高考函数导函数专题（理科）
一、选择题
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) D．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 2．设点P在曲线y?,1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为（ ） 2 A．1-ln2 B．2(1?ln2) C．1?ln2 D．2(1?ln2) 3．设函数f(x)?xe，则（ ）
A．x?1为f(x)的极大值点 B．x?1为f(x)的极小值点 C．x??1为f(x)的极大值点 D．x??1为f(x)的极小值点
[学
x4．若x?[0,??)，则下列不等式恒成立的是（ ） A．ex?1?x?x2 B．
11111C．cosx?1?x2 D．ln(1?x)?x?x2 ?1?x?x224 821?x5．已知二次函数y?f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（ ）
2π43πA． B． C． D．
53226．已知函数y?x?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点，则c等于（ ） A．-2或2 B．-9或3 C．-1或1 D．-3或1
二、填空题
7．已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3)，g(x)?2?2，若同时满足条件： ①?x?R，f(x)?0或g(x)?0；②?x?(??,?4), f(x)g(x)?0. 则m的取值范围是_______.
x3|x2?1|8．已知函数y=的图像与函数y=kx?2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .
x?19．定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离，已知曲线c1：y=x+a到直线l:y?x的距离等于曲线c2：x+(y+4)=2到直线l:y?x的距离，则实数a=_______.
2221
10．曲线y?x-x+3在点(1,3)处的切线方程为 ．
11．已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为 . 12．设函数f(x)??312?lnx,x?0，D是由x轴和曲线y?f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，
??2x?1,x?0则z?x?2y在D上的最大值为 . 13．计算定积分
?1?1(x2?sinx)dx?___________.
x与直线x?a,y?0所围成封闭图形的面积为a2，则a?______.
14．设a?0.若曲线y?三、解答题
15．设a＜1，集合A?{x?R|x?0}，B?{x?R|2x?3(1?a)x?6a}?0，D?A?B. （I）求集合D（用区间表示）；（II）求函数f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内的极值点．
16．设f(x)?aex?3221?b(a?0)， xae3x；求a,b的值. 2（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?
17．设函数f(x)?ax?cosx，x?[0,?].
（I）讨论f(x)的单调性；（II）设f(x)?1?sinx，求a的取值范围.
2
18．已知函数f(x)?ax?1(a?0),g(x)?x?bx.
（I）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公公切线，求a,b的值； （II）当a2?4b时，求f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间(??,?1]上的最大值.
2312x； 21（I）求f(x)的解析式及单调区间；（II）若f(x)?x2?ax?b，求(a?1)b的最大值.
219．已知函数f(x)满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?
20．若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点. 已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．
（I）求a和b的值；（II）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点； （III）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数．
21．设f(x)?ln(x?1)?x?1?ax?b(a,b?R,a,b为常数)，曲线y?f(x)与直线y?3x在(0,0)点相切. 2 （I）求a,b的值；（II）证明：当0?x?2时，f(x)?
9x. x?63
22．设f(x)?alnx?13?x?1,其中a?R，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. 2x2（I）求a的值；（II）求函数f(x)的极值.
23．已知a?0，b?R，函数f(x)?4ax?2bx?a?b． （I）证明：当0?x?1时，
(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a?b|?a；(ⅱ) f(x)?|2a?b|?a?0； （II） 若?1?f(x)?1对x?[0,1]恒成立，求a?b的取值范围．
24．已知函数f(x)?与x轴平行.
（I）求k的值；（II）求f(x)的单调区间；
（III）设g(x)?(x?x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e.
25．已知函数f(x)?e?x，其中a?0.
（I）若对一切x?R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合.
（II）在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1?x2)，记直线AB的斜率为k，问：是否存在
ax2?23lnx?k（k为常数，e?2.71828???是自然对数的底数），曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线exx0?(x1,x2)，使f?(x0)?k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.
