计算方法
一、填空题
1.假定x≤1，用泰勒多项式e?1?x?截断误差不超过0.005，则n=_5___ 2.
解
方
程
3x?4x?3?0x－ 32xx???x??,计算e的值，若要求
2!n!x2n的牛顿迭代公式
xk?xk?1?(xk3?1?3xk2?1?4xk?1?3)/(3xk2?1?6xk?1?4)
3.一阶常微分方程初值问题
h??y??f(x,y),其改进的欧拉方法格式为?y()?y0??x0i?1yi?1?y?2[f(x,y)?f(x,yiiii?1)]
4.解三对角线方程组的计算方法称为追赶法或回代法
5. 数值求解初值问题的四阶龙格——库塔公式的局部截断误差为o(h) 6.在ALGOL中，简单算术表达式x?5y3的写法为x+y↑3 7.循环语句分为离散型循环,步长型循环,当型循环. 8.函数f(x)在[a,b]上的一次（线性）插值函数l(x)?x?bx?af(a)?f(b) a?bb?a9.在实际进行插值时插值时，将插值范围分为若干段，然后在每个分段上使用低阶插值————如线性插值和抛物插值，这就是所谓分段插值法
10、数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。 11、电子计算机的结构大体上可分为输入设备 、 存储器、运算器、控制器、 输出设备 五个主要部分。
2x12、算式在ALGOL中写为2?x。 2(sin(x)?cos(x?2))sinx?cosx13、ALGOL算法语言的基本符号分为 字母 、 数字 、 逻辑值、 定义符四大
1
类。
14、语句大体上分为无条件语句、条件语句、循环语句三类。 15、在过程体中形式参数分为赋值形参和换名形参。
16、若线性方程组具有主对角优势，则高斯一塞德尔格式对任意给定的初值均收敛。 17.已知函数表，
xi 0.2 0.3 0.4 0.04 0.09 0.16 f(xi) 则一次差商f[0.2,0.4]?0.6
18、算法是指 解题方案的准确而完整的描述 。
19、步长型循环语句的一般形式为for V: =E1 stepE2 until E3 do S。 20、过程说明的一般形式为procedure（过程导引）（过程体）。 21、求解f(x)=0的二分法的理论依据是连续函数的零值存在定理。 22、方程f(x)?0的解x*称作它的 根 （或称函数f(x)的 零点 ） 23、源程序由开始部分、说明部分、语句部分、结束部分组成。 24、ALGOL的基本符号有4大类即字母、数字、逻辑值和定义符。 25、用代数多项式作为工具研究插值问题，这就是所谓的 代数插值 。 26、四阶龙格一库塔格式的截断误差为O(h5)。 27、求解x=g(x)的牛顿迭代公式为xk?1?xk?xk?f(xk)。
1?f?(xk)28、离散型循环语句的一般形式为for V:=E1, E2, … En do S。
129、导数f'(a)有三种差商，其中[?f(a)?f(a?h)]称为 向前差商 ，
h11[?f(a?h)?f(a)]称为 向后差商 ，而[?f(a?h)?f(a?h)]则称为 中h2h心差商 。
30、欧拉格式yi?1?yi?hf(xi,yi)的截断误差为O(h2)。 31、算法是指 解题方案的准确而完整的描述 。
2
32、由辛卜性公式?f(x)dx?abb?aa?b[f(a)?4f()?f(b)]。 6233、ALGOL算法语言的基本符号分为 字母 、 数字 、 逻辑值、 定义符四大类。
34、电子计算机的结构大体上可分为输入设备 、 存储器、运算器、控制器、 输出设备 五个主要部分。
35、函数过程说明的一般形式为（类型）procedure（过程导引）（过程体）。 36、具有n+1个结点的拉格朗日插值多项式为??(k?0j?knx?xjxk?xj)yk。
37、求解f(x)=0的牛顿法，误差具有平方收敛性。
38、方程f(x)?0的解x*称作它的 根 （或称函数f(x)的 零点 ）。 39、用代数多项式作为工具研究插值问题，这就是所谓的 代数插值 。
140、导数f'(a)有三种差商，其中[?f(a)?f(a?h)]称为 向前差商 ，
h11[?f(a?h)?f(a)]称为 向后差商 ，而[?f(a?h)?f(a?h)]则称为 中h2h心差商 。
41、ALGOL中的变量主要有整数型、实数型两种类型。
二、简答题
42、利用电子计算机解题的一般步骤是什么。
答：1、构造数学模型；2、选择计算方法；3、计算过程的程序设计；4、将计算程序和原始数据输入，上机计算，最后计算机输出计算结果。
43、 什么是算法语言？
答：算法语言是算法的一种描述工具，在电子计算机产生初期，人们用电子计算机解题，需将解题步骤用机器语言编成程序。算法语言是介于机器语言和数学语
3
言之间的一种通用语言。
44、 什么叫做标识符?
