课时作业(七) [第7讲 幂函数与二次函数]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．[2011·陕西卷] 函数y＝x1
3
的图象是( )
图K7－1
2．“a＝0”是“函数f(x)＝x2
＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件 3．[2010·安徽卷] 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
图K7－2
4．已知二次函数y＝x2
－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2 能力提升 5．[2011·锦州模拟] 已知f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则( ) A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)<0 C．f(p＋1)＝0
D．f(p＋1的符号不能确定
6．已知函数f(x)＝??2?x＋4x，x≥0，
?x<0.
若f(2－a2?4x－x2
，)＞f(a)，则实数a的取值范围是( A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为( )
) )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．与m有关
??g?x?＋x＋4，x 8．[2010·天津卷] 设函数g(x)＝x－2(x∈R)，f(x)＝?则f(x)的值 ?g?x?－x，x≥g?x?，? 2 域是( ) 9 －，0?∪(1，＋∞) A.??4?B．[0，＋∞) 9 －，＋∞? C.??4?9 －，0?∪(2，＋∞) D.??4? 9．已知幂函数f(x)＝xα部分对应值如下表： x f(x) 1 1 1 22 2则不等式f(|x|)≤2的解集是( ) A．{x|0 C．{x|－2≤x≤2} D．{x|－4≤x≤4} 12 10．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α＝________. ?22?11．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________． 12．一元二次方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是________． 13．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，则k＝________. 14.(10分)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x5m3，m为何值时，f(x)： (1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数； (5)是二次函数． 15．(13分)已知函数f(x)＝1－2ax－a2x(a>1)． (1)求函数f(x)的值域； (2)若当x∈[－2,1]时，函数f(x)的最小值为－7，求此时f(x)的最大值． 难点突破 16．(12分)[2011·吉林师大附中模拟] 已知函数f(x)＝x2＋bx＋c满足条件：f(x－3)＝f(5－x)，且方程f(x)＝x有相等实根． (1)求f(x)的解析式； 1 (2)当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥2(a－1)x＋a＋恒成立，求a的取值范围． 4 － － 课时作业(七) 【基础热身】 1 1．B [解析] 因为y＝x，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只剩B，C.因为y＝xα 3 1 中α＝，图象靠近x轴，故答案为B. 3 2．A [解析] 由“函数f(x)＝x2＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”可知，对称轴x＝－a ≤0，即a≥0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不2 必要条件． 3．D [解析] 首先选择讨论的起点，应分为a>0和a<0. b 若a<0，则对于A，c<0，b>0，－>0，可以排除A； 2a b 对于B，c>0，b<0，－<0，排除B. 2a b 若a>0，则bc>0，对于答案C，c<0，－>0，通过对称轴的位置可以排除C. 2a 4．A [解析] 由于二次函数的开口向上，对称轴为x＝a，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3. 【能力提升】 1 5．A [解析] 二次函数的对称轴为直线x＝－，由f(0)>0，知f(－1)>0.又f(p)<0，则 2 必有－1 ∴p＋1>0，∴f(p＋1)>0，故选择A. 2??x＋4x，x≥0， 6．C [解析] 函数f(x)＝?的图象如图．知f(x)在R上为增函数． 2 ?4x－x，x<0? 2 ∵f(2－a)＞f(a)，即2－a2＞a.解得－2＜a＜1. 1 7．B [解析] 法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝， 2 1 而－m，m＋1关于对称，∴f(m＋1)＝f(－m)＜0. 