4
参考答案
1．【答案】D
【解析】由图像可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当?2?x?1时，
y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，
函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D. 2．【答案】B 【解析】函数y?1x11e与y?ln(2x)互为反函数，图像关于y?x对称， 函数y?ex上的点P(x,ex)到直线y?x2221xe?x112的距离为d?，设 g(x)?ex?x?g?(x)?ex?1
222?g(x)min?1?ln2?dmin?3．【答案】D
1?ln2.由图像关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?2(1?ln2) 2?f(x)?xe,?f'(x)?e?xe，【解析】令f'(x)?0，则x??1，当x??1时f'(x)?0，当x??1时f'(x)?0，
所以x??1为f(x)极小值点，故选D. 4．【答案】C
【解析】设f(x)?cosx?(1?所以g'(x)??cosx?1?0
所以当x?[0,??)时，g(x)为增函数，所以g(x)?f?(x)?g(0)?0， 同理f(x)?f(0)?0，所以cosx?(1?即cosx?1?xxx121x)?cosx?1?x2，则g(x)?f?(x)??sinx?x, 2212x)?0， 212x，故选C 225．【答案】B
【解析】根据图像可得： y?f(x)??x?1，再由定积分的几何意义，可求得面积为
1S??(?x2?1)dx?(?x3?x)?1311?1?4. 36．【答案】A
【解析】若函数y?x?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为
3y'?3x2?3，令y'?3x2?3?0，解得x??1，可知当极大值为f(?1)?2?c，极小值为f(1)?c?2.由
5
f(?1)?2?c?0，解得c??2，由f(1)?c?2?0，解得c?2，所以c??2或c?2，选A.
7．【答案】m?(?4,?2)
【解析】根据g(x)?2?2?0，可解得x?1.由于题目中第一个条件的限制?x?R，f(x)?0或g(x)?0成立的限制，导致(x)在x?1时必须是f(x)?0的.当m?0时，f(x)?0不能做到f(x)在x?1时f(x)?0，所以舍掉.因此，
xf(x)作为二次函数开口只能向下，故m?0，且此时两个根为x1?2m，x2??m?3.为保证此条件成立，需要
1?m??x1?2m?1???2，和大前提m?0取交集结果为?4?m?0；又由于条件2：要求x?(??,?4)，??x2??m?3?1?m??4?f(x)g(x)?0的限制，可分析得出在x?(??,?4)时，f(x)恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，
即?4应该比x1,x2两根中小的那个大，当m?(?1,0)时，?m?3??4，解得，交集为空，舍.当m??1时，两个根同为?2??4，舍.当m?(?4,?1)时，2m??4，解得m??2，综上所述m?(?4,?2). 8．【答案】(0,1)?(1,4)
【解析】∵函数y=kx?2的图像直线恒过定点B(0,?2)，且A(1,?2)，C(?1,0)，D(1,2)，∴kAB=?2+2=0，1?0kBC=0+22+2=4，由图像可知k?(0,1)?(1,4). =?2，kBD=1?0?1?042DOC510B42A 9．【答案】689 422【解析】曲线c2：x+(y+4)=2到直线l:y?x的距离为d?10|0?4|1?122?2?22?2?2，
2曲线c1:y?x+a对应函数的导数为y?2x，令2x?1得x?121112，所以c1:y?x+a上的点为(,?a)，点22411??a|9711?2，解得a?或a??（舍去）. (,?a)到到直线l:y=x的距离应为2，所以24442412?12|10．【答案】2x?y?1?0
【解析】y??3x?1，当x?1时，y??2，此时k?2，故切线方程为y?3?2(x?1)，即2x?y?1?0. 11．【答案】
25 46
【解析】当0?x?11y?0x?1，线段AB的方程为y?10x，当?x?1时.线段BC方程为，整理得?1225?0?121?10x,0?x???2， y??10x?10，即函数y?f(x)????10x?10,1?x?1?2?1?210x,0?x???2， 函数与y?xf(x)????10x2?10x,1?x?1?2?21所以
x轴围成的图形面积为
10310xdx?(?10x?10x)dx?x?0?123212120?(?103x?5x2)3112?5. 412．【答案】2
【解析】函数y?f(x)在点(1,0)处的切线为y?0?f'(1)(x?1)，即y?x?1.所以D表示的平面区域如图
当目标函数直线经过点M时z有最大值，最大值为z?0?2?(?1)?2.
