（一）函数的概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”○；
2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （二）映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：A?B” 说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 1． 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B?A是从集合B到集合A的映射吗？ （三）函数的表示法
常用的函数表示法：（1）解析法；
（2）图象法； （3）列表法．
三、典例解析
1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
11；② f(x)?3x?2；③ f(x)?x?1? x?22?x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
x?21而x?2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是?x|x?2?.
x?22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x?2无意义，
32而3x?2?0，即x??时，根式3x?2才有意义，
32∴这个函数的定义域是{x|x??}.
3① f(x)?③∵当x?1?0且2?x?0，即x??1且x?2时，根式x?1和分式意义，
∴这个函数的定义域是{x|x??1且x?2}
1 同时有2?x?x?1?0另解：要使函数有意义，必须： ? ?
2?x?0?例2 求下列函数的定义域：
①f(x)??x??1 ?x?2?x2?3x?4
x?1?24?x?1 ②f(x)?2③f(x)?11?11?1x ④f(x)?(x?1)0x?x
⑤y?x?2?3?313x?7
解：①要使函数有意义，必须：4?x?1 即： ?3?x?3 ∴函数f(x)?24?x2?1的定义域为： [?3,3]
?x2?3x?4?0?x?4或x??1??②要使函数有意义，必须：?
x?1?2?0x??3且x?1?? ?x??3或?3?x??1或x?4
∴定义域为：{ x|x??3或?3?x??1或x?4}
?x?0??1?③要使函数有意义，必须： ?1??0 ?
x??1?1?01?1??x1 ∴函数的定义域为：{x|x?R且x?0,?1,?}
2?x?0??x??1 ?x??1?2?x?1?0?x??1④要使函数有意义，必须： ? ??
x?x?0??x?0 ∴定义域为：?x|x??1或?1?x?0?
??x?2?3?0?x?R7 ⑤要使函数有意义，必须： ? ??x????3x?7?03?777即 x? ∴定义域为：{x|x??}
333例3 若函数y?ax2?ax?21的定义域是R，求实数a 的取值范围 a解：∵定义域是R,∴ax?ax?1?0恒成立， aa?0??1∴等价于??0?a?2 ??a2?4a??0?a?例4 若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?解：要使函数有意义，必须：
11)?f(x?)的定义域 441??5?1?x??1???4?x?4???13??1?x??1???x?4??4∴函数y?f(x?34??3?x?3 54443?? 4?113?)?f(x?)的定义域为：?x|??x?444?例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要
求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。
答案：－1≤x2≤1? x2≤1?－1≤x≤1
2
练习：设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域 解：要使函数有意义，必须：?3? ∵
x?2?2 得： ?1?x?2?2
x≥0 ∴ 0?x?2?2 0?x?6?42
∴ 函数f(x?2)的定域义为：x|0?x?6?42
??
例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
5已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。??,2）
2（提示：定义域是自变量x的取值范围） 练习：
已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若y?f?x?的定义域是?0,2?，则函数f?x?1??f?2x?1?的定义域是 Ａ．??1,1? 已知函数f?x??
（ ） Ａ．A（ ）
Ｂ???11?,? ?22?
Ｃ．?,1?
2?1???
Ｄ．?0,?
2?1???1?x的定义域为Ａ，函数y?f??f?x???的定义域为Ｂ，则 1?xＢ．B?A
Ｃ．AB?B B?B
Ｄ． A?B
2.值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
22当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}.
