路,穿过回路的磁通量为m2根据法拉第电磁感应定律
????i??dΦ1dB1???R2???R2k dt2dt2?E?0?E?o???R??d??i??o1B根据楞次定律可知感生电动势方向水平向右.
4?．一根长为L的金属细杆ab绕垂直于金属杆的竖直轴o1o2以角速度?在水平面内旋转，转动方向与竖直向上方向成右手螺旋关系，如图所示。o1o2在离细杆a端4L/5ab?处。若已知地磁场在竖直向上的分量为B。求ab两端间的电势差Ua?Ub。
4L/5o24．解：ob段中的动生电动势为
??L/5?L/5L/51?1??(??B)?dl???Bdl???Bldl??BL2 感应电动势方向o?b。
00050??164L/5?(??B)?dl??BL2,感应电动势方向o?a。 同样可以求得，oa段中的动生电动势为 ?2??0501163ab杆中的动生电动势为 ???1??2??BL2??BL2???BL2,感应电动势方向b?a。
5050103ab两端间的电势差Ua?Ub?????BL2
105．两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流变化率dI/dt???0。边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示。求线圈中的感应电动势。
?II5．解：载流无限长直导线距离为r处的磁感应强度大小为0。以顺时针方向为线圈2πrd回路的绕向，较远导线中的电流在线圈中产生的磁通量为
?1??3d2d3d?dr?ln 2πr2π2?0I?0IdId较近导线中的电流在线圈中产生的磁通量为 ?2?总磁通量为???1??2???2dd?d??0I2πrdr???0Id2πln2
4ln 2π3d??0d4dI?d4?(ln)?0?ln,方向为顺时针。 感应电动势为???dt2π3dt2π3
8
?0Id6．如图所示，无限长直导线AB中通有电流i，矩形导线框abcd与长直导线共面，且ad与AB平行，dc?边固定，ab边沿da及cb以速度?无摩擦地匀速平动，设线框自感忽略不计，（1）如i?I0（I0为常量），求ab中的感应电动势，ab两点哪点电势高？（2）如i?I0sin?t，求线框中的总感应电动势。 6．解：以abcda作为回路的绕向，任意时刻t时，矩形导线框的磁通量为
???Bl2dr??l0?l1?0il2l0l?ldr?ln01 2πr2πl0?0il2A?ia?b（1）如i?I0时，ab中的感应电动势等于线框中的感应电动势，即
?Idll?l?Il?ld??????002ln01??00?ln01,
dt2πdtl02πl0ab中电动势方向b?a，a两点电势高。
?lIsin?tl0?l1（2）i?I0sin(?t)，矩形导线框的磁通量为 ??020 ln2πl0?Il?ld?线框中的感应电动势为 ?????00ln01(?sin?t?l2?cos?t)
dt2πl0
l2dcBl0l1练习 十二 知识点：自感、互感、磁场能量、位移电流、麦克斯韦方程组 一、选择题
1?．对于单匝线圈取自感系数的定义式为L??/I。当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数 ( ) (A) 变小； (B) 变大，与电流成反比关系；
(C) 不变； (D) 变大，但与电流不成反比关系。解:(C) 2?．一空芯的长直螺线管,在保持其半径和总匝数不变的情况下,把螺线管拉长一些,则它的自感系数将( ) (A) 增大； (B) 减小； (C) 不变； (D) 无法确定其变化。解:(B) 3．用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式Wm?12LI ( ) 2 (A) 只适用于单匝圆线圈； (C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环； (B) 只适用于无限长密绕螺线管； (D) 适用于自感系数L一定的任意线圈。解:(D)
4．如图所示，两个圆环形导体a、b互相垂直地放置，且圆心重合，当它们的电流I1和I2同时发生变化时，则 ( ) I1a (A)a导体产生自感电流，b导体产生互感电流；
bI2 (B)b导体产生自感电流，a导体产生互感电流； (C)两导体同时产生自感电流和互感电流；
(D)两导体只产生自感电流，不产生互感电流。
解: (D)一个圆形环导体中的电流产生的磁力线不能穿过另一个圆形环导体,不会产生互感电流 5?．下列哪种情况的位移电流为零？ ( ) (A)电场不随时间而变化；(B)电场随时间而变化；
(C)交流电路； (D)在接通直流电路的瞬时。解:(A) 二、填空题
1．一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由10A增加到12A，此过程中线圈内自感电动势为40V，
di?i??L dt?t2．如图所示，有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴oo?上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为 。
则线圈的自感系数为L? 。解:0.040H,?i??L解:0,通过矩形线圈的全磁通为????
