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第六讲 简算与巧算(3)除法里的巧算
在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。
一、除变连除。当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。
如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝16 1476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝82
13156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506 二、带号移动。没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。
如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝125 2107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612
三、添去号变号。有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。
如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号) 4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号)
需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。
如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号)
48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800
四、双扩或双缩。也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。
如：910÷35＝(910×2)÷(35×2)＝1820÷70＝26 2400÷25＝(2400×4)÷(25×4)＝9600÷100＝96
87200÷160＝(87200÷8)÷(160÷8)＝10900÷20＝545
正确掌握这几种方法，并在学习过程中注意合理使用，可以使自己的计算越来越快捷。如1260÷45我们可以用以下多种方法速算。
① 1260÷45＝(1260×2)÷(45×2)＝2520÷90＝28(双扩) ② 1260÷45＝(1260÷9)÷(45÷9)＝140÷5＝28(双缩) ③ 1260÷45＝1260÷9÷5＝140÷5＝28(除变连除)
需要注意的是，如果是有余数的除法，余数也跟着同时扩大或同时缩小相同的倍数，计算时要特别注意。
教你一招：
“同头无除”巧定商和余数
象230÷24，被除数和除数的首位数字相同（都是2），我们简称之为“同头”，但被除数前两位23要比24小，不够商1，就需要看被除数的前三位，我们简称之为“无除”。象这种“同头无除”的除法题一般商9或者是8。那么到底商9还是商8，又怎样很快写好余数呢？
象230÷24，因为24×10＝240，比230多10。而10比除数24小，所以商9，这时余数是24-10＝14，即有230÷24＝9……14。
再如200÷24，因为24×10＝240，比200多40。而40比除数24大，所以只能商8，这时余数是40-24＝16，24-16＝8即有200÷24＝8……8。
思考过程可简写或心算如下（见题后括号内）
(1)456÷47＝9……33（470-456＝14，47-14＝33）
(2)420÷47＝8……44（470-420＝50，50-47＝3，47-3＝44） (3)645÷66＝9……51（660-645＝15，66-15＝51）
(4)325÷38＝8……21（380-325＝55，55-38＝17，38-17＝21）
即在“同头无除”除法中，如果除数的10倍与被除数的相差量比除数小（或相等）时，商9；余数就是除数减去这个相差量的差。
如果除数的10倍与被除数的相差量比除数大一些（但不足2倍），这时只能商8，余数为除数减去“相差量与除数的差”所得的差。
同学们，你们学会了这类题的口算方法吗？下面这组题就请同学们口算看看！
(1)240÷26 (2)210÷24 (3)220÷26 (4)230÷26 (5)228÷26 (6)214÷25 (7)270÷29 (8)225÷25
小知识：
神奇的弃九验算
“弃九验算”是我国古代数学中的一枝奇葩。运用弃九法可以验算加、减、乘、除法的计算结果是否正确。神奇吧！
要想学会这种神奇的验算方法，首先必须理解“弃九数”。因为“弃九法”的一个基本原理就是：先将参与计算的数的各个数位上的数字相加，
逢九舍弃，得到弃九数。比如说：1349利用弃九法则有：1＋3＋4＋9＝17，1＋7＝8，因此，1349的弃九数是8。当然，也可以先舍去9，算成1＋3＋4＝8。也就是说，在计算出一个数的弃九数时，也可以先把这个数中的9以及相加能得到9的数先行舍去，从而使得计算简便。
下面，先说说用弃九法验算加法。比如说验算2476＋398＝2874，2476的弃九数是1（4＋6＝10，1＋0＝1，2＋7＝9直接舍弃了），398的弃九数是2（3＋8＝11，1＋1＝2，数字9先舍弃了）这时，等号左边两弃九数相加有：1＋2＝3，而等号右边2874的弃九数正好是3（8＋4＝12，1＋2＝3，2＋7＝9同样先舍弃了），前后都是3，说明计算正确。
也就是说，如果“两个加数的弃九数之和＝和的弃九数”，那么计算正确。怎么样，方便吧！
再说用弃九法验算减法。比如说验算4203－987＝3216。4203的弃九数是0（4＋2＋3＝9，9－9＝0），987的弃九数是6（8＋7＝15，15－9＝6），这时，左边0－6不够减，要看成9－6＝3；右边3216的弃九数是3（1＋2＝3，3＋6＝9直接舍去了），两边相等，说明计算正确。
同样，如果“被减数的弃九数－减数的弃九数＝差的弃九数”，计算一般正确。需要注意的是，如果出现了被减数的弃九数比减数的弃九数小，那就要先将被减数加上9，再减去减数的弃九数。
接下来谈谈用弃九法验算乘法。例如验算75×98＝7350，75的弃九数是3（7＋5＝12，1＋2＝3），98的弃九数是8（9直接舍去），这时，左边有3×8＝24，2＋4＝6，右边7350的弃九数是6（7＋3＋5＝15，1＋5＝6），两边相等，计算正确。也就是说，用弃九法验算乘法，只要看“乘数的弃九数×乘数的弃九数”是否等于“积的弃九数”，如果相等，计算一般正确。
最后说说用弃九法验算除法。例如验算4462÷97＝46，一般地，我们是看“商的弃九数×除数的弃九数”是否等于“被除数的弃九数”。46的弃九数是1（4＋6＝10，1＋0＝1），97的弃九数是7，而1×7＝7，这时被除数4462的弃九数是7（4＋4＋6＋2＝16，1＋6＝7），看来，计算正确。
需要说明的是，弃九验算是一种不完全验算，它有一定的局限性，遇到下列几种情况时，往往检验不出计算结果的错误。
一是如果抄写数字时颠倒了位置，比如说把7536误写成7563，它的弃九数并没有改变，即使计算结果错误，也往往检验不出来。 二是计算结果中出现丢0或多0现象，比如说将4080误写成480或408，误写后的数的弃九数不变，计算结果发生错误，也往往检验不出来。 三是如果计算结果有小数，把小数点的位置点错了，比如说将4.29误写成42.9或0.429，利用弃九验算同样发现不了错误。
尽管弃九法存在着上述的局限性，但它在检验多位数四则计算上，仍不失为一种较简捷的检验方法。
速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成： （1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数