2 法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0， ∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0. 8．D [解析] 由题意 2??x＋x＋2，x ?x－x－2，x≥g?x?? 2??x＋x＋2，x∈?－∞，－1?∪?2，＋∞?，＝?2 ?x－x－2，x∈[－1，2]? ＝ ?x＋1?2＋7，x∈?－∞，－1?∪?2，＋∞?，??2?4 ??1?9 ??x－2?－4，x∈[－1，2]， 2 所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1,2]时，f(x)的 9 －，0?，故选D. 值域为??4? 1?2119．D [解析] ∵f?＝，∴α＝.故f(|x|)≤2可化为|x|≤2，∴|x|≤4.故其解集为{x|?2?222－4≤x≤4}． 31210. [解析] ∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图象过点?，?， 2?22?1?α2113∴?＝，∴α＝.∴k＋α＝1＋＝. ?2?2222 11．1≤m≤2 [解析] ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴其对称轴方程为x＝1，f(1)＝2.∴m≥1. 又∵f(0)＝3，由对称性可知f(2)＝3，∴m≤2，综上可知1≤m≤2. 12．－2＜a＜1 [解析] 令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)，方程就是f(x)＝0，它的一个根大于1，另一根小于1，f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的图象是开口向上的抛物线，相当于说抛物线与x轴的两个交点分别在点(1,0)的两侧，必有f(1)＜0，即1＋(a2－1)＋a－2＜0，∴－2＜a＜1. 13．1或－3 [解析] (1)当k＝0时，显然不成立．(2)当k≠0时，f(x)＝k(x－1)2－k，①当k>0时，二次函数图象开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3?k＝1；②当k<0时，二次函数图象开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3?k＝－3. 故k＝1或－3. 14．[解答] (1)∵f(x)是幂函数， 故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若f(x)是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数， ?m2－m－1＝1，?则?∴m＝－1. ?－5m－3>0，? (3)若f(x)是正比例函数， 4 则－5m－3＝1，解得m＝－. 54 此时m2－m－1≠0，故m＝－. 5 (4)若f(x)是反比例函数， 则－5m－3＝－1， 2 则m＝－，此时m2－m－1≠0， 52 故m＝－. 5 (5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2， 即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1. 15．[解答] 设ax＝t>0，则y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2. (1)∵t＝－1?(0，＋∞)，∴y＝－t2－2t＋1在(0，＋∞)上是减函数． ∴y<1，所以f(x)的值域为(－∞，1)． 1?由t＝－1??12，a?，所以y＝－t2－2t＋1在?12，a?2，a，(2)∵x∈[－2,1]，a>1，∴t∈??a??a??a? 上是减函数， ∴－a2－2a＋1＝－7，∴a＝2或a＝－4(不合题意，舍去)． 11 当t＝2＝时，y有最大值． a4 1?217 即ymax＝－?－2×＋1＝. ?4?416 【难点突破】 16．[解答] (1)f(x)＝x2＋bx＋c满足条件f(x－3)＝f(5－x)，则函数f(x)的图象关于直线x 9 ＝1对称，故b＝－2.又方程f(x)＝x有相等实根，即x2－3x＋c＝0有相等实根，故c＝，故 4 9 f(x)＝x2－2x＋. 4 1 (2)由题意，得f(x)≥2(a－1)x＋a＋，即a≤x2－2ax＋2在[－1，＋∞)上恒成立， 4 2 ??2－a，a∈[－1，＋∞?，2 而g(x)＝x－2ax＋2在[－1，＋∞)上的最小值是g(x)min＝? ?3＋2a，a∈?－∞，－1?.? ???a<－1，?a≥－1， 又a≤g(x)min等价于?或? 2 ?a≤3＋2a???a≤2－a， 解之，得a∈[－3,1]． 【难点突破】 16．[解答] (1)f(x)＝x2＋bx＋c满足条件f(x－3)＝f(5－x)，则函数f(x)的图象关于直线x 9 ＝1对称，故b＝－2.又方程f(x)＝x有相等实根，即x2－3x＋c＝0有相等实根，故c＝，故 4 9 f(x)＝x2－2x＋. 4 1 (2)由题意，得f(x)≥2(a－1)x＋a＋，即a≤x2－2ax＋2在[－1，＋∞)上恒成立， 4 2 ??2－a，a∈[－1，＋∞?，2 而g(x)＝x－2ax＋2在[－1，＋∞)上的最小值是g(x)min＝? ?3＋2a，a∈?－∞，－1?.? ???a<－1，?a≥－1， 又a≤g(x)min等价于?或? 2 ?a≤3＋2a???a≤2－a， 解之，得a∈[－3,1]．