b/20oBldx??b/20Bldx?0,互感系数M?N?/I?0
o?3．一根长为l的直螺线管，截面积为S，线圈匝数为N，管内充满磁导率为?的均匀磁介质，则该螺线
9
管的自感系数L? ；线圈中通过电流I时，管内的磁感应强度的大小B? 。
??解:用?H?dl??I可求得螺线管内磁场强度H?NI/l,B??H??NI/l
Li?N?m?N?NIlS??N2IlS,L??N2Sl,B??NI/l
4?．真空中一根无限长细直导线中通有电流I，则距导线垂直距离为a的某点的磁能密度wm = 解:wm?B2/(2?0)?(?0I/2?a)2/(2?0)??0I2/8?2a2
5?．麦克斯韦关于电磁场理论的两个基本假设是 ； 。 解: (1)变化的磁场激发电场(感生电场); (2)变化的电场将产生磁场(位移电流概念) 6?．写出麦克斯韦方程组的积分形式：
; ; ; .
??????B?解:??SD?dS??V?dV，??LE?dl???S?t?dS??????D????SB?dS?0，??LH?dl??S(J??t)?dS
三、计算题
1．截面半径为a的空芯环形螺线管，在环上用表面绝缘的导线均匀地密绕了两个线圈，匝数分别为N1和
N2，环中心线的半径为R(R??a)。求两个线圈的互感系数。
1．解：设N1匝线圈中电流为I1，它在环中产生的磁感强度为 B1??0n1I1??0N1I1 2πRN1?12?0N1N2a22I1πa;两线圈的互感为 M??通过N2匝线圈的磁通链数为 ?12?N2B1S?N2?0 2πRI12R22．一圆形线圈A由50匝细线绕成，其面积为4cm，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴，设B线圈中的电流在A线圈所在处激发的磁场可看作均匀的。求 (1)两线圈的互感；(2)当B线圈中的电流以50A/s的变化率减小时，A线圈中的感生电动势。
?NI2． 解：(1)设B线圈中的电流为I，B线圈在圆心激发的磁感应强度为B0?0B
2R?NIA线圈的磁通量为?m?NAB0SA?0BNASA
2R?m?0NB4π?10?7?100?NASA??50?4?10?4?6.28?10?4H 两线圈的互感为 M?I2R2?0.2dI??6.28?10?4?(?50)?3.14?10?4V (2)A线圈中的感生电动势为 ?i??Mdt?
3．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。
?NI3．解：设螺绕环线圈中通有电流为I，离环中心r处的磁感应强度为B?0
2πrR2?NI?0N2IhR20drr螺绕环的磁通链数为?m?N?BdS?N?hdr?ln hSR12πr2?R1R2R1?m?0N2hR2螺绕环的自感L??ln
I2πR14．矩形线圈长l?0.20m，宽b?0.10m，由N?100匝导线绕成，放置在无限长直导bb线旁边，并和直导线在同一平面内。该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计。求线圈与长直导线之间的互感。 4．解：设无限长直导线通有电流I。离直导线r处的磁感应强度为B?通过矩形线圈的磁通链为 ?m?N?0I2πrI
rdrl?SB?dS?N?2b?0I2πrbl?dr?N?0I2πlln2
10
线圈与长直导线间的互感为 M??mI?N?02πlln2?100?2?10?7?0.2ln2?2.77?10?6H
5?．半径为R的圆柱体长直导线通有电流I，电流均匀分布在导体横截面上，计算导线内部单位长度储存的磁场能量。(设导体的相对磁导率为?r)。
5．解：根据安培环路定理，导线内距轴线为r处的磁场强度为H?rI， 2πR2?0?rr2I212磁能密度为 wm??0?rH?