13．【答案】【解析】
12 313221. (x?sinx)dx?(x?cosx)??1??133414．【答案】a?
9【解析】由已知得S??2a023xdx?x23a0123242?a2?a，所以a2?，所以a?.
39315．【解析】（I）由2x?3?1?a?x?6a?0有 ????3?1?a???4?2?6a?3?3a?1??a?3?
2①??0，即3?3a?1??a?3??0 有 又? a?1
1?a?3 3?a?1时，2x?当132?3?1?a?x?6a?0恒成立.B?R
?D?A?B?A??0,???
7
②当??0时，a?12，B?x?R2x?4x?2?0??xx?1? 3???D?A?B??0,1???1,???
③当??0时，即a?1）当0?a?1 31时，方程2x2?3?1?a?x?6a?0有两个不同的根x1,x2. 322????31?a?9a?30a?931?a?9a?30a?9
其中x1?，x2?44且x1?0 （显然?3?1?a???9a2?18a?9?9a2?30a?9）则有
2 3(1?a)?9a2?30a?93(1?a)?9a2?30a?9D?A?B?(0,)?(,??)442）当a?0时，B????,0???,???
?3?2???3?D?A?B?, ???? ?2??3）当a?0时，x1?0 （显然?3?1?a???9a2?18a?9?9a2?30a?9）
233x2?，（x2??229a2?30a?9?3?1?a?，显然9a2?30a?9?9a2?18a?9）
4?3?1?a??9a2?30a?9??, ??? ?D?A?B???4??综合上述：
1?a?1时，D??0,???； 31当0?a?时，
3当
??3?1?a??9a2?30a?9?3?1?a??9a2?30a?9????D?0, ?, ???； ????44?????3?1?a??9a2?30a?9??, ???. 当a?0时，D???4??（II）由 f??x??6x?6?1?a?x?6a?0有
2x1?a, x2?1
①当
1?a?1时，D??0,??? 3
8
x f??x? ?0,a? + a 0 ?a,1? — 1 0 ?1,??? + f?x?
? ? ? ? 函数f?x?在D内的极值点为x?a或x?1
②当0?a?1时， 32???3?1?a??9a2?30a?9???31?a?9a?30a?9???D?0, ?, ???
????44????1?3?1?a??9a2?30a?93?a??9a2?30a?90?a? （） ?x1?a??a?344而?3?a?2??9a2?30a?9??24a?8a22?8a?3?a??0
?x1?a?0 ，即x1?a
1?3?1?a??9a2?30a?93a?1??9a2?30a?90?a?（） x1?1??1??0344?a?x同理
1?1
13?1?a??9a2?30a?99a2?30a?9??1?3a?0?a? （） x2?1??1?344而
?9a22?30a?9???1?3a??8?24a?8?1?3a??0
22? x?1?0，即x2?1，故
x f??x? ?0,a? + a 0 ?a,x1? — ?x2,??? + f?x?
? ? ? ?函数f?x?在D内的极值点为x?a
?3?1?a??9a2?30a?9??, ???， ③当a?0时，D???4??
9
2??31?a?9a?30a?93 而 ?42?a,1?D ， 函数f?x?在D内的无极值点
综合上述： 当
1?a?1时，函数f?x?在D内的极值点为x?a或x?1； 31当0?a?时，函数f?x?在D内的极值点为x?a
3当a?0时，函数f?x?在D内的无极值点
11a2t2?116．【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at?， ?b?y??a?2?atatat2x1?b在t?1上是增函数， at1得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b.
a1②当0?a?1时，y?at??b?2?b，
at1当且仅当at?1(t?ex?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2.
a11（II）f(x)?aex?x?b?f?(x)?aex?x，
aeae①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2??由题意得：?. 3???f(2)???ae2?1?3?b?1?2??ae22?2?17．【解析】（I）f'(x)?a?sinx.