（2）计算：1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数
（3）计算：2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数
（4）计算：3+6+9+12+15 =9×5 中间数是9 =45 共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20 =12×5 中间数是12 =60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成： （1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. （2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. （3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推. （2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）
102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5. 加法中的巧算 1.什么叫“补数”？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。
又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100，
在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如： 87655→12345， 46802→53198， 87362→12638，…
下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题：
①36+87+64②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187
②式=（99＋101）＋136 =200+136=336
③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。
例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203
解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）
＝200+861=1061
②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544
③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101
4.竖式运算中互补数先加。 如：
二、减法中的巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解：①式= 300-（73＋ 27） ＝300-100=200
②式=1000-（90＋80＋20＋10） ＝1000-200＝800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4① 4723-（723＋189） ② 2356-159-256
解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 例 5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997
④987-178-222-390
解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上） =109
②式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11＝134
③式=467＋1000-3（把多加的3再减去） ＝1464
④式=987-（178＋222）-390 ＝987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d
a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c
例6 ①100＋（10＋20＋30） ② 100-（10＋20+3O） ③ 100-（30-10）
解：①式=100＋10＋20＋30 =160
②式=100-10-20-30 =40
③式=100-30＋10 ＝80
例7 计算下面各题：
① 100＋10＋20＋30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30＋10
解：①式=100＋（10+20+30） =100＋60=160
②式=100-（10＋20+30） ＝100-60=40
③式=100-（30-10） =100-20=80 2.带符号“搬家”
例8 计算 325＋46-125＋54 解：原式=325-125＋46+54 ＝（325-125）+（46＋54） =200+100＝300
注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。
3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-9＋3
解：原式=9-9＋2+3=5 4.找“基准数”法
几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。 例10 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 ＝640
1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：
5×2=10 25×4=100 125×8=1000
例1 计算①123×4×25 ② 125×2×8×25×5×4 解：①式=123×（4×25） =123×100＝12300
②式=（125×8）×（25×4）×（5×2） =1000×100×10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例 2计算① 24×25 ② 56×125
③ 125×5×32×5
解：①式=6×（4×25） =6×100=600
②式=7×8×125=7×（8×125） =7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4） =1000×100=100000 3.应用乘法分配律。
例3 计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 解：①式=175×（34+66） =175×100=17500
②式=67×（12＋35＋52＋1） ＝ 67×100＝6700
（原式中最后一项67可看成 67×1） 例4 计算① 123×101 ② 123×99
解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123 ＝12300＋123=12423 ②式=123×（100-1） =12300-123=12177
4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数×10，数后添0； 一个数×100，数后添00； 一个数×1000，数后添000； 以此类推。
如：15×10=150 15×100=1500 15×1000＝15000
例6 一个数×9，数后添0，再减此数； 一个数×99，数后添00，再减此数；
一个数×999，数后添000，再减此数； … 以此类推。
如：12×9＝120-12＝108 12×99＝1200－12＝1188 12×999＝12000-12=11988
