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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．i为虚数单位，i607的共轭复数为 ．．．．A．i
B．?i
C．1
D．?1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石
D．1365石
3．已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A．212
B．211
C．210
D．29
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24．设X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．P(Y??2)?P(Y??1) B．P(X??2)?P(X??1)
C．对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t) D．对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t)
5．设a1,a2,,an?R，n?3. 若p：a1,a2,222?an?1)(a2?a3?,an成等比数列；
2q：(a12?a2?2?an)?(a1a2?a2a3??an?1an)2，则
第4题图
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
?1,x?0,?6．已知符号函数sgnx??0,x?0, f(x)是R上的增函数，g(x)?f(x)?f(ax)(a?1)，则
??1,x?0.? A．sgn[g(x)]?sgnx C．sgn[g(x)]?sgn[f(x)]
B．sgn[g(x)]??sgnx D．sgn[g(x)]??sgn[f(x)]
7．在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x?y?p3为事件“xy?11”的概率，p2为事件“|x?y|?”的概率，
221”的概率，则 2B．p2?p3?p1 D．p3?p2?p1
A．p1?p2?p3 C．p3?p1?p2
8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)个单位 长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A．对任意的a,b，e1?e2 C．对任意的a,b，e1?e2
B．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 D．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2
9．已知集合A?{(x,y)x2?y2?1,x,y?Z}，B?{(x,y)|x|?2,|y|?2,x,y?Z}，定义集合 x,1y?2y)(1x,1y?) A?B?{(1x?2A?B中元素的个数为 A,(2x,2y?)B}，则
A．77 B．49 C．45 D．30
10．设x?R，[x]表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，使得[t]?1，[t2]?2，?，[tn]?n
同时成立，则正整数n的最大值是 ．．．．
A．3 B．4 C．5 D．6
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二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题．．．．．．
号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ．
（一）必考题（11—14题）
11．已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB? ．
xπ12．函数f(x)?4cos2cos(?x)?2sinx?|ln(x?1)|的零点个数为 ．
2213．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方
向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD? m.
y DB C N M CB第13题图
A O T x A第14题图
14．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方）， 且AB?2．
（Ⅰ）圆C的标准方程为 ； ．．
（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2?y2?1相交于M,N两点，下列三个结论：
①NANB?MAMB； ②
NBNA?MAMB?2； ③
NBNA?MAMB?22．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后
的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线， P且BC?3PB，则
BCAB? . ACA16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
第15题图
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为
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1?x?t?,??t?(sin??3cos?)?0，曲线C的参数方程为? ( t为参数) ，l与C相交于A,B两点，则
1?y?t??t?|AB|? .
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）
π某同学用“五点法”画函数f(x)?Asin(?x??)(??0,|?|?)在某一个周期内的图象
2时，列表并填入了部分数据，如下表：
?x?? 0 0 π 2π 35 π 3π 25π 6?5 2π x Asin(?x??) 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解 ．．．．．．．．．．． 析式；
（Ⅱ）将y?f(x)图象上所有点向左平行移动?(??0)个单位长度，得到y?g(x)的图
象. 若y?g(x)图象的一个对称中心为(5π,0)，求?的最小值. 12第4页（共13页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
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18．（本小题满分12分）
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1?a1，b2?2，q?d，S10?100．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d?1时，记cn?19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD， 且PD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于 点F，连接DE,DF,BD,BE.
（Ⅰ）证明：PB?平面DEF．试判断四面体DBEF是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 求
DCFEPan，求数列{cn}的前n项和Tn． bnπ， 3AB第19题图
DC的值． BC20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分）
一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN?ON?1，MN?3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动）
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原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x?2y?0和l2:x?2y?0分别交于P,Q两点．若直线l
总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分）
第21题图1
第21题图2
y NADOBN D M O x M1已知数列{an}的各项均为正数，bn?n(1?)nan(n?N?)，e为自然对数的底数．
n1（Ⅰ）求函数f(x)?1?x?ex的单调区间，并比较(1?)n与e的大小；
n（Ⅱ）计算
b1bbbbbbb，12，123，由此推测计算12a1a1a2a1a2a3a1a21nbn的公式，并给出证明； an（Ⅲ）令cn?(a1a2
an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn, 证明：Tn?eSn.
