精品试卷
武清区2014～2015学年度高三年级第三次模拟高考
数学(文科)试题
三 15 16 17 18 19 20 题号 得分 注意事项：
一 二 总分 1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。
得 分 评卷人 一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
i3?i1．若i为虚数单位，则复数
等于（ ）
1?21（C）??4（A）?2．函数f(x)?2x2313i （B）?i 222313i （D）?i 444?1，x??1,2的值域为（ ）
??（A）?2,8? （B）?4,8? （C）?1,3? （D）?2,3?
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
s,k的值依次为（ ）
（A）32,63 （B）64,63 （C）63,32 （D）63,64
4．已知圆O：x2?y2?1，直线l：ax?by?c?0，则a2?b2?c2是圆O与直线l相切的（ ）
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（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，公比为q，若a3?2S2?1,a4?2S3?1，则q等于（ ）
（A）?3 （B）3 （C）?1 （D）1
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD?2，BC?6，若以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，则DE等于（ ）
（A）3 （B）23 （C）4 （D）8
7．要得到函数y?cosx的图象，只需将函数y?sin(2x??3)的图象上所有的点的（ ）
（A）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移（B）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移（C）横坐标缩短到原来的（D）横坐标缩短到原来的
?6个单位长度 个单位长度
?31?倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 261?倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 238．如果不等式x2?|x?1|?a的解集是区间(?3,3)的子集，则实数a的取值范围是（ ）
（A）(??,7) （B）(??,7] （C）(??,5) （D）(??,5]
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中
横线上）
评卷人
9．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法 得 分 ·2·
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从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书 本． ?2x?y?4?0?10．若x,y满足约束条件?x?y?1?0，则目标函数z?x?2y的最小值为 ．
?x?4?11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ． x2y212．抛物线y?4ax(a?0)的焦点恰好是双曲线C：2?2?1的
ab点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程
2两焦
为 ．
13．在?ABC中，AC?3,BC?2,?C??3，D是AB边上的一点，且
AD?2DB，则CD?AB? ．
1a14．已知不等式(x?y)(?)?9对任意正实数x,y都成立，则正实数a的最小值是 ． xy三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
得 分 15．（本小题满分13分）
评卷人
在一次射击考试中，编号分别为A1,A2,A3,A4的四名男生的成绩依次为6,8,8,9环，编号分别为B1,B2,B3的三名女生的成绩依次为7,6,10环，从这七名学生中随机选出二人．
（1）用学生的编号列出所有的可能结果；
（2）求这2人射击的环数之和小于15的概率．
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得 分 评卷人 16．（本小题满分13分）
B、C的对边分别为a、b、c，B?在?ABC中，内角A、（1）若b?3，2sinA?sinC，求a,c； （2）若sinAsinC?
?3．
1，且?ABC的面积为23，求b的大小． 2 17．（本小题满分13分） 得 分
评卷人
如图，在五面体ABCDEF中， ?EAD为正三角形，四边形ABCD为平行四边形，
EF∥AB，?DAB?60?，AB?2AD?4．
（1）若G是FC的中点，求证：AF∥平面GBD；
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（2）若二面角E?AD?B为45?，AF?6，求直线AF与平面ABCD所成的角． 得 分 评卷人 x2a2 y2b2 18．（本小题满分13分）
?1(a?b?0)的中心为O，它的一个顶点为?0,1?，离心率为
2，过其右焦点2已知椭圆?的直线交该椭圆于A,B两点．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若OA?OB，求?OAB的面积．