（i）当a?1时，f'(x)?0.当且仅当a?1,x??2时，f'(x)?0，所以f(x)在[0,?]上是增函数.
（ii）当a?0时，f'(x)?0.当且仅当a?0,x?0或x??时，f'(x)?0，所以f(x)在[0,?] 上是减函数. （iii）当0?a?1时，由f'(x)?0解得x1?arcsina,x2???arcsina. 当x?[0,x1)时，sinx?a,f'(x)?0，f(x)是增函数； 当x?(x1,x2]时，sinx?a,f'(x)?0，f(x)是减函数； 当x?(x2,?]时，sinx?a,f'(x)?0，f(x)是增函数. （II）由f(x)?1?sinx得f(?)?1,a??1?1，所以a?令g(x)?sinx?2?.
2?22?当x?(0,arccos)时，g'(x)?0，当x?(arccos,)时，g'(x)?0.
??22
?x(0?x??)，则g'(x)?cosx?2.
10
又g(0)?g()?0，所以g(x)?0，即sinx??22?x(0?x??2).
当a?2?时，有f(x)?2?x?cosx.
①当0?x?②当
?2时，
2?x?sinx,cosx?1，所以f(x)?1?sinx；
?2?x??时，f(x)?22?x?cosx?1?(x?)?1?sinx； ?22?综上，a的取值范围是(??,?].
18．【解析】（I）由?1，c?为公共切点可得：
f(x)?ax2?1(a?0)，则f'(x)?2ax,k1?2a， g(x)?x3?bx，则f'(x)?3x2?b,k2?3?b，
?2a?3?b. ①
又f(1)?a?1,g(1)?1?b，
?a?1?1?b，即a?b. ②
由①、②可得，a?3,b?3.
（II）?a2?4b，?设h(x)?f(x)?g(x)?x3?ax2?则h'(x)?3x2?2ax?12ax?1 412aaa，令h'(x)?0，解得：x1??,x2??； 426?a?0,??aa??， 26aaaa?原函数在(??,?)单调递增，在(?,?)单调递减，在(?,??)上单调递增
2266a2a①?1??，即a?2时，最大值为h(?1)?a?；
42②?aaa??1??，即2?a?6时，最大值为h(?)?1； 262aa时，即a?6时，最大值为h(?)?1. 62③?1??综上所述：
a2a当a?(0,2]时，最大值为h(1)?a?；当a?(2,??)时，最大值为h(?)?1.
4219．【解析】（I）f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?令x?1得：f(0)?1
12x?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x 2f(x)?f?(1)ex?1?x?12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e2 1得：f(x)?ex?x?x2?g(x)?f?(x)?ex?1?x
211
g?(x)?ex?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0
得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?12x， 2且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) （II）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增
x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾
②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1)
得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0
(a?1)b?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)(a?1?0)
令F(x)?x?xlnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?e时，F(x)max?当a?22e 2e 2e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为
20．【解析】（I）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b. ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，
∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3. （II）∵ 由（I）得，f(x)?x3?3x ，
∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2. ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点.
∵当?2
先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?
2
12
当d=2时，由（II）可知，f(x)=?2的两个不同的根为1 和-2，注意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为-1和2.
当d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ， ∴-2 ,-1，1，2都不是f(x)=d的根. 由（I）知f'(x)=3?x?1??x?1?.
???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)=2. ① 当x??2，???无实根. 此时f(x)=d在?2，，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数. ② 当x??1 2又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图像不间断， ∴f(x)=d 在(1,2)内有唯一实根. 同理，f(x)=d在(?2,?1)内有唯一实根.
，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数. ③ 当x???1 又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图像不间断， ∴f(x)=d在(?1,1)内有唯一实根.
x2=2；当d<2 时 因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， i=3, 4, 5. f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2，下面考虑函数y?h(x)的零点：
t2=2. （i）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5个零点.
i=3, 4, 5. （ii）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足ti<2，而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9个零点.
