2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学
本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1? (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数y?2x?x?0?的反函数为
x2x2 (A)y??x?R? (B) y??x?0?
44 (C)y?4x2?x?R? (D) y?4x2?x?0? 3.下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是
2233 (A) a?b?1 (B) a?b?1 (C)a?b (D) a?b
4.设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2,Sk?2?Sk?24，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数f?x??cos?x???0?，将y?f?x像与原图像重合，则?的最小值等于 (A)
?的图像向右平移3个单位长度后，所得的图
?1 (B) 3 (C) 6 (D) 9 36.已知直二面角??l??，点A??,AC?l,C为垂足，B??,BD?l,D为垂足，若
AB?2,AC?BD?1，则D到平面ABC的距离等于
(A)
236 (B) (C) (D) 1 2337.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种
8.曲线y?e2x?1在点?0,2?处的切线与直线y?0和y?x围成的三角形的面积为 (A)
112 (B) (C) (D) 1 3239.设f?x?是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??2x?1?x?，则f?? (A) ??5??? ?2?1111 (B) ? (C) (D) 2442210.已知抛物线C：y?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A、B两点，则cos?AFB? (A)
4334 (B) (C) ? (D) ? 5555?11.已知平面?截一球面得圆M，过圆心M且与?成60二面角的平面?截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为4?，则圆N的面积为
(A) 7? (B) 9? (C) 11? (D) 13?
????????1?????b??,a?c,b?c?60，则c的最大值等于 12. 设向量a,b,c满足a?b?1,a?2 (A) 2 (B)
3 (C) 2 (D) 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1?x??20的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 . 914. 已知???5???，则tan2?? . ,??，sin??5?2?x2y2??1的左、15. 已知F1、F2分别为双曲线C:右焦点，点A?C，点M的坐标为?2,0?，927AM为?F1AF2的角平分线，则 AF2? .
16. 已知点E、F分别在正方体ABCD?A1B1C1D1 的棱BB1、CC1上，且B1E?2EB,
CF?2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）
?ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c。已知A?C?90?,a?c?2b，求C
18.（本小题满分12分）
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BC?CD,侧面SAB为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD?平面SAB;
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。
20.（本小题满分12分）
设数列?an?满足a1?0,11??1
1?an?11?an （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?1?an?1n，记Sn??bk?1nk，证明：Sn?1。
21.（本小题满分12分）
y2?1在y轴正半轴上的焦点，已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?过F且斜率为?222????????????的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。
22.（本小题满分12分）
（Ⅰ）设函数f?x??ln?1?x??
2x，证明：当x?0时，f?x??0 x?219 （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续
1?9?抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：p????2
e?10?
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学试题参考答案（不是标准答案）
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C
6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13． 0 14． ?42 15． 6 16． 33
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.（本小题满分10分）
?解：由A?C?90，得B???A?C??2?2C
故sinA?sin????????C??cosC，sinB?sin??2C??cos2C ?2??2?由a?c?2b?sinA?sinC?2sinB， 故cosC?sinC?2cos2C，cosC?sinC?2?cos2C?sin2C?
又显然C??2，故cosC?sinC?222，再由cosC?sinC?1， 2解得：cosC??6?2，于是C?
124
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3
故?1?0.5?x?0.3?x?0.6，
所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 1??1?0.5??1?0.6??0.8 （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为1?0.8?0.2
X所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为p?C100?0.2???0.8?X100?X
显然，X服从二项分布，即X?B?100,0.2?, 所以EX?100?0.2?20
X的期望为20
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB//CD,BC?CD ， 易算得：AD?BD?5，
又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2， 所以SD?SA?5?AD,SD?SB?5?BD 于是SD?SA,SD?SB, 所以SD?平面SAB
（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，
因为SD?平面SAB，所以SD?AB,从而SD?CD,
222222因而可以算得：SC?2，又SB?BC?2，故S?SBC?7 2又因为CD//平面SAB,所以点C到平面SAB的距离为SD?1
另外，显然S?SBA?32?2?3， 4所以V四棱锥A?SBC?171?d?V四棱锥C?SAB??3?1 323得：d?221 7设AB与平面SBC所成的角为?，则
22121sin??7?，
27即AB与平面SBC所成的角为arcsin
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
21（显然?是锐角） 711??1得：
1?an?11?an数列??1?1?1 是等差数列，首项为?1?a1?1?an?故
11?1??n?1??1?n，从而an?1?
n1?an （Ⅱ）bn?n1?an?1n1?1??1n?1?n?1?n?1?1 nnn?1nn?1所以Sn??bk?1?k?1111111???????1??1 223nn?1n?1
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：易知：F?0,1?，故：l:y??2x?1，代入椭圆方程得：4x?22x?1?0，
2设A?x1,y1?,B?x2,y2?,P?x,y?，则x1?x2?2，y1?y2??2?x1?x2??2?1， 2????????????因为OA?OB?OP?0.所以?x1,y1???x2,y2???x,y???0,0?
???2?122?x,y????x1?x2,?y1?y2?????2,?1??，将此坐标代入椭圆：??2???2?1，
????所以点P在C上。 （
Ⅱ
）
由
（
Ⅰ
）：
24x2?22x?1?0?24及
l:y??2x?1，得
?2?A??4?6,??3?1??B,??2?????2??61?32p?,???2,?1??，所以Q??2,1?? ?，因为2?????于是可以算得：kAP?22?6，kAQ?6?22，kBP?22?6，kBQ??6?22 tan?PBQ??42,tan?APB?226,tan?PAQ??42tan?AQB?6 33于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。
22 .（本小题满分12分）
2?x?2??2x1x2???0， 证明：（Ⅰ）x?0时，f??x??221?x?x?2??x?1??x?2?于是f?x?在?0,???上单调增，所以f?x??f?0??0 （Ⅱ）p?100?99???82?8199?98???81? 2010010019??99?81??(98?81)????91?89??90 （共有19?1?9对数相乘）
10019219902?902???902?909019?9?x?0????? 1919100100?10?由（Ⅰ），?1?x?0时，也有f??x??x2?x?1??x?2?2?0，
故f?x?在??1,0?上单调增，所以f???1???f?0??0 ?10?1?1??9??9?2即f????ln???5?ln????0
1910101019??????101?9??9?即19ln????2，两边同时取e的对数得：???e?2?2
e?10??10?1?9?综上所述：p????2
e?10?
1919