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数学（理工类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）
11．9
12．2 13．1006
14．（Ⅰ）(x?1)2?(y?2)2?2；（Ⅱ）①②③ 15．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）
1 216．25
π（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A?5,??2,???. 数据补全如下表：
6?x?? 0 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6?5 2π x Asin(?x??) π 120 13π 120 π且函数表达式为f(x)?5sin(2x?).
6ππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)?5sin(2x?)，得g(x)?5sin(2x?2??).
66 因为y?sinx的对称中心为(kπ,0)，k?Z. 令2x?2??πkππ?kπ，解得x????，k?Z . 62125πkππ5π， ,0)成中心对称，令????1221212 由于函数y?g(x)的图象关于点( 解得??18．（12分）
kπππ?，k?Z. 由??0可知，当k?1时，?取得最小值. 236?10a?45d?100,?2a?9d?20,（Ⅰ）由题意有，?1 即?1
ad?2,ad?2,?1?11?a?(2n?79),?a1?9,n??a1?1,??an?2n?1,??9解得? 或?或? 2 故?n?12d?2,d?.???b?9?()n?1.?bn?2.?9?n?9?第7页（共13页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
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2n?1，于是 n?12（Ⅱ）由d?1，知an?2n?1，bn?2n?1，故cn?Tn?1?3579?2?3?4?2222?2n?1， ① n?12?2n?1. ② n2113579Tn??2?3?4?5?222222①-②可得
111Tn?2??2?222故Tn?6?19．（12分） （解法1）
?12n?2?2n?12n?3， ?3?2n2n2n?3. 2n?1（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC， 由底面ABCD为长方形，有BC?CD，而PDCD?D，
所以BC?平面PCD. 而DE?平面PCD，所以BC?DE. 又因为PD?CD，点E是PC的中点，所以DE?PC. 而PCBC?C，所以DE?平面PBC. 而PB?平面PBC，所以PB?DE.
EF?E，所以PB?平面DEF.
又PB?EF，DE由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
?EFB，?DFB. 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，（Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD
的交线. 由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以PB?DG. 又因为PD?底面ABCD，所以PD?DG. 而PDPB?P，所以DG?平面PBD.
故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??2， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tan所以
π, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PDDC12??. BC?2DC2π?时，. BC23故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设
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1111,)，DE?(0,,)， 2222PD?DC?1，BC??，则D(0,0,0),P(0,0,1),B?(,1,0),C(0,1,0)，PB?(?,1,?1)，点E是PC的中
点，所以E(0,于是PB?DE?0，即PB?DE. 又已知EF?PB，而DEEF?E，所以PB?平面DEF.
因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所以DE?平面PBC.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
?EFB，?DFB. 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，z PP
FEGFEDCDCyA第19题解答图1
BxA第19题解答图2
B（Ⅱ）由PD?平面ABCD，所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量. 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
πBP?DP??3|BP|?|DP|11， 2π， 3则cos?2?2?解得??2. 所以
DC12??. BC?2DC2π?时，. BC23故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 20．（12分）
（Ⅰ）设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y，相应的获利为z，则有
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?2x?1.5y?W,?x?1.5y?12,? （1） ?2x?y?0,???x?0, y?0.x?目标函数为 z?1000120y0 ．
yy1210
y8B(2.4,4.8)8B(3,6)8B(3,6)C(6,4)OA(0,0)C(6,0)12xOA(0,0)C(7.5,0)12xOA(0,0)D(9,0)12x第20题解答图1 第20题解答图2
第20题解答图3
当W?12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0)．
5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，
612005z当x?2.4, y?4.8时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，
61200最大获利Z?zmax?2.4?1000?4.8?1200?8160．
当W?15时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0)．
5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，
612005z当x?3, y?6时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，
61200最大获利Z?zmax?3?1000?6?1200?10200． 当W?18时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0).