答：以字母开头的由字母和数字组成的符号序列叫做标识符。
45、 叙述秦九韶方法的概念及特点。
答：多项式计算的这种有效算法称作秦九韶方法，他是我国宋代的一位数学家秦九韶最先提出的。
秦九韶方法的特点在于，它通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，也就是说，将一个n次多项式p(x)?anxn?an?1xn?1?a1x?a0的求值问题，
归结为重复计算n个一次式vk?vk?1x?an?k,k?1,2,...,n来实现。
46、什么是算法语言？
答：算法语言是算法的一种描述工具，在电子计算机产生初期，人们用电子计算机解题，需将解题步骤用机器语言编成程序。算法语言是介于机器语言和数学语言之间的一种通用语言。
47、利用电子计算机解题的一般步骤是什么。
答：1、构造数学模型；2、选择计算方法；3、计算过程的程序设计；4、将计算程序和原始数据输入，上机计算，最后计算机输出计算结果。
48、 什么叫做标识符?
答：以字母开头的由字母和数字组成的符号序列叫做标识符。
49、叙述截断误差与舍人误差。
答、许多数学运算是通过极限过程来定义的，然而计算机只能完成有限次的算术
4
运算及逻辑运算，因此需将解题方案加工成算术运算与逻辑运算的有限序列。这种加工常常表现为某种无穷过程的“截断”，由此产生的误差通常称作截断误差。 计算当中遇到的数据可能位数很多，甚至会是无穷小数，然而受机器字长的限制，用机器代码表示的数据必须舍入成一定的位数，这又会引进舍入误差。
三、解答题。
50、编写计算x?4时，y?x4?1的值的程序。 答：用算法语言来写就是下列形式：
Begin Integer x; Real y; X:=4; Y:=x↑4-1; Write1(y) End
?335??51、用LPLT
分解法解方程组??359??x1??10???x?????5917???2???16??x3????30???335??0??解：??359????10?l0??d100???211??0d0??1l21?5917????l31l321???2??01?00d3????00
解得d1?3,d2?2,d3?23,ll521?1,31?3,l32?2
5
l31?l?32? 1??