综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9个零点. 21．【解析】（I）由y=f?x?的图像过?0,0?点，代入得b??1. 由y=f?x?在?0,0?处的切线斜率为得a=0.
13?1?33++a?=+a， ，即?y'x=0=?22?x+12x+1?x=0213
（II）（证法一）由均值不等式，当x>0时，2(x?1)?x?1?1?x?2，
x+1. 29x记h?x?=f?x?-， x+6故x+1<则h'?x?=311542+x+154x+654+-=-<-x+12x+1?x+6?22?x+1??x+6?24?x+1??x+6?2
x+6?-216?x+1??， =24?x+1??x+6?令g?x?=?x+6?-216?x+1?，
则当0 因此g?x?在?0,2?内是减函数，又由g?0?=0，得g?x?<0，所以h'?x?<0， 因此h?x?在?0,2?内是减函数，又由h?0?=0，得h?x?<0， 于是当0 由（I）知f?x?=ln?x+1?+x+1-1，由均值不等式， 239x x+6xx+1<+1 21-x令k?x?=ln?x+1?-x，则k?0?=0,k'?x?=-1=<0，故k?x?<0，即ln?x+1? x+1x+13由此得，当x>0时，f?x? 2则当0 当x>0时，2(x?1)?x?1?1?x?2，故31??1h'?x?=f?x?+?x+6?f'?x?-9 2x+12x+1??=1?1???x?3x?x+1?+?x+6?2+x+1-18?x+1??<3xx+1+x+63+-18x+1??????????2?x+1??2?x+1???2????? =x?7x-18?<0 4?x+1?因此h?x?在?0,2?内是减函数， 9x x+613a13 22．【解析】（I）因f(x)?alnx??x?1,故f'(x)??2?. x2x22x2又由h?0?=0，得h?x?<0，即f?x?<由于曲线y?f(x)在点处的切线(1,f(1))垂直于y轴， 14 故该切线斜率为0，即f'(1)?0，从而a?（II）由（1）知，f(x)??lnx?13??0，解得a??1. 2213?x?1(x?0), 2x21133x2?2x?1(3x?1)(x?1) f'(x)???2?? ?x2x22x22x2令f'(x)?0，解得x1?1,x2??（因x2??131不在定义域中，舍去） 3当x?(0,1)时，f'(x)?0，故在上为减函数； 当x?(1,??)时，f'(x)?0，故在上为增函数； 故f(x)在x?1处取得极小值，且f(1)?3. 223．【解析】（I）(ⅰ) f??x??12ax?2b． 当b?0时，f??x??12ax?2b?0在0?x?1上恒成立， 2此时f?x?的最大值为：f(1)?4a?2b?a?b?3a?b?|2a?b|?a 当b＞0时，f'(x)?12ax?2b在0?x?1上的正负性不能判断， 此时 2f(x)的最大值为： ?b?a，b?2afmax(x)?max{f(0)，（）f1}?max{(b?a)，(3a?b)}?? b?2a?3a?b，?|2a?b|?a； 综上所述：函数f?x?在0?x?1上的最大值为|2a?b|?a； (ⅱ) 要证f(x)?|2a?b|?0，即证g(x)＝-f?x??|2a?b|?a． 即证g(x)在0?x?1上的最大值小于(或等于) |2a?b|?a， ∵g(x)??4ax?2bx?a?b， 2∴令g'(x)??12ax?2b?0?x?3b． 6a2当b≤0时，g'(x)??12ax?2b?0在0?x?1上恒成立， 此时g(x)的最大值为：g?0??a?b?3a?b＝|2a－b|﹢a； 当b＜0时，g'(x)??12ax?2b在0?2x?1上的正负性不能判断， 15 gmax(x)?max{g(b)，（）g1} 6a4b?max{b?a?b,b?2a} 36a?4b?a?b,b?6a?b??36ab?6a ?b?2a,??|2a?b|?a； 综上所述：函数g?x?在0?x?1上的最大值小于(或等于) |2a?b|?a. 即f(x)?|2a?b|?a?0在0?x?1上恒成立． （II）由（I）知：函数f?x?在0?x?1上的最大值为|2a?b|?a， 且函数f?x?在0?x?1上的最小值比?(|2a?b|?a)要大． ∵?1?f(x)?1对x?[0,1]恒成立， ∴|2a?b|?a?1. 取b为纵轴，a为横轴． 则可行域为：?