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陕西省高新一中 2012届高三第十一次大练习
数学试题（理）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 1．复数满足z(1?i)?2i，则复数Z的实部与虚部之差为
A．?2
B．2
C．1
答案D
D．0 开始 输入p 2．已知集合A?{x|()?}，B?{x|log2(x?1)?2}，
则A?B等于 答案C A．（-∞，5） B．（-∞，2） C．（1，2）
D． ?2,5?
12x14n?0,S?0 7，， 8 3． 执行右边的程序框图，若输出的S是
则判断框内的p应是 答案C
n?p 是 否 A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图是一个几何体的三示图，该几何体的体
积是 答案B
A．23
1cmn?n?1 输出S 结束 S?S?1 n2B．3
2cm正视图3cm侧视图 C．
33 433 2
D．
俯视图5． 函数y?loga(|x|?1),(a?1)的大致图像是 答案B
A B C Ｄ
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6． 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对
手（得0分）的概率为c(a,b,c?(0,1))，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为 答案A
11?a3b1710 D．
33?7．设f(x)?cosx?sinx，把f(x)的图象按向量a?(m,0)(m?0)平移后，图象恰好为函数
A．
B．
C．
16 314 3y??f'(x)的图象，则m的值可以为 答案 D
A．
? 4B．
3? 4
C．?
2?D．
22C1
A1B1
8．过点P（4,2）作圆x?y?4的两条切线，切点分别为A、B，0为
坐标原点，则?OAB的外接圆方程是 答案 A
A．(x?2)?(y?1)?5 C．(x?2)2?(y?1)2?5
2222C A B B．(x?4)?(y?2)?20 D．(x?4)2?(y?2)2?20
9．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点上
各安装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有 答案C A．96种 B．144种 C．216种 D．288种 10．已知x1是方程10??x?2的解, x2是方程lgx??x?2的解,函数f(x)??x?x1??x?x2?，
x则（ ） 答案A A． f(0)?f(2)?f(3)
C． f(3)?f(0)?f(2)
B．f(2)?f(0)?f(3) D． f(0)?f(3)?f(2)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在(x?1)(x?1)的展开式中，含x项的系数是 。
答案 14 答案b?8594
x2y2x2y213．已知a?b?0,e1,e2分别是圆锥曲线2?2?1和2?2?1的离心率，设
abab m?lge1?lge2，则m的取值范围是 答案（??，0） 14．下列四种说法中，
①命题“存在x?R,x?x?0”的否定是“对于任意x?R,x?x?0”；
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22河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究
②；命题“p且q为真” 是“p或q为真”的必要不充分条件；
21)，则f(4)的值等于 22④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超过3
③已知幂函数f(x)?x?的图象经过点(2,分钟的概率是
4。 7说法正确的序号是 答案③④ 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）
A．设函数f?x??2x?1?x?4。则不等式错误！不能通过编辑域代码创建对象。的解集
为 ；
答案错误！不能通过编辑域代码创建对象。
?x??2?2cos?B．（坐标系与参数方程选做题）曲线C：?（?为参数），若以点O(0,0)为
y?2sin??极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ． 答案???4cos?
E C。（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，弧AE?弧AC，DE交AB于F，且AB?2BP?4，则PF?_______ 答案 3
A
C F B O D P 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题12分）
已知数列?an?满足an?an?1?4，a18?a20?12，等比数列?bn?的首项为2，公比为q。 （Ⅰ）若q?3，问b3等于数列?an?中的第几项？
（Ⅱ）数列?an?和?bn?的前n项和分别记为Sn和Tn，Sn的最大值为M，当q?2时，试比较M与T9的大小
解：（I）b3?b1q2?18． ……………2分
由an?an?1?4，得an?1?an??4，即?an?是公差d??4的等差数列．……………3分 由a18?a20?12，得a1?18d?6?a1?78．
?an?78?(n?1)(?4)??4n?82． …………5分
令?4n?82?b3?18，得n?16．
?b3等于数列?an?中的第16项． ………………6分
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2(1?29)?210?2?1022．……8分 （Ⅱ）?b1?q?2，?T9?1?2n(n?1)又Sn?78n??(?4)??2n2?80n??2(n?20)2?800，
2?n?20时,最大值M?800． ……………11分
?M?T9． ……………12分
17．（本小题12分）
已知?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
角A不是最大角，a?23，外接圆的圆心为O，半径为
A2。
????????（Ⅰ）求OB?OC的值；
（Ⅱ）若S?ABCBOC?3，求?ABC的周长
17．解：（I）由正弦定理，得
a3?2R?4?sinA?． sinA2?A?60?或120?． ……………2分 又A不是最大角， ?0??A?90?．
?A?60?． ……………4分 ??BOC?2A?120?． ????????????????1?OB?OC?|OB||OC|cos?BOC?2?2?(?)??2． ……………6分
21（注：cos?BOC?cos2A?1?2sin2A??）
21（Ⅱ）S?ABC?3?bcsinA?3?bc?4． ……………8分
2由余弦定理，得
b2?c2?2bccosA?a2?b2?c2?bc?12
?(b?c)2?3bc?12 ?(b?c)2?3bc?12?24
?b?c?26． ??ABC周长为26?23． ……………12分
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18．（本小题满分12分）
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的
部分叫棱台。如图，在四棱台ABCD?A1BC11D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1?2． （Ⅰ）求证：B1B//平面D1AC；
（II）求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．
D1A1B1C1DABC18．（本小题满分12分）
以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）． ? 3分 （Ⅰ）证明：设AC?BD?E,连结D1、E，则有E(1,1,0),D1E?B1B?(1,1,?2),所以
B1B//D1E，?BB?平面D1AC，D1E?平面D1AC，∴B1B//平面D1AC；???6分
（II）解：D1B1?(1,1,0),D1A?(2,0,?2),
D1zA1C1B1
设n?(x,y,z)为平面AB1D1的法向量，
n?B1D1?x?y?0,n?D1A?2x?2z?0.