得x3?2,x2??1,x1?1
52、已知a,b,c,x的值，计算y?ax2?bx?c的值，写出源程序（ALGOL程序）。 解：begin
real a,b,c,x,y; read4(a,b,c,x); y:?(a?x?b)?x?c; write1(y) end
53、 用迭代法求方程x3?x?1?0在x?1.5附近的一个根。 解：设将方程改写为下列形式x?3x?1
用所给的初始近似x0?1.5代人上式的右端，得到x1?3x0?1?1.35721 计算结果说明，x0并不满足方程x?3x?1。如果改用x1作为近似值代人
x?3x?1的右端，又得x2?3x1?1?1.33086
由于x2与x1仍有偏差，我们再取作为近似值，并重复这个步骤。如此继续下去，这种逐步校正的过程称作迭代过程，这里迭代公式xk?1?3xk?1,k?0,1,2,
6
。
54、已知100?10,121?11，用线性插值求x?115的平方根y。 解：适合所给函数表
x y 的一次插值多项式是
y?10?11?10(x?100)
121?100 100 10 121 11 用x?115代入求得115的近似值为 y?10.71429。
55、利用100?10，121?11，144?12，求x的二次插值，并求115。 解：由拉格朗日插值公式
P2(x)?(x?121)(x?144)(x?100)(x?144)(x?100)(x?121)?10??11??12(100?121)(100?144)(121?100)(121?144)(144?100)(144?121)P2(115)?10.7228
56、将下列程序用普通语言表示，并指出它们是描述什么样的计算公式。
Begin Integer x; Real y; X:=4; Y:=x↑4-1; Write1(y)
7
End 解：开始 整型数x; 实型数y； 将4赋给变量x；
计算x4?1的值并把结果送到y中； 打印计算结果y
结束
它们描述的计算公式是：计算当x?4时，y?x4?1的值的程序。
57、已知a,b,c,x的值，计算y?ax2?bx?c的值，写出源程序（ALGOL程序）。 解：begin
real a,b,c,x,y; read4(a,b,c,x); y:?(a?x?b)?x?c; write1(y) end
58、编写计算?n2的源程序。
i?1100解： begin
8
Integer S, n, m; S:=0; n:=1;
L: if n≤100 then begin
m:=n↑2; n:=n+1; S:=S+m; goto L end; write 1 (S) end
59、 用迭代法求方程x3?x?1?0在x?1.5附近的一个根。 解：设将方程改写为下列形式x?3x?1
用所给的初始近似x0?1.5代人上式的右端，得到x1?3x0?1?1.35721 计算结果说明，x0并不满足方程x?3x?1。如果改用x1作为近似值代人
x?3x?1的右端，又得x2?3x1?1?1.33086
由于x2与x1仍有偏差，我们再取作为近似值，并重复这个步骤。如此继续下去，这种逐步校正的过程称作迭代过程，这里迭代公式xk?1?3xk?1,k?0,1,2,
60、 利用100，121和144的平方根和抛物插值公式方法来求x?115的平方根
。
9
y。
解：用抛物插值公式，p2(x)?(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)y0?y1?y2
(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)这里x0?100,y0?10;x1?121,y1?11;x2?144,y2?12;又x?115，代入求得
(115?121)(115?144)(115?100)(115?144)y??10??11(100?121)(100?144)(121?100)(121?144)
(115?100)(115?121)??12?10.7228(144?100(144?121)再同所求平方根的实际值10.7238比较，这里得到了具有4位有效数字的结果。
61、编写计算分段函数
x?0?sinx?f(x)??x0?x?1的源程序
?cosxx?1?解： begin
real x, y; read1 (x);
if x<0 then y:=sin(x) alse if n≥1 then y:=cos(x) alse y:=x; write 1 (y) end
10
62、编导计算S?v0t?解： begin
12gt的源程序。 2 real s, Vo, t; read2 (Vo, t);
S: =Vo×t+0.5×9.8×t↑2； Write 1 (S) end
63、编写程序求y?x3?2x2?2在[-1，1]上的最大值，步长为0.1。 解： begin
real max, x, y; max : =2;
for x:=-1 step 0.1 until 1 do begin
y: = x↑3－2×x↑2+2; if y > max then max: =y end;
Write 1 (max) end
64、用当循环语句求?解： begin ingeger n;
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1，要求误差小于10-5。 3n?1n? real S, S1;
S: =0; S1:=-1; n:=0;
for n:=n+1 while (S－S1)≥10↑(－5) do begin
S1=S; S:=S+x↑(-3) end;
Write 1 (S) end
65、利用牛顿法求115的近似值。
解：设f(x)=x2-115，则f(x)=0的正根就是115 ∵f(10)=-15<0, F(11)=6>0 ∴(10,11)内有根
?)?2?0 ∴取x0=11 又∵f(?x)?2x?0,f(?x2xk?115 由xk?1?xk?得
2xk x1=10.727272, x2=10.72380586, x3=10.72380530 ∴x≈10.723805
66、利用n=5的复化辛卜生公式计算?