28π2R4导线内部单位长度储存的磁场能量为 Wm?wmdV??
8πR16π6．圆形板电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin(?t)，求：
0??R?0?rr2I2422πrdr??0?rI2
（1）细导线中的电流；（2）通过电容器的位移电流；（3）通过极板外接线中的电流； （4）极板间离轴线为r处的磁场强度。设r小于极板半径。
rUU0?sin?t RRdqdU?0S?C?U0?cos?t （2）通过电容器的位移电流为id?dtdtd?SU（3）通过极板外接线中的电流i?id?iR?0U0?cos?t?0sin?t
dR???0πr2U0H?dl?(i?i)H?2πr?U?cos?t?sin?t （4）根据安培环路定理? ?dR0?dR?rUH?0U0?cos?t?0sin?t
2d2πrR6．解：（1）细导线中的电流为iR? 11
练习 九 知识点：磁场与磁感应强度、磁感应线与磁通量、毕—萨定律和安培环路定理及应用 一、选择题
1．半径为R的半圆形细导线中通有电流I，则圆心处的磁感应强度大小为 （ ）
?0I?I?I； (B) 0； (C) 0； (D) 0。 4πR2πR4R???R??Idl?er?0Idl解：(C)由dB?0可知各电流元在圆心处磁感应强度大小为,方向相同,B?dB??0dB 4?R24?r22．半径为R的无限长直圆柱体，沿圆柱体轴向通有电流I，电流在圆柱体横截面上均匀分布。以r表示
(A)
场点到圆柱体轴线的距离，则圆柱体内磁感应强度大小为 （ ）
(A)
?0Ir
2πR2
； (B)
?0I?0I； (C) ； (D) 0。 2πr22πr??I2?r解：(A)根据安培环路定理?B?dl??0?I,作圆心在圆柱轴线上的圆形回路可得B?2?r??0
L?R23?．电量为q的点电荷以速率?作匀速率圆周运动，圆的半径为R，则圆心处的磁感应强度大小为 （ ）
8πR28π2R2????0qv?0qvsin90??er??解：(B)运动电荷的磁感应强度B?,圆周运动v?er,B?; 24?r4?R24．电量均为q的四个点电荷分别固定在边长为a的正方形的四个角上。正?方形以某角速度绕对角线为轴旋转时，在正方形中心产生的磁感应强度大小为B1；以同样角速度绕过中心垂直于正方形平面的轴旋转时，在中心产生的磁感应强度大小为B2，则 （ ） (A) B1?B2； (B) B1?2B2； (C) B1?4B2； (D) B2?2B1。
(A)
?0q?4π2R2； (B)
?0q?4πR2
； (C)
?0q?； (D)
?0q?。
aRa?R解：(D)正方形以某角速度绕对角线为轴旋转时，两个电荷作半径为R的圆周运动;以同样角速度绕过中心垂直于正方形平面的轴旋转时，四个电荷作半径为R的圆周运动
5．一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，这两个圆柱面的半径分别为R1和R2（R1?R2），通有等值反向电流，那么下列哪幅图正确反映了电流产生的磁感应强度随径向距离的变化关系？ （ ）
BBBB
oR1R2roR1oR1R2roR1R2rr （A） （B） （C） （D）
??解：(C),根据安培环路定理?B?dl??0?I,作三个圆心在圆柱面轴线上的圆形回路,可得
LB?0,(r?R1)B??0I/(2?r),(R1?r?R2)B?0,(r?R2)
??6．关于安培环路定理?B?dl??0?I，下列哪个是错误的 （ ）
L?B(C) 是穿过闭合路径L的电流产生的总磁感应强度；(D) B是磁场中所有电流产生的总磁感应强度。
