习题2-2
1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0 ?1,A发生, X??0,A不发生.?写出随机变量X的分布律. 解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p. 或者 X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为 1357,,,. 试确定常数c, 并计算条件概率P{X?1|X?0}. 2c4c8c16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1357????1, 2c4c8c16c所以c?37. 161P{X??1}82c所求概率为 P{X<1| X ?0}=. ??157P{X?0}25??2c8c16c3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p 5的二项分布, 若P{X≥1}?, 求P{Y≥1}. 95kkn?k解 注意p{x=k}=Cnpq,由题设?P{X≥1}?1?P{X?0}?1?q2, 92故q?1?p?. 从而 3219. P{Y≥1}?1?P{Y?0}?1?()3?3274. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功 19一次的概率为, 求每次试验成功的概率. 27解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是那么一次都没有成功的概率是 19，278813. 即(1?p)?, 故 p=. 272735. 若X服从参数为?的泊松分布, 且P{X?1}?P{X?3}, 求参数?. 解 由泊松分布的分布律可知??6. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的 3可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有C5?10种取法. C221{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}=3=; C510C323{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=3?; C5102C43{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=3?. C55X的分布律是 X P 1. 设X的分布律为 X P -1 0 1 0.15 0.20 0.65 3 4 5 133 10105习题2-3 求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}. ?0,?0.15,?解 (1) F(x)=??0.35,??1,x??1,?1≤x?0, 0≤x?1,x≥1. (2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15; (3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1; (4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为 F(x) = A+Barctanx -∞ 试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知 ??A?B(?)?0?11?2?A?,B?. ?2??A?B(?)?1??211于是 F(x)??arctanx,???x???. 2?1}?F(1)?F(?1) (2) P{?1?X≤1111 ?(?arctan1)?(?arctan(?1)) 2?2?11?11?1 ?????(?)?. 2?42?423. 设随机变量X的分布函数为 ?0, x?0,??xF(x)=?, 0≤x?1, ?2??1, x≥1,求P{X≤-1}, P{0.3 解 P{X≤?1}?F(?1)?0, P{0.3 P{0 ; 在 84事件{?1?X?1}出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X的分布函数F(x)?P{X≤x}; (2) 求X取负值的概率p. 解 (1) 由条件可知, 当x??1时, F(x)?0; 1当x??1时, F(?1)?; 8当x?1时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1. 5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; P{X??1}?1,P{X?1}?1所以 P{?1?X?1}?F(1)?F(?1)?P{X?1}?1?5?. 848易见, 在X的值属于(?1,1)的条件下, 事件{?1?X?x}的条件概率为 P{?1?X≤x|?1?X?1}?k[x?(?1)], ?11取x=1得到 1=k(1+1), 所以k= 1. 2x?1. 2因此 P{?1?X≤x|?1?X?1}?于是, 对于?1?x?1, 有 P{?1?X≤x}?P{?1?X≤x,?1?X?1} ?P{?1?X?1}P{?1?X≤x|?1?X?1} 82对于x≥1, 有F(x)?1. 从而 ?5?x?1?5x?516. ?0,??5x?7F(x)??,16???1,(2) X取负值的概率 x??1,?1?x?1, x≥1.716p?P{X?0}?F(0)?P{X?0}?F(0)?[F(0)?F(0?)]?F(0?)?习题2-4 1. 选择题 . ?2x, x?[0,c],(1) 设f(x)?? 如果c=( ), 则f(x)是某一随机变量 ?0, x?[0,c].的概率密度函数. (A) 113. (B) . (C) 1. (D) . 322解 由概率密度函数的性质 ?????f(x)dx?1可得?2xdx?1, 于是c?1, 0c故本题应选(C ). (2) 设X~N(0,1),又常数c满足P{X≥c}?P{X?c}, 则c等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) 1. (D) -1. 2解 因为P{X≥c}?P{X?c}, 所以1?P{X?c}?P{X?c},即 2P{X?c}?1, 从而P{X?c}?0.5,即?