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得 分 评卷人 19．（本小题满分14分）
32已知三次函数f(x)=x?ax?6x?b，a,b?R，若函数f(x)的图象在x?1处的切线方程为12x?2y?1?0．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若存在x?(0，??），使得3lnx?f?(x)?|2m?1|成立，求实数m的取值范围．
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得 分 评卷人 20．（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n和Sn?325n?n，数列?bn?的通项公式bn?5n?2． 22 （1）求数列?an?的通项公式； 1 （2）设cn?，求证：
anbn?i?1nci?2； 25 （3）若数列?an?与?bn?中相同的项由小到大构成的数列为?dn?，求数列?dn?的前n项和Tn．
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数学(文科)试题参考答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．25 10．12 11．8?15．
(1)?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,A4?,?A1,B1?,?A1,B2?,?A1,B3?,?A2,A3?,?A2,A4?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A2,B3?,
24? 12．y??22x 13．? 14．4 33?A3,A4?,?A3,B1?,?A3,B2?,?A3,B3?,?A4,B1?,?A4,B2?,?A4,B3?,?B1,B2?,?B1,B3?,?B2,B3? ………6分
(2)以上21个结果对应的射击环数之和依次为14,14,15, 13,12,16,16,17,15,14,18,17,15,14，
18,16,15,19,13,17,16． ………………………………………………………………………9分 其中环数之和小于15的结果为
?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,B1?,?A1,B2?,?A2,B2?,?A3,B2?,?B1,B2?共7个 …………………………11分
所以这2人射击的环数之和小于15的概率为16．
（1）∵2sinA?sinC，
71? ………………………………………13分 213ac ∴2a?c ……………………………………3分 ?sinAsinC ∵ b2?a2?c2?2accosB ∴ 9?a2?4a2?2a2 ∴a?3 ………………………5分 ∴ c?23 …………………………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理：
abc ??sinAsinBsinCacb2acb232??∴ ∴ ∴b?ac ………………………………8分
13sinAsinCsin2B224∵ S?ABC?23 ∴ ∴ b2=
1acsinB?23 ∴ ac?8 ……………………………………11分 23×8=12 ∴ b=23 ………………………………………………………13分 217．
（1）连接AC交BD于O，连OG，∵四边形ABCD为平行四边形∴O是AC中点
∵G是FC的中点∴OG是?CAF的中位线∴OG∥AF ……………………………2分 ∵ AF?平面GBD，OG?平面GBD ………………………………………………4分 ∴AF∥平面GBD ………………………………………………………………………5分 （2）取AD,AB的中点依次为M,N，连接MN,EM,DN ∵?EAD为正三角形 ∴EM?AD∵AD?2 ∴EM?3
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∵?DAB?60?，AN?1AB?AD?2，∴?NAD为正三角形∴NM?AD 2 ∴?EMN是二面角E?AD?B的平面角 ∴?EMN?45? ……………………………8分 ∵NM,EM是平面EMN内的两条相交直线 ∴AD?平面EMN ………………………9分 ∵AD?平面ABCD，∴平面EMN?平面ABCD ……………………………………10分 作EP?MN,P为垂足，∵MN是平面EMN与平面ABCD的交线
6是点E到平面ABCD的距离 ……11分 2 作FQ?平面ABCD，Q为垂足，∴?FAQ为直线AF与平面ABCD所成的角
∴EP?平面ABCD，∴在直角EMP中，EP?∵EF∥AB，AB?平面ABCD，EF?平面ABCD ∴EF∥平面ABCD，∴FQ?EP? ∴sin?FAQ?18． （1）∵
c21? ∴ c2?a2 …………………………………………………………………1分 a226 2FQ1?，∴?FAQ?30? …………………………………………………13分 AF2依题意b?1，∴a2?c2?1 ………………………………………………………………2分 ∴a2?12a?1 ∴a2?2 ……………………………………………………………3分 2x2y2??1 …………………………………………………………4分 ∴椭圆的方程为21（2）椭圆的右焦点为(1,0)，当直线AB与x轴垂直时，A,B的坐标为(1, 此时kOA?kOB??22),(1,?) 221??1 ∴直线AB与x轴不垂直 …………………………………5分 2设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y?k(x?1)