???解：(C), ?B?dl??0?I表示磁场中所有电流产生的总磁感应强度B沿任意的闭合aL(A) L表示磁场中任意的闭合路径；(B)
L的电流的代数和； ?I是穿过闭合路径
?I路径L的线积分,等于真空中磁导率乘以穿过闭合路径L的电流的代数和 dbcP二、填空题
1．弯成直角的无限长直导线通有如图中所示方向的电流I，则cb延长线上到ab线距离为d的P点的磁感应强度B? 。解：bc中电流在其延长线上P点产生的磁感应强度为零, P点相对ab为无限长直导线的中垂线上一点, ab中电流在P点产生的磁感应强度为B=?0I/(4?d)
1
2．如图所示的导线框，其中两个共面半圆的半径分别为a和b，且有公共圆心o，当回路中通有电流I时，o处的磁感应强度B? ，方向 。
????0Idl?e?0I?0I?0IrB?B??解：由dB?可求得半圆圆心,,方向垂直纸面向里 半24R4a4b4?r3．边长为a的正方形导线框，通有电流I时导线框中心的磁感应强度B? 。
解：B?4?I?0I?I22?0I?? (sin?2?sin?1)?4?0[sin?sin(?)]?4?d4?a/244?a4．通有电流I的空芯长直螺线管，单位长度的线圈匝数为n，管内中段部分的磁感应强度B? ，螺线管管口中心点的磁感应强度B? 。解：在长直螺线管中段作矩形回路,由安培环路定理??B??dl??0?Ii得?0nI;设想由管口开始向另一侧延长螺线管,使原来的管口位置变成管的中部,?0nI/2
Loba5．无限长直圆柱面，沿圆柱面轴向通有电流I，电流均匀分布。以r表示场点到圆柱面轴线的距离，则圆柱面内磁感应强度B? ，圆柱面外的磁感应强度B? 。
?I??解：安培环路定理为?B?dl??0?Ii环路在柱面内Ii?0,B?0;环路在柱面外Ii?I,B?0
L??2?r6．两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为I1和I2，电流方向如图所示。则
??解:?0(I2?I1),?0(I2?I1).安培环路定理为?B?dl??0?Ii,积分路径的绕行方
L??L1????B?dl? ，??B?dl? 。
L2I1L2L1I2向与电流成右手螺旋时,电流为正,反之为负.
三、计算题
1．两根长直导线沿半径方向引到电阻均匀的圆形铁环上的A、B两点，并与很远的电源相连，如图所示，求环中心的磁感应强度。 I1解:两根长直导线在其延长线上的O点不产生磁场.设优弧长为l1,其中电流为I1, 设劣弧长为l2,其中电流为I2.优弧、劣弧两端电压相等:I1R1?I2R2 因电阻与长度成正比,因此 I1l1?I2l2 优弧中电流I1在O点产生的磁感应强度为 B1l1BR1oR2I2AI??dB1??l10l2?0I1?0I1l1dl?4?R24?R2,方向垂直纸面向里
劣弧中电流I2在O点产生的磁感应强度为 B2??l2dB2??0?0I2?0I2l2dl?,方向垂直纸面向外 4?R24?R2I1?0I1l1?0I2l2??0 O点总的磁感应强度为B?B1?B2?224?R4?R2．边长为l、电阻均匀的正三角形金属框在两个角上分别与长直导线1和2相连，两
根长直导线相互垂直，长直导线2正好处于底边bc的延长线上，电流I从长直导线1
I经a点流入三角形框，再由c点流出三角形框。求正三角形中心处O的磁感应强度。
22．解：ac中电流在O处产生的磁感应强度为:
aI1I2I2bc?0I1?I3?0I1(sin?2?sin?1)?01[sin60??sin(?60?)]?,方向垂直纸面向外 4?d4?d4?d3?0I2ab、bc中电流在O处产生的磁感应强度为:,Bab?Bbc?,方向垂直纸面向内