作图如下： 由图易得：当目标函数为z?a?b过P(1,2)时，有zmax?3. ∴所求a?b的取值范围为：(??,3]. ?b?2a?b?2a和?，目标函数为z?a?b． b?a?13a?b?1?? 16 1?k?lnxlnx?k24．【解析】（I）由f(x)?可得f?(x)?x， xeex1?k而f?(1)?0，即?0，解得k?1； e1?1?lnxx（II）f?(x)?，令f?(x)?0可得x?1， xe1当0?x?1时，f?(x)??1?lnx?0； x1当x?1时，f?(x)??1?lnx?0. x于是f(x)的单调递增区间(0,1)；单调递减区间为(1,??). （III）由题，g(x)?x?1(1?x?xlnx),x?(0,??). ex?2ex因此，对任意x?0,g(x)?1?e等价于1?x?xlnx?(1?e?2). x?1由（II），hx()1??x?xnlx，x?(0,??)， ?2所以，h'(x)??lnx?2??(lnx?lne),x?(0,??) 因此，当x?(0,e)时，h'(x)?0,h(x)单调递增； 当x?(e,??)时，h'(x)?0,h(x)单调递减； 所以，h(x)的最大值为h(e)?1?e， 故1?x?xlnx?1?e?2. 设?(x)?e?(x?1)， 因为?'(x)?e?1?ex?e0， 所以x?(0,??)时，?'(x)?0，?(x)单调递增. xx?2?2?2?2?(x)??(0)?0， ex?1. 故x?(0,??)时，?(x)?e?(x?1)?0，即 x?1xex(1?e?2). 所以，1?x?xlnx?1?e?x?1?2因此，对任意x?0,g(x)?1?e. 25．【解析】（I）若a?0，则对一切x?0，f(x)?eax?x?1，这与题设矛盾， ?217 又a?0，故a?0. 而f?(x)?ae?1,令f?(x)?0,得x?当x?ax11ln. aa111111ln时，f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?ln时，f?(x)?0,f(x)单调递增，故当x?ln时，f(x)aaaaaa11111取最小值f(ln)??ln. aaaaa于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当 111?ln?1. ① aaa令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt. 当0?t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1.因此，当且仅当综上所述，a的取值集合为?1?. 1?1即a?1时，①式成立. af(x2)?f(x1)eax2?eax1??1. （II）由题意知，k?x2?x1x2?x1eax2?eax1令?(x)?f?(x)?k?ae?，则 x2?x1axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1?， ??x2?x1eax2??(x2)?ea(x1?x2)?a(x1?x2)?1???. x2?x1令F(t)?e?t?1，则F?(t)?e?1. 当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减； 当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增. 故当t?0，F(t)?F(0)?0,即et?t?1?0. 从而ea(x2?x1)tt?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)?a(x1?x2)?1?0, eax1eax2?0,?0, 又 x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0. 因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线， 18 所以存在x0?(x1,x2)使?(x0)?0,??(x)?ae2ax?0,?(x)单调递增， 1eax2?eax1故这样的c是唯一的，且c?ln. aa(x2?x1)1eax2?eax1,x2)时， f?(x0)?k. 故当且仅当x?(lnaa(x2?x1)综上所述，存在x0?(x1,x2)使f?(x0)?k成立.且x0的取值范围为 1eax2?eax1(ln,x2). aa(x2?x1) 19