x2y2??1联立得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0 ………………………………6分 与21 设A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0) ∴x1?x2?4k22k?12,x1x2?2(k2?1)2k?12，M(2k222k?12k?1,?k2) ………………………7分
∵OA?OB∴kOA?kOB?0∴x1x2?y1y2?0
∴x1x2?k(x1?1)k(x2?1)?(k2?1)x1x2?k2(x1?x2)?k2?0 ∴
2(k2?1)(k2?1)2k2?1?4k42k2?1?k2?0，∴k2?2∴k??2 ……………………………9分
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∴ |AB|?4|OM|?4[(222k22k2?1)2?(?k2k2?1)2]?7262 ∴|AB|? ………………11分 255 直角?OAB斜边高为点O到直线AB的距离d?|k|k?12?23 ………………………12分
∴?OAB的面积为19．
1126223d|AB|???? ……………………………………13分 22553（1）f?(x)?3x2?2ax?6，直线12x?2y?1?0的斜率为?6 ……………………1分
3 由导数的几何意义，f?(1)??6 ∴ a?? …………………………………2分
2 ∵当切点坐标为(1,? ∴ f(x)=x3?1111)，∴f(1)??，∴b?1 ……………………………3分 2232x?6x?1 ……………………………………………………4分 2（2）令g(x)?3lnx?f?(x)，则g(x)?3lnx?3x2?3x?6 ……………………5分 16(x?1)(x?)3?6x?3x?32 ………………………7分 ?? ∴g?(x)??6x?3?xxx21 2 在x?1附近，当x?1时，g?(x)?0，函数g(x)单调递减； 当x?1时，g?(x)?0，函数g(x)单调递增；
∵x?0 ∴x?1时，函数g(x)在(0,??)内取得最大值g(1)?6 …………………10分 ∵存在x?(0，??），使得3lnx?f?(x)?|2m?1|成立， 即使得3lnx?f?(x)?|2m?1|成立
∴ |2m?1|?6 ………………………………………………………………………12分 令g?(x)?0，则x?1或x?? ∴ ? 20．
（1）当n?1时，a1?S1?57?m? ………………………………………………………………………14分 22325?1??1?4 …………………………………………1分 22 当n?1时，an?Sn?Sn?1?32535n?n?(n?1)2?(n?1)?3n?1 …………2分 2222 ∵当n?1时，3?1?1?4?a1 ∴an?3n?1 ………………………………………3分
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（2）∵cn?13??(3n?1)(5n?2)5153n?216(3n?1)(3n?)5?313???5(3n?1)2513(3n?1)2?()22
1 ?(5113n?2?) ………………………………………………………………6分
∴
?1111111ci?(???????) ………………………………8分
5111117155i?13n?3n?22222213n?52)?122?? ………………………………………………9分 5525n12 ?(?55（3）令3n?1?5m?2(m,n?N?) ∴3n?5m?1?3m?2m?1 令2m?1?3p(p?N?)∴2m?3p?1?2p?p?1
令p?1?2k(k?N)∴p?2k?1，代入上式可得m?3k?1,n?5k?2(k?N)
∴n?5(k?1)?2?5k?3(k?N?) ……………………………………………………11分 ∴dk?3(5k?3)?1?15k?8∴数列?dn?的通项公式为dn?15n?8 …………………12分 ∵dn?1?dn?15(n?1)?8?15n?8?15
∴数列?dn?是首项d1?7，公差为15的等差数列 ………………………………………13分 ∴Tn?
n(d1?dn)n(7?15n?8)1521??n?n ……………………………………14分 2222·11·
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（2）∵cn?13??(3n?1)(5n?2)5153n?216(3n?1)(3n?)5?313???5(3n?1)2513(3n?1)2?()22
1 ?(5113n?2?) ………………………………………………………………6分
∴
?1111111ci?(???????) ………………………………8分
5111117155i?13n?3n?22222213n?52)?122?? ………………………………………………9分 5525n12 ?(?55（3）令3n?1?5m?2(m,n?N?) ∴3n?5m?1?3m?2m?1 令2m?1?3p(p?N?)∴2m?3p?1?2p?p?1
令p?1?2k(k?N)∴p?2k?1，代入上式可得m?3k?1,n?5k?2(k?N)
∴n?5(k?1)?2?5k?3(k?N?) ……………………………………………………11分 ∴dk?3(5k?3)?1?15k?8∴数列?dn?的通项公式为dn?15n?8 …………………12分 ∵dn?1?dn?15(n?1)?8?15n?8?15
∴数列?dn?是首项d1?7，公差为15的等差数列 ………………………………………13分 ∴Tn?
n(d1?dn)n(7?15n?8)1521??n?n ……………………………………14分 2222·11·