D于是令x?1,则y??1,z?1.n?(1,?1,1)???8分
CByAx同理可以求得平面D1AC的一个法向量m?(1,1,1)，???10分
cos?m,n??1?.
|m||n|31． ???12分 3m?n∴二面角B1?AD1?C的余弦值为
19．（本题满分12分） 某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万
元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动．凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇
奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5．相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品．摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学
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4元5元ABE1元3元CD2元
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习用品（如图指针指向区域C，可获得价值3元的学习用品）． （Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去
购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？ （II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价 值6元的学习用品的概率． 18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E． 则其概率分别为
P(A)?11231451?,P(B)?,P(C)??,P(D)?,P(E)??.
1?2?3?4?5151515515153 ??3分 设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为?，则的分布列为： 1 2 3 4 5 ? 4121P 1 31551515 141217E??1??2??3??4??5??．???6分
315515153若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为1500E??3500（元）,
除去购买学习用品的款项后，剩余款项为1500?10?3055?11500（元）,
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗． ???8分
（II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F，则
1P(F)?C2?15332471????C2???． 151515151515457.???12分 45即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为20．（本题满分13分）
设f(x)?(x2?ax?a)e?x,x?R． （Ⅰ）确定a的值，使f(x)的极小值为0；
（II）证明：当且仅当a?3时，f(x)的极大值为3． 20．解：（Ⅰ）由于f(x)?(x?ax?a)e,所以
2?xf?(x)?(2x?a)e?x?(x2?ax?a)e?x??e?x[x2?(a?2)x].?2分
令f?(x)?0解得x?0或x?2?a, 当a?2时，
f?(x)?0恒成立,此时f(x)无极值.???3分
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所以2?a?0，
当2?a?0，即a?2时，f?(x)和f(x)的变化情况如下表1：
x (??,0) － ↘ 0 0 极小值 （0, 2?a） + ↗ 2?a 0 极大值 （2?a,+∞） － ↘ f?(x) f(x) 此时应有f(0)?0，所以a?0?2；???5分
②当2?a?0，即a?2时，f?(x)和f(x)的变化情况如下表2：
x (??,2?a) － ↘ 2?a 0 极小值 2（2?a,0） + ↗ a?20 0 极大值 （0,+∞） － ↘ f?(x) f(x) 此时应有f(2?a)?0,即[(2?a)?a(2?a)?a]e而ea?2?0,
?0,所以应有(2?a)2?a(2?a)?a?0?a?4?2.
综上可知，当a?0或4时，f(x)的极小值为0． ????7分 （II）若a?2，则由表1可知，应有f(2?a)?3, 也就是
[(2?a)2?a(2?a)?a]ea?2?3,即(4?a)ea?2?3.???9分
设g(a)?(4?a)ea?2,则g?(a)??ea?2?(4?a)ea?2?ea?2(3?a).
由于a?2得 g?(a)?0,从而有g(a)?g(2)?2?3. 所以方程 (4?a)ea?2?3无解． ???11分
若a?2，则由表2可知，应有f(0)?3，即a?3．
综上可知，当且仅当a?3时，f(x)的极大值为3． ???13分 21．（本题满分14分）已知抛物线x?4y的焦点为F，过
2B两焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，
点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
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解：（Ⅰ）由已知，得F(0,1)，显然直线AB的斜率存在且不为0， 则可设直线AB的方程为y?kx?1（k?0），A(x1,y1)，B(x2,y2)，
?x2?4y,22由?消去y，得x?4kx?4?0，显然??16k?16?0． ?y?kx?1所以x1?x2?4k，x1x2??4． ??????????????????2分
121x，所以y'?x， 421所以，直线AM的斜率为kAM?x1，
21所以，直线AM的方程为y?y1?x1(x?x1)，又x12?4y1，
2由x2?4y，得y?所以，直线AM的方程为 x1x?2(y?y1)①。????????????4分 同理，直线BM的方程为 x2x?2(y?y2)②。????????????5分 ②-①并据x1?x2得点M的横坐标x?x1?x2， 2即A，M，B三点的横坐标成等差数列。 ??????????7分 （Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）（k?0）。 所以kMF?21??， ?2kk1x?1， ????????????????8分 k则直线MF的方程为y??设C（x3,y3）,D（x4,y4）
?x2?4y,416?2yx?x?4?0???16?0， 由?消去，得，显然12kk?y??x?1k?所以x3?x4??又|AB|?4，x3x4??4。 ????????????????9分 k(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?4(k2?1)。????10分
|CD|?(x3?x4)2?(y3?y4)2?(1?1)(x3?x4)2 2k?(1?112)[(x?x)?4xx]?4(?1)。?????12分 343422kk因为kMF?kAB??1，所以AB?CD ，
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111|AB|?|CD|?8(2?1)(k2?1)?8(k2?2?2)?32， 2kk当且仅当k??1时，四边形ACBD面积的取到最小值32。????????14分
所以，SACBD?
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