(c)?0.5, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). ?1?cosx,x?[0,?],?,x?2,(A) f(x)?? (B) f(x)??2 0,其它.???0,其它.(x??)?1???e?x,x≥0,e2?,x≥0,(C) f(x)??2?? (D) f(x)?? x?0.?0,?x?0.?0,22解 由概率密度函数的性质 ?????f(x)dx?1可知本题应选(D). (4) 设随机变量X~N(?,42), Y~N(?,52), P?P{X≤??4}, 1P2?P?Y≥??5}, 则( ). (A) 对任意的实数?,P?P2. (B) 对任意的实数?,P?P2. 11?P2. (D) 对任意的实数?,P(C) 只对实数?的个别值, 有P?P2. 11解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数?, 有 P??(?1)?1??(1)?P2. 1因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为f?x?, 且f(x)?f(?x), 又F(x)为分布函数, 则对任意实数a, 有( ). f(x)dx. 02(C) F(?a)?F(a). (D) F??a??2F(a)?1. (A) F(?a)?1?f(x)dx. (B) F(?a)?∫0a1?∫a解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). 2(6) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12),Y服从正态分布N(?2,?2), 且P{X??1?1}?P{Y??2?1}, 则下式中成立的是( ). (A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A). (7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数?(0???1), 数 u?满足P{X?u?}??, 若P{X?x}??, 则x等于( ). (A) u? . (B) u? . (C) u1-?. (D) u1??. 21?22解 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X服从参数为?的指数分布, 要使 1P{k?X?2k}?成立, 应当怎样选择数k? 4解 因为随机变量X服从参数为?的指数分布, 其分布函数为 ?1?e??x,x?0, F(x)??0, x≤0.?由题意可知 1?P{k?X?2k}?F(2k)?F(k)?(1?e?2k?)?(1?e??k)?e??k?e?2?k. 4ln2于是 k?. ?3. 设随机变量X有概率密度 ?4x3,0?x?1, f(x)??其它,?0,要使P{X≥a}?P{X?a}(其中a>0)成立, 应当怎样选择数a? 解 由条件变形,得到1?P{X?a}?P{X?a},可知P{X?a}?0.5, 于是 ?a04x3dx?0.5, 因此a?1. 42?4. 设连续型随机变量X的分布函数为 x?0,?0,F(x)??x2,0≤x≤1, x?1,?1,?求: (1) X的概率密度; (2)P{0.3?X?0.7}. 解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系F?(x)?f(x), 可得 f(x)???2x,0?x?1, 其它.?0,22(2) P{0.3?X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?0.7?0.3?0.4. 5. 设随机变量X的概率密度为 0≤x≤1,?2x, f(x)＝ ? 0, 其它,?求P{X≤ 11 }与P{＜X≤2}. 42解 P{X≤}?211?2012xdx?x22?; 401115P{?X≤2}??12xdx?x21?. 416446. 设连续型随机变量X具有概率密度函数 110?x≤1,?x,?f(x)??A?x,1?x≤2, ?0,其它.?求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x). 解 (1) 由概率密度的性质可得 1??xdx??(A?x)dx?0112121x2?[Ax?0122x]12?A?1, 于是 A?2； (2) 由公式F(x)??x??f(x)dx可得 12x1当x≤0时, F(x)?0; 当0?x≤1时, F(x)??xdx?0xx2; 当1?x≤2时, F(x)?当x>2时, F(x)?1. ?10xdx??(2?x)dx?2x?x22?1; ?0,?1?x2,?2所以 F(x)??2x?2x??1,?2?1,?x≤0,0?x≤1, 1?x≤2,x?2.7. 设随机变量X的概率密度为 ?1?(x?1),0?x?2, f(x)??4?0,其它,?对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 根据概率密度与分布函数的关系式 P{a?X≤b}?F(b)?F(a)??f(x)dx, ab可得 . 48所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为 535175C32()2()?C33()3?. 88825628. 设X~U(0,5), 求关于x的方程4x?4Xx?2?0有实根的概率. 1P{X?1}??21(x?1)dx?5解 随机变量X的概率密度为 ?1?,0≤x?5,f(x)??5 ?其它,?0,若方程有实根, 则 16X?32≥0, 于是X≥2. 故方程有实根的概率为 P{X≥2}=1?P{X2?2} 222?1?P{?2?X?2} 21?1??dx 05529. 设随机变量X~N(3,2). 10}, P{|X|?2}, P{X?3}； (1) 计算P{2?X≤5}, P{?4?X≤(2) 确定c使得P{X?c}?P{X≤c}; ≥0.9, 问d至多为多少？ (3) 设d满足P{X?d}a?3X?3b?3b?3a?3?≤}?Φ()?Φ()公解 (1) 由P{a P{2 2?3?2?3)+Φ()=0.6977, =1?Φ(22?1?2. 