例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 如：6×5＝30 16×5＝80 116×5=580。
例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 如 2222×11＝24442
2456×11＝27016
例9 一个偶数乘以15，“加半添0”. 24×15
＝（24+12）×10 ＝360 因为 24×15
＝ 24×（10+5） ＝24×（10＋10÷2） =24×10+24×10÷2（乘法分配律） ＝24×10+24÷2×10（带符号搬家） ＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）
例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字×（十位数字加1）×100+25 如15×15=1×（1+1）×100+25=225 25×25=2×（2+1）×100+25=625 35×35=3×（3+1）×100+25=1225 45×45=4×（4+1）×100+25=2025 55×55=5×（5+1）×100+25=3025 65×65＝6×（6+1）×100+25=4225 75×75=7×（7+1）×100+25＝5625 85×85=8×（8+1）×100+25=7225 95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025
还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
二、除法及乘除混合运算中的巧算 1.在除法中，利用商不变的性质巧算
商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。 例11 计算①110÷5②3300÷25 ③ 44000÷125 解：①110÷5=（110×2）÷（5×2） ＝220÷10=22
②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4） ＝13200÷100＝132 ③ 44000÷125=（44000×8）÷（125×8） ＝352000÷1000＝352
2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 864×27÷54
＝864÷54×27 =16×27 =432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。
例13① 13÷9＋5÷9 ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12 解：①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9 =18÷9＝2 ②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5 ＝15÷5=3
③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24 ＝1608÷24＝67 ④187÷12-63÷12-52÷12 ＝（187-63-52）÷12 ＝72÷12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。 即a×（b÷c）=a×b÷c 从左往右看是去括号， a÷（b×c）＝a÷b÷c 从右往左看是添括号。 a÷（b÷c）＝a÷b×c 例14 ①1320×500÷250 ②4000÷125÷8 ③5600÷（28÷6） ④372÷162×54
⑤2997×729÷（81×81）
解：① 1320×500÷250＝1320×（500÷250） =1320×2＝2640 ②4000÷125÷8＝4000÷（125×8） ＝4000÷1000＝4 ③5600÷（28÷6）=5600÷28×6 =200×6=1200 ④372÷162×54=372÷（162÷54） ＝372÷3＝124
⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81 ＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9 ＝333
例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）
＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 ＝111110-5 ＝111105.
例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200） 199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1） ＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5 ＝222220-5 ＝22225.
例3 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）
解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：
从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：
从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 1990×497＋995—1990×497＝995.
例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝390×7—1—3—7—5—6—4— ＝2730—28 ＝2702.
解法2：也可以选380为基准数，则有 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8 ＝2660＋42 ＝2702.
例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.
（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6 ＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6 ＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运 ＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法） ＝4940＋1 ＝4941.
例6 计算54＋99×99＋45
解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了. 54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99 ＝99＋99×99 ＝99×（1＋99） ＝99×100 ＝9900.
例7 计算 9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334 ＝3333×3×2222＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000. 例8 1999＋999×999
解法1：1999＋999×999 ＝1000＋999＋999×999 ＝1000＋999×（1＋999） ＝1000＋999×1000 ＝1000×（999＋1） ＝1000×1000 ＝1000000.
解法2：1999＋999×999 ＝1999＋999×（1000-1） ＝1999＋999000-999 ＝（1999-999）＋999000 ＝1000＋999000 ＝1000000.
