安徽大学20 11 —20 12 学年第 一 学期
《 自动控制理论 》（A卷）考试试题参考答案及评分标准
一、 计算题（共15分） 已知系统结构图如下，其中G1(s)?140G(s)?，2，H(s)?2.5，当
0.05s?1s?5r(t)?1(t)，n(t)?2?1(t)时，求系统稳态误差。
答案：
用劳斯判据可知系统是稳定的。 （5分） 令N（s）=0，R（s）=1/s，
Cr(s)??r(s)R(s)?G1(s)G2(s)R(s)
1?G1(s)G2(s)H(s)G2(s)N(s)
1?G1(s)G2(s)H(s)令R（s）=0，N（s）=2/s，
Cn(s)??n(s)R(s)?令N（s）=0，R（s）=1/s，
E(s)?R(s)?C(s)?R(s)?Cr(s)?Cn(s) ess(?)?limsE(s)?0.6s??
二、 化简题（共10分）
已知系统的结构图如图所示，请利用结构图等效变换或梅逊公式来分析 系统的闭环传递函数C(s)。
R(s)第 1 页 共9页
R(s)?G1??G2??G3C(s)G4
解：法一，梅逊公式
仅一条前向通道p1?G1G2G3G4，
3个互不接触的回路L1??G1G2,L2??G3G4,L3??G2G3
??1?(L1?L2?L3)?1?G1G2?G2G3?G3G4 ?1??2??3?1
得系统的传递函数为C(s)?R(s)G1G2G3G4
1?G1G2?G2G3?G3G4法二：结构图等效变换
1G4R(s)?G1??G2??G3C(s)G41G3G41G4R(s)
?G1??G2G3G41?G3G41G3G4
第 2 页 共9页
R(s)?G1G2G3G41?G2G3?G3G4C(s)1G3G4R(s)G1G2G3G41?G1G2?G2G3?G3G4
C(s)
三、 绘图分析题（共15分） 1、已知G(s)H(s)?K*(s?3)
s(s?2)（1） 绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆； （2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围； （3） 系统最小阻尼比时的闭环极点。
（1）绘根轨迹：
1）开环零，极点 z1??3,p1?0,p2??2 （n = 2 ，m =1）
（0，?2），（?3，??）2) 实轴上根轨迹
111?? 解得 d1??1.26,d2??4.72 dd?2d?3 令 s???j?为根轨迹上任意一点，
3）分离点
代入特征方程 D(s)?s(s?2)?K*(s?3)
?2?2??K*(??3)??2?0 则有：
2???2??K*??0 整理得 (??3)2??2?(3)2 作出的根轨迹如图：
第 3 页 共9页
可见复平面根轨迹为圆，圆心坐标为（-3，j0），半径为3。
（2）求系统欠阻尼时K的范围。先由特征方程求出分离点处的K*
D(d1)?d1(d1?2)?K1*(d1?3)?0D(d2)?d2(d2?2)?K2*(d2?3)?0
解得 K1*?0.536,K2*?7.464 因为 K?333K* 所以 K1?K1*?0.8,K2?K2*?11.2 222 即欠阻尼状态时的开环增益范围为 0.8 （3）求最小阻尼比时的闭环极点。在根轨迹图上作圆的切线OA于A点（A点即为 所求极点位置），由相似三角形关系： ABBCAB3? 得 BC???1 BOABBO32 又OC?BO?BC?3?1?2 所以 AC?AB?BC?3?1?2?1.414 22 故对应最小阻尼状态时的闭环极点为 s1,2??2?j1.414 四、分析题（共10分） 某系统结构图如图所示，试根据频率特性的物理意义，求输入信号 r(t)?sin2t作用时，系统的稳态误差ess(t) 第 4 页 共9页 系统闭环传递函数为: ?(s)?频率特性: 1 s?2?(j?)?12?? ??j22j??24??4??12幅频特性: ?(j?)?4????) 相频特性: ?(?)?arctan(21s?1?, 系统误差传递函数: ?e(s)?1?G(s)s?2则 ?e(j?)? 1??24??2,?e(j?)?arctan??arctan(?2) 当r(t)?sin2t时, ??2，rm=1 则 ?(j?)??2?18 2?e(j2)?arctan?18.4?6?? css?rm?(j2)sin(2t??)?0.35sin(2t?45) ess?rm?e(j2)sin(2t??e)?0.79sin(2t?18.4) ??e(j?)??2?85?0.35, ?(j2)?arctan(?2)??45? 2?0.79,五、计算题（共15分） 已知系统开环传递函数为G(s)H(s)?K(s?4)，且K?0，请利用奈奎斯特稳 s(s?1)定判据判断，使闭环系统稳定时的K的取值范围。 系统的开环频率特性为 K(j??4)?5KK(4??2)G(j?)H(j?)???j j?(j??1)?2?1?(?2?1)?U(j?)