4?d因I1?2I2,abc中电流在O处产生的磁感应强度 Bac?Bab?Bbc?0
Bac?导线1中电流在在其延长线上的O点不产生磁场,因此只需考虑导线2中电流在O的磁感应强度
B??0I?I?I2?3(sin?2?sin?1)?0(sin90??sin60?)?0 4?d4?d4?d2 2
式中d为正三角形中心到长直导线2的距离，d?l3?tan30??l，所以 26?I3)?0(23?3)
4?3l24?l3．宽为a的无限长导体薄平板，通有电流I，电流在板的宽度方向均匀分布。计算导体板平面内离开板一侧距离为b的P点处的磁感应强度。
a3．解：建立x轴，在导体上坐标x处取宽度为dx的窄条，其电流强度为dI=Idx/a。
?0dI?0IdI在P点的磁感应强度:dB??dx 方向垂直于纸
2π(a?b?x)2π(a?b?x)aIb面向里.根据磁场叠加原理，P点的磁感应强度
a?0I?Ia?boPxxB??dB??dx?0ln,方向垂直于纸面向里。 02π(a?b?x)a2πab4?．无限大导体薄平板均匀地通有同方向电流，导体板上垂直于电流方向单位长度的电流强度为j，求导体板平面外任意一点P处的磁感应强度。 y?dBydB4．解：由P点向导体板作垂线，以垂足点o为原点建立直角坐标系，如
dy图所示，电流垂直于纸面（oxy平面）向外。在薄板上坐标y处取宽度
y?rj为dy的窄条，其电流强度dI?jdy.
o?0dI?0jxPdBxxdI在P点的磁感应强度大小dB??dy
2πr2πrxxd? 由几何关系可知，r?，y?xtan?，dy?cos?cos2?ππ?0jd??j?j?j0所以 dB?,Bx??dBx??2πtan?d??0; B=By=?dBy??2π0d??0
?2π?2π2?co?s2225．无限长导体薄平板，弯成半径为R的无限长半圆柱面。沿长度方向有电流I通过，且在横截面上均匀分布。求圆柱面轴线上任意一点P处的磁感应强度。
y5．解：以P点为坐标原点建立平面直角坐标系,xy平面垂直于轴线，电流垂直于xy平
面向内。将圆柱面分成许多宽度为dl?Rd?的无限长窄条，其电流强度dI?Id?/?。d?R?P由无限长直导线电流磁场公式，dI在点的磁感应强度 ? ?dB?dI?0Idl?0Id?xP?? dB?0 2222?R2?R2?R?0Id??0Id??0Id??0Id???dB?sin(90??)?cos? ,dBx?cos(90??)??2sin?y2222?R2?R2?R2?R???Id??Id??0IBy??dBy??02cos??0,B?Bx??dBx???02sin???2,
002?R2?R?R6．通有电流I的无限长直导线与长和宽分别为a和b的矩形线框处于同一平面内，长直导线与矩形线框一条边平行，且两者之间距离为c，如图所示。计算通过矩形线框的磁通量。
6．解：并行于电流方向在矩形线框上离开长直导线距离为r处取宽度为dr的窄条。根据无限长直导线电
?I流磁场公式，该处的磁感应强度B?0。
2πrIcr?0Iadr 通过该窄条的磁通量 d??BdS?drb2πrab?c?I?0Iab?c0adr?ln通过矩形线框的磁通量 ???d???
c2πr2πcB?(1?
3
?0I6练习 十 知识点：洛仑兹力、安培力、磁矩、磁力矩、磁介质、介质中的磁场 一、选择题
1．洛仑兹力可以 ( )
(A) 改变带电粒子的速率； (B) 改变带电粒子的动量； (C) 改变带电粒子的动能； (D) 对带电粒子作功。
?????解: (B)洛伦兹力F?qv?B垂直v、B所决定的平面,它对带电粒子不作功?速率、动能不变.