有多少个零.
总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.
巧用凑整法
对于某些特殊加数的加法，常常用凑整十、整百、整千??的方法 进行简算。
例1 计算：99.9+11.1。
分析：先把99.9 拆成90+9+0.9，再把11.1 拆成10+1+0.1，然后把 它们重新组合，凑整。 解：99.9+11.1
=（90+10）+（9+1）+（0.9+0.1） =100+10+1 =111
例2 计算：9+98+997+6。
分析：先把6 拆成1+2+3，然后把它们重新组合、凑整。 解：9+98+997+6
=（9+1）+（98+2）+（997+3） =10+100+1000 =1110
例3 计算：9+99+999+9999。
分析：从9 里取出3 个1，分别与99、999、9999 相加，凑成整百、 整千、整万，然后再相加。 解：9+99+999+9999
=（9－3）+（99+1）+（999+1）+（9999+1） =6+100+1000+10000 =1116 例4 计算：
125+125+125+125+125+125+125+120。
分析：我们知道125×8=1000，可是现在只有7 个125。这时，我们 不妨假定最后一个数也是125。这样总和多了5，再减去5 就是了。 解：125+125+125+125+125+125+125+120 =125×8－5
=1000－5 =995
例5 计算：567－98。
分析：可先从567 中减去100，这样比应减的98 多减了2，再加上2 就是最后的结果。 解：567－98 =567－100+2 =467+2 =469
“以乘代除”
当除数为5、25、125 时，都可以用乘法代替除法。具体办法是：用 5 去除一个数时，将这个数乘以2 后，向左移一位小数点，即为商；用 25 去除一个数时，将这个数乘以4后，向左移两位 小数点，即为商；用125 去除一个数时，将这个数乘以8 后，向左移三 位小数点，即为商。 例1 计算：(1)76÷5 (2)375÷5 (3)2115÷25 (4)10800÷125 解：(1)76÷5=76×2÷10=152÷10=15.2； (2)375÷5=375×2÷10=750÷10=75； (3)2115÷25=（2115×4）÷100=8460÷100=84.6； (4)10800÷125=（10800×8）÷1000=86400÷1000=86.4。 这是因为
76÷5=（76×2）÷（5×2）=76×2÷10， 2115÷25=（2115×4）÷100=23500÷100=235。 例2 计算：5875÷25
解：按上面的作法，本题的计算过程是： 5875÷25=（5875×4）÷25=235000÷100=235。
这道题有没有更简单的方法呢？有。下面我们对除式进行恒等变 形：
5875÷25=（5800+75）÷25 =（58×100+75）÷25 =58×100÷25+75÷25 =58×4+3 =232+3 =235
不难发现， 当被除数的末尾两位数是25 的倍数时， 可以
去掉被除数的末尾两位数，乘以4，再加上末尾两位
数除以25 的商，即为原除式的商。 例3 计算：(1)67500÷25 (2)3150÷25 (3)8225÷25 (4)6175÷25
解：(1)67500÷25=675×4+0÷25 =2700+0 =2700； (2)3150÷25=31×4+50÷25 =124+2 =126； (3)8225÷25=82×4+25÷25 =328+1 =329； (4)6175÷25=61×4+75÷25 =244+3 =247
巧用恒等变形
恒等变形是小学数学中重要的思想方法。恒等变形常常需要利用我 们学过的有关加、减、乘、除的性质。它是一种有目的性的数学变换。 下面几个例题就是用恒等变形的方法进行简算的实例。 例1 计算：1651+79。
分析：在做加法时，常常用这样一种恒等变形：一个加数增加一个 数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变。这个题可以从被加数中 取出21 补在加数上，使加数变为100，从而达到简算的目的。 解：1651+79
=（1651－21）+（78+21） =1630+100 =1730。
例2 计算：59.7－9.9。
分析：在做减法时，常常利用这样一种恒等变形：被减数、减数增 加同一个加数，差不变。这道题可以让减数增加0.1，变为10。为了恒 等，必须使被减数也增加同一个0.1。 解：59.7－9.9