4a4a例1 求下列函数的值域
2① y=3x+2(-1?x?1) ②f(x)??（ 1?x?3）3x③ y?x?1（记住图像） x解：①∵-1?x?1，∴-3?3x?3，
∴-1?3x+2?5，即-1?y?5，∴值域是[-1，5] ②略
③ 当x>0，∴y?x?121)?2?2， =(x?xx43当x<0时，y??(?x?121)?2??2 )=－(?x??x?x-612f?x? = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246∴值域是(??,?2]?[2，+?).（此法也称为配方法） 函数y?x?-41的图像为： x二次函数在区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①y?x2?4x?1； ②；y?x2?4x?1,x?[3,4] ③y?x2?4x?1,x?[0,1]； ④y?x2?4x?1,x?[0,5]；
解：∵y?x2?4x?1?(x?2)2?3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y?-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].
y321-2-1O-1-2-3123456x
④∵顶点横坐标2? [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),
⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当x??②当a<0时，则当x??2b时，其最小值ymin?(4ac?b)； 2a4a2b时，其最大值ymax?(4ac?b). 2a4a⑵若定义域为x? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0?[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.
②若x0?[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可
决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行
讨论.
练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的值域为 ?3,??? .
2、求函数y?x2?2x?5,x??0,5? 的值域
解： ?对称轴 x?1??0,5?
?x?1时,ymin?4
x?5时,ymax?20 ?值域为?4,20?例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，
从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结
合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法
例4 求函数y?x?21?x 的值域
解：（换元法）设1?x?t，则y??t2?2t?1(t?0)
?对称轴t?1??0,???，且开口向下
?当t?1时，ymax?2
?值域为???,2? 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而
确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例6 求y?x?3?x?1 的值域
,x??1?4?解法一：（图象法）可化为 y??2?2x,?1?x?3 如图，
??4,x?3?观察得值域y?4?y?4
解法二：（零点法）画数轴 利用a?b表示实数a,b在数轴上的距离可得。
??-1 x 0 3 练习：y?x?x?1的值域呢？ （?1,???）（三种方法均可）
例7 求函数y?9?3?2(x??0,1?) 的值域
xxx解：（换元法）设3?t ，则 1?t?3 原函数可化为
y?t2?t?2,?对称轴t? ?t?1时,ymin1??1,3?2?2;t?3时,ymax?8
y ?值域为?2,8?例8求函数y????1??3??x2?2x 的值域
1 0 ?1?解：（换元法）令t??x2?2x??(x?1)2?1，则y???(t?1)
?3? 由指数函数的单调性知，原函数的值域为?,??? 例9 求函数 y?2x(x?0) 的值域 解：（图象法）如图，值域为?0,1? 例10 求函数y?t?1?3??x?1 的值域 x?2解法一：（逆求法）解出x,x?1?2y?yy?1? 观察得原函数值域为1?yx?2?33?1??1 ，可得值域?yy?1?
x?2x?2ax?b(c?0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量小结：已知分式函数y?cx?d解法二：（分离常数法）由y?的要求）内，值域为?yy???a?，?；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
c?adac(ad?bc)，用复合函数法来采用部分分式法将原函数化为y??ccx?db?求值域。
3x例11 求函数y?x 的值域
3?1解法一：（逆求法）?3?xy?01?y?0?y?1 ?原函数的值域为?0,1?
1t小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。 解法二：（换元法）设3?1?t ，
x3x?1?111?t?1? ?1??1?则y?t3x?13x?11?t?1?0??1t?0?y?1
1 0 1 t ?原函数的值域为?01?
2x?1练习：y=x；（y∈(-1，1)）.
2?1
2tx2?1例13 函数y?2 的值域
x?1解法一：（逆求法）?x?21?y?01?y??1?y?1
?原函数的值域为??1,1?
解法二：（换元法）设x?1?t ，则
22?2??1?y?1 t?原函数值域即得?t?1?0?5的值域
2x2?4x?352解令2x?4x?3?t，则y?
t例13 求函数y?2
?t?2(x?1)2?1?1
?0?y?5 所以，值域{y|0?y?5}
练习：
1 、y?x2?1?9(x?0)； x2112?9?(x?)?11，∴y?11.