?V(j?) G(j?)H(j?)?K?2?16???12 第 5 页 共9页 ?G(j?)H(j?)??90??tan?1??270??tan?1??4?(180??tan?1?) 4?tan?1?曲线的起点：系统为Ⅰ型，??0?时，limG(j?)H(j?)?∞??270? ??0?系统为Ⅰ型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为 ??0?limU(j?)??5K 曲线的终点：??∞时，G(j∞)?0??90? 易知幅相曲线与实轴有交点。令V(j?)?0，得 ??2rad/s 代入U(j?)，得 U(j?)??2??K 根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图所示。 ω= 0+jV-Kω= ∞OU 由系统的开环传递函数知，系统有一个右半平面开环极点，即P?1。系统为Ⅰ型，应逆时针补画一个半径为无穷大的1/4圆。根据奈奎斯特判据，由图可见 当K?1时，幅相曲线过(?1,j0)点，系统临界稳定； 当K?1时，幅相曲线正穿越次数N??1，负穿越次数N??1/2，曲线包围(?1,j0)点圈数N?N??N??1/2，故有Z?P?2N?0，系统稳定。 当K?1时，幅相曲线正穿越次数N??0，负穿越次数N??1/2，曲线包围(?1,j0)点圈数N?N??N???1/2，故有Z?P?2N?2，系统不稳定。 六、综合题（共15分） 已知最小相位控制系统其单位反馈系统的开环传递函数的对数 幅频曲线如下图所示： 第 6 页 共9页 （1）请写出系统的开环传递函数。（5分） （2）当系统的输入r(t)?2sin(5t?30o)时，求系统的稳态输出。（10分） G(s)?K 1S(S?1)W1解：由开环对数幅频曲线可以设开环传递函数为 其低频段对数幅频 L(w)?20lgk?20lgw，可知W=10时，L(10)=0; 则得到K=10； 由方程20lgK-20lgW1=40(lg10-lgW1) 可以得到W1=1； 即系统的开环传递函数为 G(s)?10S(S?1) 10则系统的闭环传递函数为： ?(s)?S(S?1)?10 其频率特性为： ?(jw)? 1010?jw(jw?1)?1010?w2?jw o5t?30)时 w=5; 当输入为r(t)?2sin( 则 ?(j5)?101010??j5(j5?1)?1010?52?j5?15?j5 10225?2510250?10510?210?105 |?(j5)|? ??(j5)??tg?1(-稳态输出为 5)?180?atan(1/3)??(180?atan(1/3))??161.6?198.4?15第 7 页 共9页 C(t)?210sin(5t?30o???(j5))?1.26sin(5t?30?161.6)5 ?1.26sin(5t?131.6)七、校正题（20分） 已知系统的开环传递函数为 G0(s)?K s(0.1s?1)(0.2s?1) 要求校正后系统的静态速度误差系数Kv?30s－1，相角裕度?≥40o，截止频率?c≥2.3rad/s，试设计串联校正装置。 1. 确定开环增益。 K－ ?K?30s1 s?0s?0s(0.1s?1)(0.2s?1)－ 2. 绘制K?30s1时待校正系统的开环对数幅频曲线如图6-5所示。 Kv?limsG0(s)?lims?L(?)-20-40-20-200?1?2-40510-40K?c?c0-60?LcL0-60L图6-5 由图列写直线方程 20lg?K10?60lgc0?40lg 5105?c0?31500?11.45rad/s ?0?180??90??tan?10.1?c0?tan?10.2?c0??25.3? 可见待校正系统不稳定，且截止频率远大于期望值，故选择串联滞后校正。 3. 在待校正系统的频率特性曲线上选择频率点?c，使其满足 180???G0(j?c)???(5~12?)?40??6??46? 并将其作为校正后系统的穿越频率?c。 ?G0(j?c)??180??46???134? ?G0(j?c)??90??tan?10.1?c?tan?10.2?c??134? ?c?2.74rad/s 4. 根据下述关系式确定迟后网络参数b和T 第 8 页 共9页 L(?c)?20lgb?0 1选 ?2??0.1?c bT30由图6-5知即为 20lg?20lgb?0 2.7b?0.09 1?0.1?c?0.274 bTT?41s 1?bTs1?3.65s Gc(s)??1?Ts1?41s5. 验算。 30(3.65s?1)G(s)?Gc(s)G0(s)? s(0.1s?1)(0.2s?1)(41s?1)?c?2.74rad/s>2.3rad/s ??180???G(j?c)?180??90??tan?13.65?c?tan?10.1?c?tan?10.2?c?tan?141?c ?40.8??40?全部性能指标均已满足。 第 9 页 共9页