=（59.7+0.1）－（9.9+0.1） =59.8－10 =49.8
例3 计算：5.84×1.25。
分析：在做乘法时，常常利用这样一种恒等变形：一个因数扩大若 干倍，另一个因数同时缩小相同的倍数，积不变。这个题可让被乘数缩
小8 倍，乘数同时扩大8 倍。这不是盲目的，因为我们熟知：1.25×8=10。 解：5.84×1.25
=（5.84÷8）×（1.25×） =0.73×10
=7.3。
例4 计算：9.7÷2.5。
分析：在做除法时，常常利用这样一种恒等变形：被除数、除数都
同时扩大相同的倍数，商不变。因为大家熟知：2.5×4=10，所以，我们 很自然地想到，使原除式中被除数和除数都同时扩大4 倍。 解：9.7÷2.5
=（9.7×4）÷（2.5×4） =38.8÷10 =3.88
巧用运算规律
在整数四则运算中，常常通过巧妙地利用交换律、结合律、分配律， 达到简算的目的。在利用这些算律时，头脑一定要灵活，目的性要非常 明确。
例1 计算：54×88。
分析：这个乘积中，54 能分解出因数9，88 能分解出因数11，因而 乘积中可出现因数99，99=100－1。在求积过程中，尽量凑成100，这样 利于简算。 解：54×88 =6×9×11×8 =48×99
=48×（100－1） =4800－48 =4752。
例2 计算：125×71。
分析：这个乘积中有125，要是出现8，就会凑成1000，这有利于简 算。如何使因数出现8 呢？由于71=72－1，而72=8×9，问题解决了。 解：125×71
=125×（72－1）
=125×8×9－125 =1000×9－125 =9000－125 =8875。
例3 计算：6666×3333。
分析：这个乘积中有3333，要是把它扩大3 倍，就会出现9999，而 9999=10000－1。这样就凑成了10000，有利于简算。 解：6666×3333 =（6666÷3）×（3333×3） =2222×9999
=2222×（10000－1） =22220000－2222 =22217778。
例4 计算：1999+999×999。
分析：999×999 可以认为999 个999，再多1 个999，就会凑成1000 个999 了。沿着这种思路去想，有利于简算。 解：1999+999×999 =1000+999+999×999 =1000+999×1000 =1000（1+999） =1000000。
例5 计算：11.6×23－46×0.8。
分析：这个题中，被减数中有因数23，减数中有46，而46=23×2， 因此可考虑提取公因数23。这样可以使运算简化。 解：11.6×23－46×0.8 =11.6×23－23×2×0.8 =23（11.6－1.6） =23×10 =230。
上述的例子还可以举出不少，事实上，仅举以上几个例子就足够了。 这些做法的共同点：一是应用了算律；二是机敏地创造机会，使算式中 出现10、100、1000、10000??
这也称为“配对求和” 常见几种配对求和的方法。
一、首位配对法例1：12+13+14+15+16+17+18+19首尾两个数依次配对，可得4个31。解：12+13+14+15+16+17+18+19=（12+19）+（13+18）+（14+17）+（15+16）=31×4=124
二、取整配对法例2：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10将能得到整十、整百、整千的数配对，这题中可以配对得到10。解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+10+5=5×10+5=55
三、公式法S=（A1+An）×n÷2这里的A1表示开头第一个数，An表示最后一个数，n表示数的个数。 例3：2+4+6+8+??+98+100解：2+4+6+8+??+98+100=（2+100）×50÷2=102×50÷2=2550 配对求和要注意的是： 一要弄清一串数中有几个数，可配成几对； 二要根据一串数的特点进行合理配对。 我们已经学会了整数乘法和除法运算，但计算时要一位一位的乘（除），比较麻烦。是否有简便的计算方法呢？有些乘除法也可以用简便的方法来计算。 一：凑整法 “凑整”不仅在加减法的速算中广泛应用，在乘除法的计算中也是很重要的提高速度的计算方法。计算前，有两个比较特殊的数相乘的结果，同学们要牢牢记住：25×4=100，125×8=1000。 例1： 125×3×8 25×7×4所以以上两题可以先把这两组数乘起来，125×3×8=（125×8）×3=3000；25×7×4=（25×4）×7=700。