xx21?9?2?9?11(或利用对勾函数图x2解：∵x?0，y?x2?另外，此题利用基本不等式解更简捷：y?x2?像法)
2 、y?0 3 、求函数的值域 5 2x2?4x?3①y?x?2?x； ②y?2?4x?x2 解：①令u?2?x?0,则x?2?u2, 2原式可化为y?2?u?u??(u?)?1229, 4∵u?0，∴y?99，∴函数的值域是（-?，]. 442②解：令 t=4x?x?0 得 0?x?4 在此区间内 (4x?x)max=4 ，(4x?x)min =0 ∴函数y?2?4x?x2的值域是{ y| 0?y?2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 22??2x?1(x??1)?解法1：将函数化为分段函数形式：y??3(?1?x?2)，画出它的图象（下图）， ?2x?1(x?2)?由图象可知，函数的值域是{y|y?3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+?]. 如图 x-1O12 -1Ox12 -1O12x 5、求函数y?2x?41?x的值域 解：设 t?1?x 则 t?0 x=1?t 代入得 y?f (t)?2?(1?t2)?4t??2t2?4t?2??2(t?1)2?4 ∵t?0 ∴y?4 23.分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场。 1．求分段函数的定义域和值域 ?2x?2x?[?1,0];?x?(0,2);的定义域、例1．求函数f(x)???12x?3x?[2,??);?值域. -1y321o-112x 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知f(x)的定义域为[?1,??), 值域为(?1,3]. 2．求分段函数的函数值 ?|x?1|?2,(|x|?1)?例2．已知函数f(x)??1求f[f(1. 2)],(|x|?1)?2?1?x【解析】 331因为f(1, 所以f[f(12)]?f(?2)?2)?|2?1|?2??214. ?321?(?2)13 3．求分段函数的最值 ?4x?3(x?0)?例3．求函数f(x)??x?3(0?x?1)的最大值. ??x?5(x?1)?【解析】当x?0时, fmax(x)?f(0)?3, 当0?x?1时, fmax(x)?f(1)?4, 当x?1时, ?x?5??1?5?4, 综上有fmax(x)?4. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数y?f(x)和y?g(x)的图象关于直线y?x对称, 现将y?g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（ ） ?2x?2(?1?x?0) A.f(x)??x?2?2(0?x?2)?2x?2(?1?x?0) B.f(x)??x?2(0?x?2)?2?2x?2(1?x?2) C.f(x)??x?2?1(2?x?4)32y1-2-1o1x?2x?6(1?x?2) D.f(x)??x?2?3(2?x?4)【解析】 当x?[?2,0]时, y?1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下2x?1平移 1 1个单位, 得解析式为y?1, 所以2(x?2)?1?1?2x?1f(x)?2x?2x?(?[, 当x?[0,1]时, y?2x?1, 将其图象沿x轴向右平移2 个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y?2(x?2)?1?1?2x?4, 所以 ?2x?2(?1?x?0), 故选A. f(x)?x?2(x?[0,2]), 综上可得f(x)??x?2(0?x?2)?212 9．解分段函数的不等式 ?2?x?1(x?0)?例11．设函数f(x)??1, 若f(x0)?1, 则x0得取值范围是（ ） 2?(x?0)?xA.(?1,1) B.(?1,??) C.(??,?2)?(0,??) D.(??,?1)?(1,??) 【解析1】 首先画出y?f(x)和y?1的大致图像, 易知 -11x1yf(x0)?1时, 所对应的x0的取值范围是(??,?1)?(1,??). 【解析2】 因为f(x0)?1, 当x0?0时, 212?x0?1?1, 解得x0??1, 当x0?0时, x0?1, 解得x0?1, 综上x0的取值范围是(??,?1)?(1,??). 故选D. 2?(x?1)?(x?1)例12．设函数f(x)??, 则使得f(x)?1的自变量x的取值范围为 ??4?x?1(x?1)（ ） A．(??,?2]?[0,10] B. (??,?2]?[0,1] C. (??,?2]?[1,10] D. [?2,0]?[1,10] 【解析】 当x?1时, f(x)?1?(x?1)2?1?x??2或x?0, 所以x??2或0?x?1, 当x?1时, f(x)?1?4?x?1?1?x?1?3?x?10, 所以1?x?10, 综 上所述, x??2或0?x?10, 故选A项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.