111111111?2?(???)?4?(?解：S??[
651?01?0.21?0.41?0.61?0.81?0.11?0.31111???)?]?0.69315. 1?0.51?0.71?0.91?11dx。 01?x1
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?a11?67、A??a21?a?31a12a22a32a13??a23?,写出求AT的源程序 a33??解： begin
Integer i, j; real T; array A[1:3, 1:3]; read 1 (A); for i:=1 step 1 until 3 do for j:=1 step until 3 do begin
T:=A[i,j]; A[i,j]:=A[j:i]; A[j:i] =T end; write 1 (A) end
68、设一元二次方程为ax?bx?c?0,以知三个系数a,b,c(a≠0),试写出求根的源程序。 解
begin x1:?(－b?sqrt(d))/(2?a); real a,b,c,d,x1,x2,re,im; x2:?(－b－sqrt(d))/(2?a); read3 (a,b,c); write3(d,x1,x2) d:=b↑2－4×a× end;
if d＜0 then write3 (a,b,c) begin end
13
2 re:= －b(2?a);
im:?sqrt(－d)/(2?a);
write3 (d,re,im) end else begin
69.给出100个数a1,a2,?a100,试写出平方和S??ai的源程序。（10分）
i?11002解: begin
array A[100]; integer k; real s; read1 (A); s:=0;
for k:=1 step 1 until 100 do s:=A[K]↑2+s; write1 (s) end
70.设f(x)?x3?3x2?4x?3，请用秦九韶算法计算f(2)。
解: 按秦九韶算法列表计算如下:
1 -3 4 -3
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x?2 2 -2 4 1 -1 2 1=f(2)(7分)
所以f(2)=1.
71.用二分法计算方程f(x)?x3?3x2?4x?3?0的近似根，并进行到第3步为止。
解: 由于f(0)=-3<0, f(2)=1>0,f(x)?x3?3x2?4x?3在[0,2]上连续, 故由闭区间上连续函数的零点存在定理, [0,2]为方程的隔离区间;
取[0,2]的中点c=1, 此时有f(c)=-1<0, 而f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小为[1,2];
再取[1,2]的中点c=1.5, 此时有f(c)= -0.375<0, 而f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小为[1.5,2];
再取[1.5,2]的中点c=1.525, 此时有f(c)= -0.330 <0, 而f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小为[1.525,2];
所以计算进行到第3步为止时,方程的近似根为x=c=1.525.
72．取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数y?e在区间[0,1]上的建立二次插值多项式
?xp2(x)
解:题中给出的插值条件为:
p(0)?1,p(0.5)?e02－0.5,p(1)?e故满足次值条
－12件的二次Lagrange插值多项式为:
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p(x)?p(0)(0－0.5)(0－1)?p(0.5)(0.5?0)(0.5?1)?p(1)(1?0)(1?0.5)2222(x－0.5)(x－1)(x?0)(x?1)(x?0)(x?0.5)
=2(x-0.5)(x-1)-4e
?0.5x(x?1)?2ex(x?0.5)
?1?y??8?3y73、用4阶龙格一库塔法求解?，取步长h=0.2，计算y(0.4)。
?y(0)?21解：yn?1?yn?(k1?2k2?2k3?k4)
6?k1?1.6?0.6yn?k?1.12?0.42y?2n ??k3?1.264?0.474yn??k4?0.8416?0.3156yn
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p(x)?p(0)(0－0.5)(0－1)?p(0.5)(0.5?0)(0.5?1)?p(1)(1?0)(1?0.5)2222(x－0.5)(x－1)(x?0)(x?1)(x?0)(x?0.5)
=2(x-0.5)(x-1)-4e
?0.5x(x?1)?2ex(x?0.5)
?1?y??8?3y73、用4阶龙格一库塔法求解?，取步长h=0.2，计算y(0.4)。
?y(0)?21解：yn?1?yn?(k1?2k2?2k3?k4)
6?k1?1.6?0.6yn?k?1.12?0.42y?2n ??k3?1.264?0.474yn??k4?0.8416?0.3156yn
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