2(2) 若P{X?c}?P{X≤c},得1?P{X≤c}?P{x≤c},所以 P{X≤c}?0.5 由Φ(0)=0推得 P{X?3}=1P{X≤3}?1?Φ(3?3)?1?Φ(0)=0.5 . c?3?0,于是c=3. 2d?32)≥0.9, 也就是 (3) P{X?d}≥0.9 即1?Φ(Φ(?d?32)≥0.9?Φ(1.282), ?(d?3)≥1.282, 2解得 d≤3?2?(?1.282)?0.436. 因分布函数是一个不减函数, 故 10. 设随机变量X~N(2,?2), 若P{0?X?4}?0.3, 求P{X?0}. ?解 因为X~N2??,所以Z???X???X?2~N(0,1). 由条件P{0?X?4}?0.34?222}??()??(?), 可知 0.3?P{0?X?4}?P{0?2???????22于是2?()?1?0.3, 从而?()?0.65. ?所以 P{X?0}?P{?X?2??0?222}??(?)?1??()?0.35. ???习题2-5 1. 选择题 (1) 设X的分布函数为F(x), 则Y?3X?1的分布函数G?y?为( ). (A) F(y?). (B) F(3y?1). 13131F(y)?. 33解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设X~N?0?1?,令Y??X?2, 则Y~( ). (A)N(?2,?1). (B)N(0,1). (C)N(?2,1). (D)N(2,1). 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). (C) 3F(y)?1. (D) 12. 设X~N(1,2),Z?2X?3, 求Z所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量X~N(?,?2), 则X的线性函数Y?aX?b也服从正态分布, 即Y?aX?b~N(a??b,(a?)2). 这里??1,??2, 所以Z~N(5,8). 概率密度为 4?3. 已知随机变量X的分布律为 X P -1 0.37 0 0.05 f(z)?1e?(x?5)162,???x???. 1 0.2 3 0.13 7 0.25 (1) 求Y＝2－X的分布律； (2) 求Y＝3＋X2分布律. 解 (1) 2－X P (2) 3＋X2 P 3 0.05 4 0.57 12 0.13 52 0.25 -5 0.25 -1 0.13 1 0.2 2 0.05 3 0.37 4. 已知随机变量X的概率密度为 ?1， 1?x?4，? fX(x)＝?2xln2?其它，?0， 且Y＝2－X, 试求Y的概率密度. 解 先求Y的分布函数FY(y): FY(y)=P{Y≤y}?P{2?X≤y}?P{X≥2?y} ?1?P{X?2?y}=1-于是可得Y的概率密度为 ?2?y??fX(x)dx. 1?,1?2?y?4,?? fY(y)??fX(2?y)(2?y)=?2(2?y)ln2 ?0,其它.?1?,?2?y?1,?即 fY(y)??2(2?y)ln2 ?0,其它. ? 5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量Y?X的概率密度. 解 由题意可知随机变量X的概率密度为 2?1?,?2?x?2,fX(x)??4 ??0,其它.因为对于0 FY(y)?P{Y≤y}?P{X2≤y}?P{?y≤X≤y}?FX(y)?FX(?y). 于是随机变量Y?X的概率密度函数为 2fY(y)?fX(y)12y?fX(?y)12y?14y,0?y?4. ?1,0?y?4,?即 f(y)??4y ?0,其它.?总习题二 1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别 计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率. 解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知X~B(5,0.2). 3(1) 恰好有3件次品的概率是P{X=3}=C50.230.82. 3(2) 至多有3件次品的概率是 ?Ck?0k50.2k0.85?k. 2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ 解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1), kP{X=k}=C50.1k0.95?k,k=0,1,…,5. 2(1) 所求的概率是P{X=2}=C50.120.93?0.0729; (2) 所求的概率是P{X≥1}=1?(1?0.1)?0.40951; 5(3) 所求的概率是 P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954; (4) 所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856. 3. 设随机变量X的概率密度为 ?k??x?e,f(x)????0，?且已知P{X?1}?x≥0,x?0, 12, 求常数k, θ. 解 由概率密度的性质可知由已知条件 ???0k?edx?1得到k=1. ??xln2224. 某产品的某一质量指标X~N(160,?), 若要求P{120≤X≤200}≥0.8, 问允许?最大是多少? 1???1?e?dx??x1, 得??1. }?P{解 由P{120≤X≤200 =?(得到?(120?160??≤X?160?≤?200?160?} 40)?(1??(40?))?2?(40)?1≥0.8, 40?)≥0.9, 查表得 40?≥1.29, 由此可得允许?最大值为31.20. 5. 设随机变量X的概率密度为 φ(x) = Ae-|x|, -∞ 试求: (1) 常数A; (2) P{0 解 (1) 由于得到A= ??????(x)dx??Aedx?1,即2A?e?xdx?1故2A = 1, ??0???|x|??12. 所以 φ(x) = (2) P{0 ?110edx?(?e)?022?x111?e?12?0.316. 1?|x|???2edx, 得到 1xx1xedx?e, ???2210x1x?x1?x当x≥0时, F(x)??edx??edx?1?e, 2??202当x<0时, F(x)?所以X的分布函数为 ?F(x)??1??2ex,???1?12e?x,x?0, x≥0.