二：转化法转化法主要指在乘除混合计算中，根据计算定律和性质调换乘数或除数的位置，或者给算式添上括号或去掉括号，把较复杂的计算转化为简单的计
算。 例2： 146×31÷73 1248÷96×16 500÷（125÷4） 如
146×31÷73=146÷73×31=62， 要注意的是，如果在除号后面加括号，后面是乘号的要变成除号，是除号的要变成乘号，如1248÷96×16=1248÷（96÷16）=1248÷6=208；如果要去掉除号后面的括号，括号里的乘号要变成除号，除号要变成乘号。500÷（125÷4）=500÷125×4=500×4÷125=2000÷125=16
三：拆数法拆数法指两数相乘时把其中一个因数拆成两个数的和或积，再与另一个因数相乘，使算式简便。 例3： 35×24 44×25 480÷3235×24=35×（2×12）=35×2×12=70×12=840；44×25=（40 + 4）×25=40×25 + 4×25=1100两数相除时，一般把除数拆成两个数的积，用被除数连续除以这两个数。如
480÷32=480÷（8×4）=480÷8÷4=60÷4=15 当然，很多题目有多种方法进行简算，同学们要根据自己的喜好和平时的积累，选择适合自己的方法，快速准确的运算。 此外，在乘法运算中，对于一些有特点的数和算式也有很特别的方法来进行速算。下面就介绍四种有特点数的巧乘巧算。
一、同头尾合十。所谓的“同头尾合十”的数，是指两位数乘两位数的算式中十位上的数相同，个位上的数字之和是10。解答时可把尾数相乘的积作为后两位数，把十位上的数与比它大1的数相乘的积作为前两位数。 例1：53×57 解：53×57 =（5×6） （3×7）=3021
二、同尾头合十。所谓的“同尾头合十”的数，是指两位数乘两位数的算式中个位上的数相同，十位上的数字之和是10。解答时将十位上的数相乘加上个位数字后扩大100倍，再加上个位数乘个位数的积。 例2：48×68 解：
48×68 =（4×6+8）×100+8×8 =3200+64 =3264 三、去一添补。所谓的“去一添补”是指一个两位数与99、999等由9组成的多位数相乘时，即把两位数去1放在前面，同时在末两位写上两位数的补数，数较多时中间添9。 例3：36×99 解：36×99 =（36-1）（100-36） =3564例4：36×999 解：36×999 =（36-1）9（100-36） =35964 四、两头拉，中间加。所谓的“两头拉，中间加”是指一个两位数与11相乘时，取两位数的十位，个位分别作积的最高位和最低位，把十位、个位数字作为中间数，满十向头上加“1”。 例5：52×11 解：52×11 =5（5+2）2 =572 例6：89×11 解：89×11 =8（8+9）9 =979 计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。如例题：2008×200720072007-2007×200820082008=?因为这时按顺序计算计算量较大，而且数字位数较多，计算时容易出错。那么我们能不能从其他方面入手，巧解这道题目呢。分析：我们发现200720072007=2007×100010001，200820082008=2008×100010001，很明显可以看出这道题目中的前后两个乘式均为2007×2008×100010001，只是顺序的不同，而值是相同的，这样我们就可以直接得到最后的结果。具体的解题步骤如下： 2008200720072007-2007200820082008
=2008×（2007×100010001）-2007×（2008×100010001） =2008×2007×100010001-2007×2008×100010001 =0
通过这道例题的求解过程，我们可以得到运用某种简便的方法可以使求解过程简化。在数字巧解这个问题上，主要有以下几种方法： 1.因式分解法
通过对题目中所给的式子进行分析，分解因式，进而化简计算过程。 2.特殊因子法
在运算过程，如果遇到或者能够拼凑出某一特殊因子（如0或1）则可以使计算过程简化。 3.分式拆分法
在分式运算时，分式拆分常常可以使复杂的分式化简。如常用的分式拆分 数字巧算问题主要是考察我们发现规律、巧妙转化的能力，当然这些都是建立在我们良好计算能力的基础上。只要我们打好坚实的基础，掌握解题技巧，善于观察，找到巧妙的方法，跳出题目计算原本的限制，灵活运用，数字计算问题对于我们来说将会是轻而易举。