5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，
612005z当x?6,y?4时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，
61200最大获利Z?zmax?6?1000?4?1200?10800．
故最大获利Z的分布列为
Z P 8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2 因此，E(Z)?8160?0.3?10200?0.5?10800?0.2?9708. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p1?P(Z?10000)?0.5?0.2?0.7，
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由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
33 p?1?(1?p1)?1?0.3?0.973.21．（14分）
（Ⅰ）设点D(t,0)(|t|?2)，N(x0,y0),M(x,y)，依题意，
MD?2DN，且|DN|?|ON|?1，
DMyPNOQx第21题解答图
22??(x0?t)?y0?1,所以(t?x,?y)?2(x0?t,y0)，且?2 2??x0?y0?1.?t?x?2x0?2t,即?且t(t?2x0)?0.
y??2y.0?由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
x2y2xy22于是t?2x0，故x0?,y0??，代入x0?y0?1，可得??1，
42164x2y2即所求的曲线C的方程为??1.
1641（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为x?4或x??4，都有S?OPQ??4?4?8.
21（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:y?kx?m(k??)，
2?y?kx?m,由?2 消去y，可得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0. 2?x?4y?16,因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以??64k2m2?4(1?4k2)(4m2?16)?0，即m2?16k2?4. ① ?y?kx?m,2mm?2mm又由? 可得P(,)；同理可得Q(,).
x?2y?0,1?2k1?2k1?2k1?2k?由原点O到直线PQ的距离为d?|m|1?k2和|PQ|?1?k2|xP?xQ|，可得
S?OPQ1112m2m2m2?|PQ|?d?|m||xP?xQ|??|m|??. ② 2221?2k1?2k1?4k2第11页（共13页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
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4k2?12m2??82. 1?4k24k?1将①代入②得，S?OPQ4k2?121当k?时，S?OPQ?8(2)?8(1?2)?8；
44k?14k?124k2?121当0?k?时，S?OPQ?8()?8(?1?). 241?4k1?4k22因0?k2?122，则0?1?4k2?1，?2，所以S?OPQ?8(?1?)?8， 241?4k1?4k2当且仅当k?0时取等号.
所以当k?0时，S?OPQ的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
22．（14分）
（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?1?ex.
当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(??,0)，单调递减区间为(0,??). 当x?0时，f(x)?f(0)?0，即1?x?ex.
1111令x?，得1??en，即(1?)n?e. ①
nnn（Ⅱ）
b1bbbb11?1?(1?)1?1?1?2；12?1?2?2?2(1?)2?(2?1)2?32； a11a1a2a1a22b1b2b3b1b2b31???32?3(1?)3?(3?1)3?43. a1a2a3a1a2a33由此推测：
b1b2a1a2bn?(n?1)n. ② an下面用数学归纳法证明②.
（1）当n?1时，左边?右边?2，②成立. （2）假设当n?k时，②成立，即
b1b2a1a2bk?(k?1)k. ak当n?k?1时，bk?1?(k?1)(1?b1b2a1a2bkbk?1b1b2?akak?1a1a21k?1)ak?1，由归纳假设可得 k?1bkbk?11k?1??(k?1)k(k?1)(1?)?(k?2)k?1. akak?1k?1所以当n?k?1时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.
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1112131n（Ⅲ）由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得
Tn?c1?c2?c3??cn?(a1)?(a1a2)?(a1a2a3)?1213?(a1a2an)
??(bbb)(b1)(b1b2)??123?234b1b?bb?b?b3?12?12?1?22?33?4?11?(b1b2bn)
n?1b1?b2??bn
n(n?1)?1]?n(n?1)?bn?1
n(n?1)1n?11?b1[??1?22?3111]?b2[??n(n?1)2?33?4?b1(1??111)?b2(?)?n?12n?1?11?bn(?)
nn?11?(1?)nan
nb1b2??12bn11?(1?)1a1?(1?)2a2?n12?ean?eSn.
?ea1?ea2?即Tn?eSn.
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