2．?粒子与质子以同一速率在同一均匀磁场中各自作匀速率圆周运动，则圆周运动的半径之比R?:Rp和周期之比T?:Tp分别为 ( ) (A) 1:1和2:1； (B) 1:1和1:1； (C) 2:1和2:1； (D) 2:1和1:1。 解: (C),qvB?mv2/R,R?mv/qB,T?2?R/v?2?m/qB
3．如图所示，正方形线圈用细线挂在载流长直导线附近，两者在同一平面内，长直导线固定，线圈可以活动。当长直导线和线圈通以电流时，线圈将 ( ) (A) 不动； (B) 一边转动，一边远离长直导线；
(C) 远离长直导线； (D) 靠近长直导线。 别向左、向右,向左的力大于向右的力.
4．如图所示，半径为R的半圆形导线ab置于磁感应强度为B的均强磁场中，直径ab垂直于磁场方向，半圆形导线平面与磁场方向平行。当导线通有电流I时，导线受到的安培力大小是 ( )
(A) 2BIR；(B) πBIR； (C) BIR； (D) 0。
II????解: (D),电流元受到的安培力dF?Idl?B,正方形线圈;上、下两边受力分别向上、向下;左、右两边受力分
ab?aI?bI????解: (A),电流元受到的安培力dF?Idl?B,F??IBRsin?d??2IBR
05．竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B，导线质量为m，导线在磁场中的长度为L，当水平导线内通有电流I时，细线的张力大小为 ( )
(A) BIL?mg； (B) BIL?mg； (C)
(BIL)2?(mg)2； (D) (BIL)2?(mg)2。
解: (C)导线受到的安培力BIL和重力mg互相垂直.安培力和重力合力的大小等于绳中张力
6．匀强磁场中有两个平面线圈，其面积S1?2S2，通有电流I1?2I2，它们所受的最大磁力矩之比M1:M2等于 ( ) (A) 4:1； (B) 1:4； (C) 1:2； (D) 2:1。
解:(A), 线圈磁力矩公式M?pm?B,线圈磁矩的大小:pm?IS,线圈所受最大磁力矩:M?pmB?ISB 二、填空题 1．两个带电粒子，以相同的速度垂直于磁场方向飞入同一匀强磁场，它们的质量之比是1:4，电量之比是1:2，它们所受的磁场力之比是 ，运动轨迹半径之比是 。 2III2解:1:2, 1:2 F?qvB?mv/R,R?mv/qB
ab2．如图所示，平行放置在同一平面内的三条载流无限长直导线，要使中间导线所受的安培力等于零，则导线间距离之比a:b? 。
解:1:2.左、右两根无限长直导线在中间导线所在处产生的磁感应强度为B??到的安培力FAB?IBlAB?IlAB??????0I?0(2I)???,中间导线受2?a2?b????0I?0(2I)???,令其等于零. 2?a2?b???3．面积为S，通有电流I的平面闭合线圈置于磁感强度为B的匀强磁场中，此线圈受到的最大磁力矩M? ，此时通过线圈的磁通量?? 。当此线圈受到磁力矩最小时，通过线圈的磁通量
????? 。解:根据线圈磁力矩公式M?pm?B，线圈所受最大磁力矩:M?pmB?ISB,磁通量??0。磁力矩最小时,磁通量??Bs。
????4．磁矩为pm的载流线圈置于磁感应强度为B的匀强磁场中，pm与B的夹角为?。当线圈由??0?转
4
到??180?时，磁力矩作的功为 。解:A?I(?2??1)?I(?BS?BS)??2BS??2pmB 5?．图示为三类磁介质的B~H曲线，其中虚线是B??0H的关系。说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B~H曲线：
a代表 ；b代表 ；c代表 。解:铁磁质、顺磁质、抗磁质. 6?．单位长度上密绕有n匝线圈的长直螺线管，通以稳恒电流I。当管内充满相对磁导率为?r的均匀磁介质时，管内中部附近的磁场强度H? ，磁感应强度B? 。解:H?nI,B??r?0nI 三、计算题
4Babo?19cH1．速度为??10m/s的电子在磁感应强度B?0.1T的均强磁场中作匀速率圆周运动，求电子的轨道半径和旋转频率(每秒钟转的圈数)。(e?1.6?10C,me?9.11?10?31kg)
me?2me?21．解：电子受到洛仑兹力大小f?e?B，根据匀速率圆周运动规律有f?，所以?e?B
RRme?9.11?10?31?104?7R???5.69?10m
aeB1.6?10?19?0.1?dFII1?eB1.6?10?19?0.192c?????2.80?10Hz d?31o2πR2πme2π?9.11?10xl2l12．如图所示，无限长直导线ab与直导线cd在同一平面内，且相互垂直，分别
x通有电流I1和I2。直导线cd长为l2，c端离无限长直导线ab的距离为l1，求直bdx导线cd所受的安培力。
?I2．解：在导线cd上，坐标x处取线元dx，该处的磁感应强度 B?01 磁场方向垂直于纸面向里
2πx?II??x?012dx 方向垂直cd向上 电流元I2dx所受安培力的大小 dF?I2BddrB2πxr由于cd上所有电流元所受安培力的方向均相同，所以直导线cd所受的安培力
ol1?l2?II?IIl?l012F=?dF??dx?012ln12 方向垂直cd向上
l12πx2πl13?．磁感应强度为B的均强磁场中，有一个半径为R带电量为q的均匀带电薄圆盘。圆盘平面与磁场方向
平行，圆盘以角速度?绕过通过盘心且垂直于盘面的轴转动，求圆盘所受磁力矩的大小。
q2qrdrr~r?drdq??2?rdr?。在圆盘上取的同心细圆环，其电量为，22πRR??qr?qr32dq?dr。细圆环的磁矩大小为dpm?πrdI?2dr 细圆环转动时产生的电流为dI?2ππR2RB?qr3dr 细圆环受到磁力矩的大小为dM=Bdpm?2R?3BRB?qr12dr?B?qR圆盘所受磁力矩的大小M=?dM=? 20R4I4．半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，置于磁感应强度为B的均强磁场中，磁场方
3．解：电荷面密度??向与线圈平面平行，如图所示。以直径为转轴，求(1)线圈磁矩的大小和方向;(2)线圈所受力矩的大小和方向；(3)线圈从图示位置转过90?磁力矩作的功。
?12?4．解：(1)根据线圈磁矩公式pm?IS，线圈磁矩的大小:pm?IS?πRI,线圈磁矩的垂直于纸面向外。
2?12?(2)根据线圈磁力矩公式pm?B，线圈所受磁力矩的大小:M?pmBsin??πRIB,方向沿直径向上。
212(3)磁力矩的功A?I(?2??1)?I(BS?0)??RIB
2
5
线圈与长直导线间的互感为 M??mI?N?02πlln2?100?2?10?7?0.2ln2?2.77?10?6H
5?．半径为R的圆柱体长直导线通有电流I，电流均匀分布在导体横截面上，计算导线内部单位长度储存的磁场能量。(设导体的相对磁导率为?r)。
5．解：根据安培环路定理，导线内距轴线为r处的磁场强度为H?rI， 2πR2?0?rr2I212磁能密度为 wm??0?rH?
28π2R4导线内部单位长度储存的磁场能量为 Wm?wmdV??
8πR16π6．圆形板电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin(?t)，求：
0??R?0?rr2I2422πrdr??0?rI2
（1）细导线中的电流；（2）通过电容器的位移电流；（3）通过极板外接线中的电流； （4）极板间离轴线为r处的磁场强度。设r小于极板半径。
rUU0?sin?t RRdqdU?0S?C?U0?cos?t （2）通过电容器的位移电流为id?dtdtd?SU（3）通过极板外接线中的电流i?id?iR?0U0?cos?t?0sin?t
dR???0πr2U0H?dl?(i?i)H?2πr?U?cos?t?sin?t （4）根据安培环路定理? ?dR0?dR?rUH?0U0?cos?t?0sin?t
2d2πrR6．解：（1）细导线中的电流为iR? 11